【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第05讲《二次函数y=ax2bxc(a≠0)的性质》预习讲学案

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第05讲 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质

一、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象




开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标


增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
二、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．



例1．二次函数有（       ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】C
【解析】
【分析】
直接把二次函数的一般式化为顶点式即可排除选项．
解：由二次函数可得：，
∵，
∴当x=1时，二次函数有最大值为-4；
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
例2．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（       ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴有唯一交点
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断．
解：，
抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大，
令，则，解方程解得 ，，
△，
抛物线与轴有两个交点．
故选：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
例3．已知二次函数，若点，，在此二次函数图象上，则，，的大小关系正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意易得二次函数的对称轴为直线，进而可得点，关于抛物线的对称轴对称，然后根据二次函数的性质可排除选项．
解：∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴点为二次函数的顶点，
∵点，，
∴根据二次函数的对称性可得：，
∴，
∵3＞0，
∴二次函数的开口向上，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
例4．已知二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的图象经过点（4，c），则c的值是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
把点（4，c）代入y＝x2+bx+c即可得b＝-4，再把y＝x2+bx+c，化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得c．
解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，c），
∴c＝16+4b+c，
∴b＝-4．
∴，
∵最小值是﹣6
∴-4+c=-6
∴c=-2
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数y＝x2+bx+c的解析式化成顶点式是解题的关键．
例5．下表是二次函数（，均为整数）的自变量与因变量的部分对应值．
自变量





0.07
1.33
因变量
7.0089
0.1664


1.4025
3.2849
10.0889
给出下列判断，其中错误的是（       ）A．该抛物线的对称轴是直线 B．该二次函数的最小值为
C．当、时， D．当时，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出该二次函数解析式，并改为顶点式，即可判断A和B选项．利用二次函数的对称性和增减性即可判断C和D选项．
根据表格将和代入二次函数解析式，得：
，
解得：．
故该二次函数解析式为，且改为顶点式为．
∴该抛物线的对称轴是直线，故A正确，不符合题意；
该二次函数的最小值为−1，故B正确，不符合题意；
∵关于对称轴对称为，
∴，
当时，y随x的增大而增大，
∴，即．故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，，
∴，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质．根据表格利用待定系数法求出该函数解析式是解答本题的关键．
例6．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是（　　）

A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用抛物线的对称性求解抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 再利用图像得到y＜0时，函数图像在轴的下方，从而可得答案．
解：由抛物线的对称轴为： 且过
所以抛物线与轴的另一个交点的坐标为：
当y＜0时，函数图像在轴的下方，
所以：＜＜
故选：
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称性，利用抛物线的图像写不等式的解集，掌握以上知识是解题的关键．
例7．已知二次函数（m为常数，且），（       ）
A．若，则，y随x的增大而增大 B．若，则，y随x的增大而减小
C．若，则，y随x的增大而增大 D．若，则，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出二次函数图象的对称轴，然后根据m的符号分类讨论，结合图象的特征即可得出结论．
该二次函数图象的对称轴为直线，
若，对于无法判断其符号，故A、B选项不一定正确；
若，则，即，且抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而减小，
故选：D．
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，解决此题的关键是分类讨论确定对称轴的位置，再结合开口方向进行综合分析．
例8．已知二次函数（a为常数，且）（       ）
A．若时，y随x的增大而增大，则或
B．若时，y随x的增大而增大，则
C．若时，y随x的增大而减小，则或
D．若时，y随x的增大而减小，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质和题意，可以求得的取值范围，本题得以解决．
解：二次函数为常数，且，
若时，随的增大而增大，则当时，，得；当时，，得；
若时，随的增大而减小，则当时，，得；当时，，得；
故选：．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
例9．已知，两点均在抛物线上点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】
先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解．
解：∵点是该抛物线的顶点，且，
∴该函数有最小值，则函数开口向上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，点B、C重合，则，不符合题意；
∴的取值范围为：或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．
例10．已知抛物线 y= -x2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y的最大值是6，则 m的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出抛物线的对称轴，分，，三种情况进行讨论即可．
抛物线开口向下，对称轴为直线x=
①当时，即m< -2时，x=-1时，y最大=-1+m=6，解得m=7（舍）；
②当时，即时，x=时，y最大=，解得，（舍）；
③当时，即时，x=2时，y最大=，解得m=（舍）.
综上所述：
故答案为．
【点睛】
考查二次函数的图象与性质，注意分类讨论，不要漏解．
例11．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
例12．已知二次函数中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示，点在函数图象上
x
…
0
1
2
3
…
y
…
m
n
3
n
…

则表格中的m＝______；当时，和的大小关系为______．
【答案】     -1    
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的对称性确定其对称轴，根据对称轴公式求出b的值，代入表格中的坐标求出c的值，然后根据二次函数的对称性及增减性判断和的大小关系．
根据图表知，
当x=1和x=3时，所对应的y值都是n，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，
∴ ，b=4
∴
把(2，3）代入得：c=-1
∴
把x=0代入得：m=-1
又∵对称轴是直线x=2，
∵，
关于对称轴的对称点在4和5之间，
∵该二次函数的图象的开口方向是向下，当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴y1＜y2，
故答案为：-1；y1＜y2
【点睛】
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．

一、单选题
1．已知二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有（       ）
A．最小值-7 B．最大值-7 C．最小值3 D．最大值3
【答案】B
【解析】
【分析】
抛物线开口向下，则顶点的纵坐标为函数的最大值．
∵抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴二次函数的最大值为．
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数图像的性质，解题关键是掌握二次函数图像的性质．
2．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可．
解：把，，分别代入得，
；；；
则，，的大小关系是，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．
3．二次函数的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b．则M、N的大小关系为（       ）


A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
由图像可知，当时，，当时，，然后用作差法比较即可.
解：当时，，
当时，，

，
即，
故选：A.
【点睛】
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键.
4．下列表格是二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程 （a≠0，a，b，c，为常数）的一个解x的范围是（        ） ．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
y=ax2+bx+c
-0.3
0.1
0.6
1.2
2.0

A．6.17 【答案】C
【解析】
【分析】
从表格可看出当x=6.19时， <1，当x=6.20时，>1，由于函数都具有连续性，所以时，，由此可得出答案．
从表格得出：
∵0.6<1<1.2，
∴6.19 故选：C．
【点睛】
本题考察了表格读取信息的能力和二次函数的知识，理解二次函数因变量与自变量之间关系是做出本题的关键．
5．已知二次函数y＝x2﹣2x+k的最小值是0，则k的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
在二次函数中，，，，因为，且函数的最小值是0，所以，进行计算即可得．
解：在二次函数中，，，，
∵，且函数的最小值是0，
∴，

，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质．
6．已知二次函数，若时，；则当时，对应的函数值范围判断合理的是（       ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得：求出抛物线的对称轴，可以找出a的大小范围，然后可确定a-1的大小范围，最后可解题．
解：∵，
∴抛物线开口向上，且对称轴为直线，最小值为，
当时，，当时，，
∵当时，，
∴，
∴，
∵时，，
∴当时，．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线上点的特性，考查了抛物线开口向上时，对称轴右侧y的值随x的值增大而增大的特性，本题中确定a的取值范围是解题的关键．
7．设直线是函数（a，b，c是实数，且）的图象的对称轴，（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
由对称轴，得，进而将分逐项分析判断即可．
解：称轴，
．
A. 若，则，可能大于0也可能小于0，故不能判断，故该选项不正确，不符合题意；
B. 若，则，可能大于0也可能小于0，故不能判断，故该选项不正确，不符合题意；
C. 若，则，
，
，故该选项正确，符合题意；
D. 若，则，故该选项不正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，求得是解题的关键．
8．已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为9，则的值为(     )
A．2或 B． C． D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据当x≥2时，y随x的增大而减小，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，可以判断a的正负，得到关于a的方程，从而可以求得a的值．
解：∵二次函数y=ax2+2ax+2a2+3=a（x+1）2+2a2-a+3，
∴该函数的对称轴为直线x=﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴a＜0，当x=﹣1时，y=9，
∴9=2a2-a+3，
解得，a1=﹣，a2=2（舍去），
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝．

A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解．
解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，
如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，

∴AM=BM，AN=CN，
∴，
∵BC=10，
∴MN=5，
∴h+3=5，
∴h=2，
∵点B（3，3），
∴3＝（3-2）2＋k，解得： ，
∴，
∵BC∥x轴，
∴点A、C的纵坐标为3，
令，则，
解得：，
∴点A（1，3），
把点A（1，3）代入，得：
，解得： ，故①错误；
∵，且对称轴为直线x=2，
∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小，
∵，
∴，
∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为，
∴p＜n＜m，故②正确；
∵，
∴，
∵y1≥y2，
∴，
整理得：，
解得：或，故③错误；
∵，，
当x=0时，，，
∴点，
∴，故④正确；
∴正确的有②④．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
10．已知A（，），B（，）是抛物线上的两点，下列命题正确的是（       ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式可得抛物线对称轴，然后分类讨论开口方向求解．

∴抛物线与x轴的交点为：
∵或两种情况，抛物线的对称轴为：
如下图所示：


A，若，则，表示为y随x的增大而增大，但抛物线是轴对称图象，与条件矛盾，故不符合题意．
B，若，则，表示为与对称轴的距离，当时成立，当时不成立，故不符合题意．
C，若，且，则， 表示为与对称轴的距离，当时，，故不符合题意．
D，若，且，则， 故符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题
11．点A(2，y1)，B(3，y2)是二次函数y=x2-2x-1 图像上的两点，则y1与y2的大小关系为y1______y2 (填“>”或“<”或“=”)．
【答案】＜
【解析】
【分析】
分别计算自变量为2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
解：当x＝2时，y1＝x2-2x-1＝-1；
当x＝3时，y2＝x2−2x-1＝2；
∵-1＜2，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
12．已知二次函数y=x2-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是__________________（用“<”连接）．
【答案】y3 【解析】
二次函数y==x2-7x+，其对称轴为直线x=-=-7，
∵a=＜0，
∴对称轴右侧y随x的增大而减小，
又∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，
∴y3 故答案为y3 13．抛物线在对称轴右侧的部分是上升的，那么的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由于二次函数的图象在对称轴右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数．
解：∵二次函数的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，
∴这个二次函数图象开口向上，
∴m+3＞0，
∴m＞-3，
故答案为m＞-3．
【点睛】
本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
14．函数y=x2－4x+3 (－3≤x≤3)的最小值是_________, 最大值是__________.
【答案】     -1     24
【解析】
【分析】
先求出二次函数的对称轴为直线x=2，再根据二次函数的增减性即可得出答案.
根据题意得：抛物线的对称轴为x==2,
∵a=1＞0，抛物线开口向上；
∴当－3≤x≤2时，y随x的增大而减小；当2＜x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y有最小值y=4－8+3=﹣1；
当x=﹣3时，y有最大值y=9+12+3=24.
故答案为﹣1；24.
15．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：

从上表可知，下列说法中正确的是________．（填写序号）
①抛物线与轴的一个交点为（3,0）；②函数的最大值为6；
③抛物线的对称轴是；　　　④在对称轴左侧，随增大而增大．
【答案】①③④
【解析】
根据图表，当x=-2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（-2，0）和（3，0）；
∴抛物线的对称轴是直线x==，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，
并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大．所以①③④正确，②错
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为______．

【答案】8
【解析】
【分析】
先依据配方法确定出抛物线的最小值，依据矩形的对角线相等可得到，然后确定出AC的最小值即可.
(x-3)2+8，
抛物线的顶点坐标为．
的最小值为8．
的最小值为8．
故答案为8．
【点睛】
本题主要考查的是矩形性质，配方法求二次函数的最值，求得AC的最小值是解题的关键．
三、解答题
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如果点D（x1，y1）和点E（x2，y2）在函数图象上，那么当0＜x1＜x2＜1时，请直接写出y1与y2的大小关系：y1　 　y2．
【答案】(1)y=-x2-2x+8
(2)＞
【解析】
【分析】
（1）由题意直接根据待定系数法即可求得；
（2）根据题意先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
(1)
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（-1，9），C（0，8），
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为y=-x2-2x+8.
(2)
∵y=-x2-2x+8=-（x+1）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
18．已知：二次函数．
(1)将化成的形式．
(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．
【答案】(1)
(2)对称轴是直线，顶点坐标是，最小值为
【解析】
【分析】
（1）用配方法将二次函数解析式配成顶点式即可；
（2）根据顶点式的解析式写出对称轴、顶点坐标、最小值．
(1)
解：

．
(2)
解：由（1）知，该抛物线的对称轴为：直线x=2，顶点坐标为（2，－1），抛物线开口朝上，有最小值，最小值为－1．
【点睛】
本题考查了二次函数一般式与顶点式的转化，利用顶点式求对称轴、顶点坐标、最值等知识点．利用配方法求出顶点式是解题关键．
19．如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．

（1）m的值为________；
（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；
（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；
（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．
【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4
【解析】
【分析】
根据函数的图象和性质即可求解．
解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，
故答案为3；
（2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为直线x＝＝1，
∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为x＞1；
（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，
从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；
故答案为﹣1＜x＜3；
（4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
而抛物线的顶点坐标为（1，4），
故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，
故答案为﹣5≤y≤4．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键．
20．如图，已知抛物线过点，与y轴交于．

(1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)当时，函数的最大值与最小值的差为9，求t的值．
【答案】(1)，；
(2)4
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据二次函数的性质列出方程即可求解．
(1)
将和代入得，
解得，
则，
∵，则顶点坐标为；
(2)
令=0，解得x1=-1，x2=3，
∴当或3时，，
当时，，
∵，
故要满足条件必有，
当时，，
当时，，
则有，
解得（舍去），，
∴t的值为4．
【点睛】
此题主要考查二次函数图像与性质综合，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
21．已知如图，抛物线与x轴相交于两点，，与y轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线上的一点，求出m的值，并求出此时的面积．

【答案】（1）y＝x2−4x＋3；（2）；S△ABD＝
【解析】
【分析】
（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，从而确定该二次函数的解析式；
（2）将D点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出m的值；以AB为底，D点纵坐标的绝对值为高，即可求出△ABD的面积．
解：（1）A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式得
，
解之得，
∴y＝x2−4x＋3；
（2）∵是抛物线y＝x2−4x＋3上的点，代入得；
∴S△ABD＝．
【点睛】
此题主要考查了二次函数解析式的确定以及三角形面积求法，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
22．已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为．

（1）求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标；
（2）根据图象回答：当取何值时，？
（3）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标．
【答案】（1），；（2）＜＜；（3）
【解析】
【分析】
（1）把代入：，利用待定系数法求解，再求解点的坐标即可得到答案；
（2）由，可得抛物线的图像在轴的下方，结合图像可得的取值范围，从而可得答案；
（3）由关于抛物线的对称轴对称，可得与对称轴的交点满足最小，从而可得答案．
解：（1）把代入：，
，
解得：
所以抛物线的解析式为：，
由



（2） 抛物线与轴交于 ，
抛物线的图像在轴的下方，
结合图像可得：＜＜
（3）∵
∴对称轴是直线x=1． 如图，当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，

此时点P是对称轴与x轴的交点，即P（1，0）．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图像解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．
23．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．

【答案】（1）顶点D的坐标为（﹣，）；（2）△ABC是直角三角形（3）当M的坐标为（﹣，）
【解析】
【分析】
(1)将点A的坐标代入函数解析式求出b的值，然后将二次函数进行配方从而得出顶点坐标；
(2)根据二次函数的解析式分别得出点A、B、C的坐标，然后分别求出AC、BC和AB的长度，然后根据勾股定理的逆定理得出答案；
(3)由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，则BC与对称轴的交点就是点M，根据一次函数的交点求法得出点M的坐标．
解：(1)∵点A（1，0）在抛物线上，
∴+b+2=0，解得，，
抛物线的解析式为，
则顶点D的坐标为；
(2)△ABC是直角三角形，
证明：点C的坐标为（0，2），即OC=2，
当，
解得，x1=﹣4，x2=1，
则点B的坐标为（﹣4，0），即OB=4，OA=1，OB=4，
∴AB=5，
由勾股定理得，AC=，BC=，
   AC2+BC2=25=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，
连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
由题意得，， 解得，，
则直线BC的解析式为：，
当x=时，，
∴当M的坐标为．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数的交点坐标，属于中等难度的题型．待定系数法求函数解析式是解决这个问题的关键．
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
(1)抛物线的对称轴是：直线______；
(2)若，为抛物线上两点，满足，，当时，判定与的大小关系，请直接写出结果；
(3)已知点D的横坐标为1，且点D在直线上．点C的坐标为，若抛物线与线段CD恰有一个公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】(1)-1
(2)，理由见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到点A的横坐标为0，点B的横坐标为-2，即可求解；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线x=-1，从而得到抛物线解析式为，再把，分别代入得到，即可求解；
（3）根据题意可得点A（0，-3a），点B（，-2，-3a），物线解析式为，抛物线与x轴交于点（1，0），点，分两种情况讨论：当a＞0时，当a＞0时，即可求解．
(1)
∵根据题意得∶点A的横坐标为0，点B的横坐标为-2，
∴抛物线的对称轴是：直线；
故答案为∶-1
(2)
解∶ ，理由如下∶
由（1）得：抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴，即b=2a，
∴抛物线解析式为，
∵，为抛物线上两点，
∴，，
∴


∵，，，
∴，，
∴，
∴；
(3)
解：根据题意得：点A（0，-3a），点B（，-2，-3a），物线解析式为，
当x=1时，，
∴抛物线与x轴交于点（1，0），
∵点D的横坐标为1，且点D在直线上．
∴点，
当a＞0时，如图，此时点C在点B的上方，3a+4>0，


∴点D在（1，0）的上方，
观察图象得：此时抛物线与线段CD没有公共点；
当a＜0时，如图，此时点C在点B的下方，


观察图象得：当点D在（1，0）的上方或与点（1，0）重合时，抛物线与线段CD恰有一个公共点，
∴且，
∴；
综上所述，若抛物线与线段CD恰有一个公共点，a的取值范围为．
【点睛】
本题考查二次函数综合应用，涉及抛物线对称轴、二次函数图象上点坐标特征、函数值大小比较、抛物线与线段的交点等知识，解题的关键是数形结合，列出关于a的不等式．