2023新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.1对数函数的概念教师用书新人教A版必修第一册

4.4　对数函数

4.4.1　对数函数的概念

知识点　对数函数的概念

函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？

[提示]　不是，其不符合对数函数的形式．

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)由y＝logax，得x＝ay，所以x>0． (　　)

(2)y＝log2x2是对数函数． (　　)

(3)若函数y＝logax为对数函数，则a>0且a≠1． (　　)

(4)函数y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

类型1　对数函数的概念及应用

【例1】　(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；

②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝logx；

④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；

⑥y＝logx．其中是对数函数的为(　　)

A．③④⑤　　　 B．②④⑥

C．①③⑤⑥ D．③⑥

(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________．

(3)已知对数函数的图象过点(16，4)，则f ＝________．

(1)D　(2)4　(3)－1　[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D．

(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，

所以

解得a＝4．

(3)设对数函数为f (x)＝logax(a>0，且a≠1)，

由f (16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，

∴f (x)＝log2x，

∴f ＝log2＝－1．]

判断一个函数是对数函数的方法

[跟进训练]

1．若函数f (x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________．

2　[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2．

又a>0且a≠1，所以a＝2．]

类型2　对数函数的定义域

【例2】　(对接教材P130例题)求下列函数的定义域：

(1)f (x)＝＋ln(x＋1)；

(2)f (x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．

[解]　(1)函数式若有意义，需满足即解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1，2)．

(2)由题意得解得

故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为．

求对数型函数的定义域时应遵循的原则

(1)分母不能为0．

(2)根指数为偶数时，被开方数非负．

(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．

提醒：求与对数函数有关的定义域问题时，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．

[跟进训练]

2．求下列函数的定义域．

(1)y＝log3x2；

(2)y＝loga(4－x)(a>0，且a≠1)；

(3)y＝；

(4)y＝log7．

[解]　(1)∵x2>0，即x≠0．

∴函数y＝log3x2的定义域为{x|x≠0}．

(2)∵4－x>0，即x<4．

∴函数y＝loga(4－x)的定义域为{x|x<4}．

(3)∵x＞0，且lg x≠0．

∴x＞0且x≠1．

∴函数y＝的定义域为{x|x＞0且x≠1}．

(4)∵>0，∴1－3x>0，即x<．

∴函数y＝log7的定义域为．

类型3　对数函数模型的应用

【例3】　(对接教材P131例题)已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位，求y与x的关系式．

结合题设信息思考如何从增长率角度分析变量x与y间存在的关系？

[解]　由题意可知(1－20%)y＝x，0<x≤1．

即y＝log0.8x，0<x≤1．

y与x的关系式为y＝log0.8x，0<x≤1．

利用指数、对数函数解决应用问题

(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围．

(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax．

(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．

[跟进训练]

3．人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：

C(t)＝C0e－rt，

其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量．

为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期．14C的半衰期大约是5 730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．

1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其14C的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min)．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．

[解]　因为14C的半衰期大约是5 730年，所以由衰减规律，得＝e－5 730r．

解得r＝．因此14C的衰减规律服从指数型函数C(t)＝C0e·t＝C0·2．

设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时(1950年)，该木炭已衰减了t0年．因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比，所以＝，

于是2＝．

两边取以2为底的对数，得－＝log2．

解得t0＝5 730log2≈5 730×0.707 7≈4 055．

所以该木炭已衰减了约4 055年，即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年．

1．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝log2x B．y＝ln(x＋1)

C．y＝logxe D．y＝logxx

[答案]　A

2．如果函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，那么a的值为(　　)

A．　　B．　　C．2　　D．4

C　[由f (4)＝loga4＝2得a2＝4，

∴a＝±2，

又a>0且a≠1，

∴a＝2，故选C．]

3．函数f (x)＝的定义域是(　　)

A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)

C．(4，10)∪(10，＋∞) D．[4，10)∪(10，＋∞)

D　[由得

∴x≥4且x≠10，故选D．]

4．若函数f (x)＝(a－1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．

2　[∵f (x)是对数函数，∴a－1＝1，∴a＝2，

经检验a＋1＝3>0，且a＋1≠1，故a＝2．]

5．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．

128　[由题意得5＝2log4x－2，

即7＝log2x，得x＝128．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．如何判断一个函数是不是对数函数？

[提示]　判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：

(1)系数为1．

(2)底数为大于0且不等于1的常数．

(3)对数的真数仅有自变量x．

2．解决对数函数定义域问题应从哪些方面考虑？

[提示]　除了要特别注意真数和底数外，还要遵循前面学习过的求函数定义域的方法，比如函数解析式为分式、根式等情形．