2023新教材高中数学第3章函数的概念与性质章末综合提升教师用书新人教A版必修第一册

第3章 函数的概念与性质 章末综合提升

类型1　求函数的定义域

求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集．

【例1】　(1)求函数y＝＋－的定义域；

(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．

[解]　(1)解不等式组得

故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．

(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为(a－2x)，

所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax，定义域为．

类型2　求函数的解析式

求函数解析式的题型与相应的解法

(1)已知形如f (g(x))的解析式求f (x)的解析式，使用换元法或配凑法．

(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．

(3)含f (x)与f (－x)或f (x)与f ，使用解方程组法．

(4)已知一个区间的解析式，求其对称区间的解析式，可用奇偶性转移法．

【例2】　(1)函数f (x)在R上为奇函数，当x>0时，f (x)＝＋1，则f (x)的解析式为______．

(2)已知f ＝＋，则f (x)的解析式为________．

(3)已知f (x)－3f (－x)＝2x－1，则f (x)＝________．

(1)f (x)＝(2)f (x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)　(3)x＋　[(1)设x<0，则－x>0，∴f (－x)＝＋1．∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，

即－f (x)＝＋1，∴f (x)＝－－1．

∵f (x)是奇函数，∴f (0)＝0，

∴f (x)＝

(2)令t＝＝＋1，则t≠1．把x＝代入f ＝＋，得f (t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1．

所以所求函数的解析式为

f (x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．

(3)因为f (x)－3f (－x)＝2x－1，以－x代替x得f (－x)－3f (x)＝－2x－1，两式联立得f (x)＝x＋．]

类型3　函数的性质及应用

函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意易漏定义域的影响．

【例3】　已知f (x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有>0成立．

(1)判断f (x)在[－1，1]上的单调性，并证明；

(2)解不等式f (x2)<f (2x)；

(3)若f (x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　(1)f (x)是[－1，1]上的增函数．

证明：任取x1，x2∈[－1，1]，且x1<x2，

则f (x1)－f (x2)＝f (x1)＋f (－x2)．

∵>0，∴>0，

∵x1－x2<0，∴f (x1)－f (x2)<0．

∴f (x)是[－1，1]上的增函数．

(2)由(1)可得f (x)在[－1，1]上递增，

可得不等式f (x2)<f (2x)等价于解得0<x≤，即所求不等式的解集为．

(3)要使f (x)≤m2－2am＋1对所有的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，只需f (x)max≤m2－2am＋1对所有的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，又f (x)max＝f (1)＝1，

∴1≤m2－2am＋1对任意的a∈[－1，1]恒成立，即m2－2am≥0对任意的a∈[－1，1]恒成立．

令g(a)＝－2ma＋m2，只需

解得m≤－2或m≥2或m＝0，

故实数m的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．

类型4　函数图象的画法及应用

利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象．

【例4】　已知函数f (x)＝|－x2＋2x＋3|．

(1)画出函数图象并写出函数的单调区间；

(2)求集合M＝{m|使方程f (x)＝m有四个不相等的实根}．

[解]　(1)当－x2＋2x＋3≥0时，得－1≤x≤3，函数f (x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，

当－x2＋2x＋3<0时，得x<－1或x>3，

函数f (x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，

即f (x)＝的图象如图所示，单调递增区间为[－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，3)．

(2)由题意可知，函数y＝f (x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0<m<4．

故集合M＝{m|0<m<4}．

类型5　函数的应用

本章主要学习了分段函数的建模问题，分段函数主要是每一段的变化规律不全相同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段要“不重不漏”．

【例5】　通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x)表示学生接受概念的能力(f (x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式

f (x)＝

(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？

(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？

[解]　(1)当0<x≤10时，f (x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9，

由f (x)的图象(图略)可知，当0＜x≤10时递增，f (x)最大值＝f (10)＝59；

当10<x≤16时，f (x)＝59；

当16<x≤30时，f (x)为减函数，f (x)最大值＜59．

因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．

(2)∵f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，

f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5，

∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强．