2023新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.3对数4.3.1对数的概念教师用书新人教A版必修第一册

4.3　对数

4.3.1　对数的概念

知识点1　对数的概念

(1)对数的定义：

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

(2)两种特殊的对数：

对数运算是指数运算的逆运算

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)logaN是loga与N的乘积． (　　)

(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3． (　　)

(3)对数运算的实质是求幂指数． (　　)

(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有(　　)

A．log2M＝a　　 B．logaM＝2

C．log22＝M D．log2a＝M

B　[∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B．]

知识点2　对数的基本性质

(1)负数和零没有对数；

(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)；

(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．

为什么零和负数没有对数？

[提示]　由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．

3．填空：(1)ln e＝________；(2)lg 10＝________；

(3)ln 1＝________；(4)lg 1＝________．

[答案]　(1)1　(2)1　(3)0　(4)0

类型1　指数式与对数式的互化

【例1】　(对接教材P122例题)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：

(1)2－7＝；(2)log32＝－5；

(3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2．

[解]　(1)由2－7＝，可得log2＝－7．

(2)由log32＝－5，可得＝32．

(3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000．

(4)由ln x＝2，可得e2＝x．

指数式与对数式互化的方法

(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；

(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

[跟进训练]

1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)3－2＝；　　　(2)＝16；

(3)log27＝－3;  (4)log64＝－6．

[解]　(1)log3＝－2；(2)log16＝－2；

(3)＝27；(4)()－6＝64．

类型2　利用指数式与对数式的关系求值

【例2】　(对接教材P123例题)求下列各式中的x的值：

(1)log64x＝－；  (2)logx 8＝6；  (3)lg 100＝x;  (4)－ln e2＝x．

[解]　(1)x＝64＝(43)＝4－2＝．

(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝．

(3)10x＝100＝102，于是x＝2．

(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，

所以x＝－2．

求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤

(1)设logaN＝m．

(2)将logaN＝m写成指数式am＝N．

(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b．

[跟进训练]

2．计算：(1)log9 27；(2)log 81；(3)log625．

[解]　(1)设x＝log9 27，则9x＝27，32x＝33，∴x＝．

(2)设x＝log81，则()x＝81，3＝34，∴x＝16．

(3)令x＝log625，∴()x＝625，5＝54，∴x＝3．

类型3　应用对数的基本性质求值

【例3】　(1)设5＝25，则x的值等于(　　)

A．10　　　　 B．13

C．100 D．±100

(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．

等式a＝N(a>0，且a≠1，N>0)成立吗？

(1)B　(2)10　[(1)法一：由5＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B．

法二：由5＝52得log5(2x－1)＝2，即2x－1＝52＝25，∴x＝13，故选B．

(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10．]

1．利用对数性质求解的两类问题的解法

(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．

(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．

2．性质a＝N与logaab＝b的作用

(1)a＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．

(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．

[跟进训练]

3．求下列各式中x的值：

(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)x＝7．

[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5．

(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝3，∴x＝103．

(3)x＝7＝＝．

1．(多选)下列说法正确的有(　　)

A．只有正数有对数

B．任何一个指数式都可以化成对数式

C．以5为底25的对数等于2

D．3＝a(a>0)成立

ACD　[(－2)3＝－8不能化成对数式．ACD均正确．]

2．2－3＝化为对数式为(　　)

A．log2＝－3　 B．log (－3)＝2

C．log2＝－3 D．log2(－3)＝

[答案]　C

3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)

A．a>5或a<0 B．0<a<1或1<a<5

C．0<a<1 D．1<a<5

B　[由对数的定义可知

解得0<a<5且a≠1．故选B．]

4．计算：2＋2log31－3log77＋3ln 1＝________．

0　[原式＝3＋0－3＋0＝0．]

5．若log2(logx9)＝1，则x＝________．

3　[由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，

∴x＝3(x＝－3舍去)．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．指数式与对数式存在怎样的关系？

[提示]　若ab＝N⇔logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)．

2．若方程logaf (x)＝0，则f (x)等于多少？若方程logaf (x)＝1呢？(其中a>0，且a≠1)

[提示]　若logaf (x)＝0，则f (x)＝1；

若logaf (x)＝1，则f (x)＝a．

3．下列等式成立吗？

(1)logaab＝b；(2)a＝N，(其中a>0，且a≠1，N>0)．

[提示]　均成立．

素数个数与对数

我们已经知道，像2，3，5，7这样只能被1和它自己整除的正整数称为素数(也称为质数)．例如，100以内的所有素数为

2，3，5，7，11，13，17，

19，23，29，31，37，41，

43，47，53，59，61，67，

71，73，79，83，89，97．

探索素数出现的规律，是有些数学家们非常关心的问题．特别地，设x是正整数，用π(x)表示不超过x的素数个数，寻找π(x)的近似表达式，历史上曾引起了很多数学家的注意．当然，我们可以取x为一些常数，然后求出π(x)的值来进行观察和归纳．

可能会让你感到惊讶的是，π(x)的近似表达式与自然对数有关．事实上，数学家们已经证明，当x充分大时，

π(x)≈．

这一结果可以从下表中直观感受到．

注：如果A的近似值为a，那么相对误差指的是×100%．