【暑假提升】2023年人教版数学七年级（七升八）暑假-专题1.5《多边形及其内角和》预习讲学案

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❊1.5 多边形及其内角和
考点先知

知 识
考 点
多边形的对角线
1.多边形的对角线条数问题
2.多边形的对角线分三角形个数问题
截多边形
3.截多边形问题

多边形的内角和
4.多边形的内角和
5.多（少）一个角问题
多边形的外角和
6.多边形的外角和问题
7.正多边形的内角和与外角和
题型精析

知识点一 多边形的对角线

思考

1.从三角形的一个顶点可以做______条对角线.

2.从四角形的一个顶点可以做______条对角线. 由于四边形共有______个顶点，所以一共可以作______条对角线. 但是由于每条对角线都重复作了______次，所以，四边形共有______条对角线.

3.从五边形的一个顶点可以做______条对角线. 由于五边形共有______个顶点，所以一共可以作______条对角线. 但是由于每条对角线都重复作了______次，所以，五边形共有______条对角线.

4.从n边形的一个顶点可以做______条对角线. 由于n边形共有______个顶点，所以一共可以作______条对角线. 但是由于每条对角线都重复作了______次，所以，n边形共有______条对角线.
【总结】从n边形的一个顶点可以做______条对角线，n边形共有______条对角线.
题型一 多边形的对角线

例1

若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2014条对角线，则它是（　　）边形．
A．2017
B．2016
C．2015
D．2014
【答案】A
【分析】边形一个顶点可以画条对角线，代入数据计算即可．
【详解】解：设这个多边形是n边形．
依题意，得，
∴．
故这个多边形是2017边形，
故选：A．
例2

一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总数是（　　）
A．88
B．44
C．45
D．50
【答案】C
【分析】根据一个n边形从一个顶点出发有条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据n边形对角线的总数为即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
∵一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线，
∴，
解得：，
∴总的对角线的条数为：条．
故选C．
变1
若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画2022条对角线，则它是（　　）边形．
A．2025
B．2024
C．2023
D．2022
【答案】A
【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，由此可得到答案．
【详解】解：设这个多边形是n边形．
依题意，得，
∴．
故这个多边形是2025边形，
故选：A．
变2
过凸十边形的一个顶点发出的对角线有______条，它共有______条对角线
【答案】7，35
例3

辰萱同学和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：

多边形的顶点数
4
5
6
7
8
……

从一个顶点出发的对角线的条数
1
2
3
4
5
……
①
多边形对角线的总条数
2
5
9
14
20
……
②
（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①______；②______.
（2）拓展应用：有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话?
【答案】(1)①，②
(2)他们一共通了2850次电话

【分析】（1）根据前面5个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案；
（2）将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，再结合（1）的结论即可得．
【详解】（1）解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
归纳类推得：当多边形的顶点数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为（其中，且n为整数），
故答案为：，．
（2）解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，
则，
答：他们一共通了2850次电话．
变3
（1）问题：
①从四边形的一个顶点出发可以画______条对角线，四边形共有______条对角线；
②从五边形的一个顶点出发可以画______条对角线，五边形共有______条对角线；
③从六边形的一个顶点出发可以画______条对角线，六形共有______条对角线.
（2）猜想：
①从100边形的一个顶点出发可以画______条对角线，100边形共有______条对角线；
②从n边形的一个顶点出发可以画______条对角线，n边形共有______条对角线.
（3）应用：有32支足球队进行单循环赛，一共需要赛几场？
【答案】（1）①1；2；②2；5；③3；9（2）①97；4850；②；；（3）496场
【分析】对于（1），画出图形得到各图形从一个顶点出发引的对角线的条数及对角线的总条数；
对于（2），结合（1）中的解答，可类比得到100边形从一个顶点出发引的对角线的条数及对角线的总条数，进而结合规律，得到n边形的结果；
对于（3），应用（2）中的规律进行计算即可得出结果.
【详解】（1）画出图形观察图形可得：

①从四边形的一个顶点出发可以画1条对角线，四边形共有2条对角线；
②从五边形的一个顶点出发可以画2条对角线，五边形共有5条对角线；
③从六边形的一个顶点出发可以画3条对角线，六边形共有9条对角线；
（2）①由（1）可知：从100边形的一个顶点出发可以画97条对角线，100边形共有4850条对角线；
②从n边形的一个顶点出发可以画（n-3）条对角线，因为它有n个顶点，所以共有n(n-3)条对角线，其中每一条对角线都重复一次，因此共有（n≥3，且n为整数）条对角线；
（3）根据多边形对角线条数是来计算，把每支球队都看做32边形的一个顶点，每支球队与相邻球队比赛，要赛32场，与不相邻球队比赛要赛（场）.答：一共需要赛496场.
知识点二 对角线分三角形个数

思考

1.从三角形的一个顶点可以做______条对角线.

2.从四角形的一个顶点可以做______条对角线，将多边形分成了______个三角形.

3.从五边形的一个顶点可以做______条对角线，将多边形分成了______个三角形.

4.从n边形的一个顶点可以做______条对角线，将多边形分成了______个三角形.
【总结】从n边形的一个顶点可以做______条对角线，将n边形分成了______个三角形.
题型二 对角线分三角形个数

例1

过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（　　）
A．十边形
B．九边形
C．八边形
D．七边形
【答案】B
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，，
解得：，
即这个多边形是九边形，
故选：B
例2

从多边形的一个顶点出发所引的对角线把这个多边形分成9个三角形，则所引的对角线条数是（　　）
A．7条
B．8条
C．9条
D．10条
【答案】B
【分析】根据从多边形的一个顶点出发引出的对角线的条数以及对角线将多边形分成的三角形的个数的关系解决此题．
【详解】解：从边形的一个顶点出发可引出条对角线，并且把这个多边形分成了个三角形，
从多边形的一个顶点出发所引的对角线把这个多边形分成9个三角形，则从这个多边形的一个顶点出发引出了8条对角线，
故选：B．
变1
在研究多边形的几何性质时，我们常常把它分割成三角形进行研究．从十边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形解答即可．
【详解】从十边形的一个顶点可以引10-3=7条对角线，可分割成10-2=8个三角形，故C正确．
故选：C．
变2
如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为___________．
【答案】2025
【分析】从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形，由此即可解决问题．
【详解】解：从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形，
，
，
故答案为：2025．

知识点三 截多边形

思考

1.切割掉四边形的一个角，有______种切法，剩余部分可能是_________边形.

3.切割掉五边形的一个角，有______种切法，剩余部分可能是_________边形.

3.切割掉n边形的一个角，有______种切法，剩余部分可能是_________边形.
题型三 多边形截角问题

例1

将一个二十边形截掉一个角后，剩余部分可能是__________边形.
【答案】十九、二十、二十一
变1
将一个七边形截掉一个角后，剩余部分可能是__________边形.
【答案】六、七、八
例2

若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）
A．4或5
B．3或4
C．3或4或5
D．4或5或6
【答案】C
【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可．
【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；
所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．
故选：C．
例3

一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（　　）
A．15或16或17
B．15或17
C．16或17
D．16或17或18
【答案】A
【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案.
【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，

如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，

如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，
所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，

故选：
变2
把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　）
A．16
B．17
C．18
D．19
【答案】A
【详解】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形.
故选A.
变3
若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______．
【答案】14或15或16
【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可．
【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，

∴此时原多边形的边数为；
如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，

∴此时原多边形的边数为15；
如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边，

∴此时原多边形的边数为；
综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16．
故答案为：14或15或16．
知识点四 多边形的内角和


公式
三角形内角和
三角形的内角和为_______°.
多边形的内角和
由于n边形可以分成n-2个三角形，所以n边形的内角和为_______°.
题型四 多边形的内角和

例1

若一个n边形的内角和为，则n的值是（　　）
A．9
B．7
C．6
D．5
【答案】B
【分析】根据内角和定理求出边数即可得出结论．
【详解】解：根据题意得；，
解得：．
故选：B．
例2

已知一个n边形的内角和是，从它的一个顶点出发可以作m条对角线，则的值为（　　）
A．17
B．19
C．21
D．66
【答案】C
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数即可求解．
【详解】解：此多边形的边数为，由题意得：
，
解得，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：，
∴
故选：C．
例3

已知一个多边形的边数恰好是从它的一个顶点出发引出的对角线条数的2倍，求这个多边形的边数及内角和度数．
【答案】6，
【分析】设此多边形有n条边，则从一个顶点引出的对角线有条，根据“一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍”列出方程，解方程即可．
【详解】解：设此多边形有n条边，由题意，得
，
解得，即边数为6，
，即内角和为．
变1
已知n边形的内角和为1800°，那么n的值为______．
【答案】12
【分析】根据多边形的内角和公式求解即可．
【详解】由题意可得：，
解得，
故答案为：12．
变2
已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的倍，则这个多边形的内角和为（　　）
A．540°
B．720°
C．1080°
D．1260°
【答案】D
【分析】设此多边形有n条边，则从一个顶点引出的对角线有条，根据“一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的倍”列出方程，解方程即可．
【详解】解：设此多边形有n条边，由题意，得
，
解得，即边数为，
，即内角和为，
故选：D．
变3
若一个多边形的内角和为1080°，则此多边形一共有______条对角线．
【答案】20
【分析】n边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数，再根据多边形对角线计算公式求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得．
∴共有对角线条．
故答案为：20．



题型五 多（少）算一个角问题

例1

小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（　　）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】D
【分析】设少输入内角的度数是x，根据多边形内角和公式列出等式，再根据多边形边数为正整数即可求解．
【详解】解：设少输入的这个内角的度数是x，
根据多边形的内角和公式得：，
∴ ，
∵n是正整数，，
∴，．
∴．
故选D．
例2

已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（　　）
A．十一边形
B．十二边形
C．十三边形
D．十五边形
【答案】B
【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，
则：（n-2）•180+x=1960，
∴x=2320-180n．
∵0°＜x＜180°，
∴0＜2320-180n＜180，
解得
∵n为正整数，
∴n=12．
故选：B．
例3

辰萱同学：我计算出一个多边形的内角和为2020°；老师：不对呀，你可能少加了一个角!则小红少加的这个角的度数是（　　）
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，少计算了一个内角，结果得2020°．则内角和是（n﹣2）•180°与2020°的差一定小于180度，并且大于0度．
【解答】解：设多边形的边数为n，小红少加的这个角的度数是x°，
则有0°＜（n﹣2）180°﹣2020＜180°，
则2020°＝180°×12﹣140°，
因为0°＜x°＜180°，
所以x°＝140°，
故选：D．
变1
小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角和得1755°，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角的度数是多少？
【答案】
【分析】根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是的倍数，然后根据题意求解即可；
【详解】解：设多加的这个内角的度数为，根据题意有，．∵，∴，解得，∴，．
变2
一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为2570°，则这个多边形对角线的条数是（　　）
A．90
B．104
C．119
D．135
【答案】C
【分析】由多边形内角和定理与多边形的对角线的条数的公式，即可解决问题．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，除去的那个内角是x，
由题意得：，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴这个多边形对角线的条数是．
故选C．
变3
如图所示，根据图中的对话回答问题．

问题：（1）王强是在求几边形的内角和？
（2）少加的那个内角为多少度？
【答案】（1）9；（2）120°
【分析】（1）根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可；
（2）利用（1）中所求边数得出答案．
【详解】解：（1）因为1140°÷180°＝，
则边数是：6+1+2＝9
故王强求的是九边形的内角和；
（2）少加的内角的度数为180°－60°＝120°．
知识点五 正多边形的内角和

正多边形的内角和
由于正多边形的每个内角都相等，所以正多边形的内角和可以通过两种方式计算：
1.多边形的内角和公式；
2.正多边形的一个内角与边数的乘积.
题型六 正多边形的内角和

例1

正十边形的每个内角等于______度.
【答案】144
【分析】根据正多边形每个角的度数为：求解即可．
【详解】解：正十边形的每个内角，
故答案为：144．
例2

若一个正多边形的一个内角是144°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．
【详解】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得
，
解得，
故选：C．
变1
一个多边形每个内角都是150°，这个多边形是（　　）
A．九边形
B．十边形
C．十二边形
D．十八边形
【答案】C
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据正多边形的内角公式，列出方程求解即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴这个多边形是十二边形，
故选：C．
变2
如果一个正n边形的每个内角是156°，则______．
【答案】
【分析】根据正多边形内角和公式进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
知识点六 多边形的外角和

多边形的外角和
任意多边形的外交和都是_______°.
题型七 多边形的外角和

例1

若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形是（　　）
A．正六边形
B．正五边形
C．正方形
D．等边三边形
【答案】A
【分析】根据正多边形的性质和多边形的外角和即可得．
【详解】任意一个多边形的外角和均为，
由正多边形的性质可知，其每一个外角都相等，
设这个正多边形为正边形，
则，
解得，
即这个正多边形为正六边形，
故选：A．
变1
一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】B
【分析】由于每个外角都是，根据外角和计算出边数即可．
【详解】解：每个外角都是，多边形外角和为，
多边形的边数为，
故选：B．
例2

一个正多边形，它的每一个内角都等于，则该正多边形是（　　）
A．正六边形
B．正七边形
C．正八边形
D．正九边形
【答案】D
【分析】先求出外角的度数，再利用多边形外角和为即可求出边数.
【详解】解：每个外角度数为，
，

故选：D.
变2
若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为______．
【答案】8
【分析】首先求得每个外角的度数，然后利用360度除以外角的底数即可求解．
【详解】解：外角的度数是：，
则多边形的边数为：．
故答案为：8．
例3

一个正多边形的内角和为，则该多边形的一个外角是（　　）
A．15°
B．18°
C．20°
D．36°
【答案】B
【分析】根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．
【详解】解：设正多边形是n边形，则
，
解得．
，
故选：B．
例4

一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角与相邻外角度数比均为，则这个正多边形的边数是______．
【答案】9##九
【分析】设每个内角为，每个外角为，先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角的度数，再根据多边形的外角和是，从而代入公式求解即可．
【详解】解：设每个内角为，每个外角为，
根据题意得：，
解得，
故每个外角为，
，
故这个正多边形的边数是9，
故答案为：9．
变3
正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是______．
【答案】18
【分析】设这个正多边的外角为，则内角为，根据内角和外角互补可得可得x的值，再根据多边形的外角和为即可解答．
【详解】解：设这个正多边的外角为，则内角为由题意得：
，解得：，
．
故答案为：18．
变4
在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和．
【答案】
【分析】设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据一个外角与其相邻的内角互补建立方程求出，再根据多边形外角和为求出边数，最后根据多边形内角和公式求解即可．
【详解】解：设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，
由题意得，，
解得．即多边形的每个外角为．
又∵多边形的外角和为，
∴多边形的外角个数为．
∴多边形的边数为9，
∴这个多边形的内角和为 ．
题型八 多边形的外角和的应用

例1

如图，小亮从A点出发，沿直线前进10m向左转30°再沿直线前进10m，又向左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（　　）

A．100m
B．110m
C．120m
D．130m
【答案】C
【分析】根据多边形的外角和，求出多边形边数，然后再求周长即可．
【详解】解：∵多边形的外角和为，
∴，
∴照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了，故C正确．
故选：C．
例2

如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了50米，则每次旋转的角度为______．

【答案】##36度
【分析】根据共走了50米，每前进5米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度．
【详解】解：向左转的次数（次），
则左转的角度是．
故答案是：．

变1
小明从点出发，前进50m后向右转，再前进50m后又向右转，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点时，共走了______m．
【答案】
【分析】从点出发，前进后向右转4，再前进后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和为，判断多边形的边数，再求路程．
【详解】解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为，
则，解得，
∴他第一次回到出发点A时一共走了：，
故答案为．
例3

如图，已知，那么的大小是（　　）

A．60°
B．70°
C．80°
D．90°
【答案】B
【分析】根据多边形外角和为度进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选B．
例4

如图，五边形中，，，，分别是该五边形的外角，则等于______度．

【答案】180
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：延长，，

∵，
∴，
根据多边形的外角和定理可得，
∴．
故答案为：180．
变2
如图，在四边形中，，则的度数为______．

【答案】##140度
【分析】根据四边形的外角和，得到与相邻的外角度数，即可求出的度数．
【详解】解：多边形的外角和为，，
与相邻的外角，
，
故答案为：．
知识点七 平面镶嵌

平面镶嵌
几个多边形不留缝隙的镶嵌在一起，要求这几个多边形的其中一个内角加起来等于_____°.
题型九 镶嵌问题

例1

用一种正多边形铺设地面时，不能铺满地面的是（　　）
A．正三角形
B．正四角形
C．正五角形
D．正六角形
【答案】C
【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
【详解】解：A．正三角形的每个内角是，能整除，能密铺，不符合题意；
B．正四边形的每个内角是，4个能密铺，不符合题意；
C．正五边形的每个内角是，不能整除，不能密铺，符合题意；
D．正六边形每个内角是，能整除，能密铺，不符合题意．
故选：C．
例2

正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（　　）
A．正方形
B．正八边形
C．正十二边形
D．正四边形和正十二边形
【答案】D
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满，反之，则说明不能铺满．
【详解】解：A．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，A选项不符合题意；
B．正八边形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，B选项不符合题意；
C．正十二形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，C选项不符合题意；
D．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，正十二形的每个内角是，，故能铺满，D选项符合题意．
故选：D．
变1
用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（　　）
A．正方形
B．正六边形
C．正十二边形
D．正十八边形
【答案】D
【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为．因此要看用两种图形的几个内角是否可以拼出，依此即可解答．
【详解】∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，
又∵，
∴正方形能与之匹配，故A不符合题意；
∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为，
又∵或，
∴正六边形能与之匹配，故B不符合题意；
∵正三角形的每个内角为，正十二边形的每个内角为，
又∵，
∴正十二边形能与之匹配，故C不符合题意；
∵正三角形的每个内角为，正十八边形的每个内角为，
又∵此时不能够构成的周角，
∴正十八边形不能与之匹配，故D符合题意；
故选D．
变2
能够铺满地面的正多边形组合是（　　）
A．正六边形和正五边形
B．正方形和正八边形
C．正五边形和正八边形
D．正三角形和正八边形
【答案】B
【分析】能够铺满地面的图形，即是能够凑成的图形组合．
【详解】解：A、正六边形的每个内角是，正五边形的每个内角是，，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
B、正方形每个内角是，正八边形每个内角为，显然两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；
C、正五边形的每个内角是，正八边形每个内角为， ，n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
D、正三角形每个内角为60度，正八边形每个内角为135度，，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．
故选：B．
课后强化

1.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可画7条对角线，则它是（　　）边形．
A．七
B．八
C．九
D．十
【答案】D
【分析】根据多边形的边数与对角线的数量关系列方程求解即可．
【详解】设多边形有n条边，
则，
解得：，
故多边形的边数为10，即它是十边形，
故选：D．
2.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有2条对角线，则______．
【答案】216
【分析】根据m边形从一个顶点发出的对角线有条，从而可求得m的值；又根据n边形没有对角线，只有三角形没有对角线，从而可求得n的值；再根据k边形共有对角线条，从而可求得k的值，代入即可求出代数式的值．
【详解】解：∵m边形从一个顶点发出的对角线有条，
∴，
又∵n边形没有对角线，
∴，
又∵k边形有2条对角线，
∴，
∴，（舍去）
∴．
故答案为：216．
3.观察下面图形，并回答问题．

（1）四边形有______条对角线；五边形有______条对角线；六边形有______条对角线．
（2）根据规律七边形有______条对角线，n边形有______条对角线．
（3）应用：10个人聚会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？
【答案】（1）2；5；9；(2)14； ；（3）
【分析】（1）根据图形查出即可；
（2）根据对角线条数的数据变化规律进行总结，然后填写．
（3）根据多边形的对角线，可得答案．
【详解】（1）四边形有2条对角线；
五边形有5条对角线；
六边形有9条对角线；
∵从一个顶点可以作（n-3）条对角线，
∴n边形有 条对角线．
（2）七边形有14条对角线，n边形有条对角线．
（3）.
4.已知从九边形的一个顶点出发，可引出m条对角线，这些对角线可以把这个九边形分成n个三角形，则m-n=______；十三边形的共有______条对角线．
【答案】     -1     65
【分析】根据边数为a条边的多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（a-3）；组成的三角形的个数为（a-2），分别求出m、n的值即可得出；根据边数为a条边的多边形的对角线条数为，求出十三边形对角线条数即可．
【详解】解：∵边数为a条边的多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（a-3）；组成的三角形的个数为（a-2），
∴从九边形的一个顶点出发，对角线共有条，分成个三角形，
即，，
∴；
十三边形的对角线共有：（条）．
故答案为：-1；65．
5.若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（　　）
A．5或6
B．6或7
C．5或6或7
D．6或7或8
【答案】C
【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．

故选C
6.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是______边形.
【答案】三、四、五
【详解】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，
故答案为三、四、五.
7.若一个多边形的内角和是，则此多边形的边数是（　　）
A．十二
B．十
C．八
D．十四
【答案】B
【分析】根据多边形内角和公式，列方程求解即可，边形的内角和为．
【详解】解：设多边形的边数为，根据多边形内角和定理得：
，
解得：．
所以此多边形的边数为10边．
故选：B．
8.若一个多边形的内角和比五边形的内角和多360°，则这个多边形的边数为______．
【答案】7
【分析】结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
【详解】解：五边形的内角和是，
∴多边形的内角和是，
设这个多边形是n边形，
∴，
解得，
故答案为：7．
9.辰萱同学因少算了一个内角得出一多边形的内角和为980°，则该多边形的边数为（　　）
A．6
B．8
C．10
D．9
【答案】B
【分析】首先由题意找出不等关系列出不等式，进一步得出这个多边形的边数，即可求解．
【详解】解：设此多边形的内角和为x,
则有980°＜x＜980°+180°，
即180°×5+80°＜x＜180°×6+80°，
因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，
所以x=180°×6=1080°．
∴，
∴这个多边形边数为8，
故选B．
10.辰萱同学在进行多边形内角和计算时，求得内角和为2750°，当发现了之后重新检查，发现少加了一个内角，问这个内角是多少度?并求这个多边形是几边形．
【答案】这个内角的度数是130°，这个多边形的边数为18．
【分析】n边形的内角和是（n−2）•180°，多边形的内角一定大于0度，小于180度，比这个数值大的且最接近的整数就是多边形的边数．
【详解】解：设少加的内角为x度，边数为n．
则（n−2）×180＝2750＋x，
即（n−2）×180＝15×180＋50＋x，
因此x＝130，n＝18．
答：这个内角的度数是130°，这个多边形的边数为18．
11.若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的对角线总数是（　　）
A．30
B．35
C．40
D．45
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和定理求得正多边形的边数，再根据正n边形的对角线的条数为，可求得答案．
【详解】解：∵多边形外角和，
∴这个正多边形的边数是．
∴这个正多边形的对角线总数是（条）．
故选：B．
12.已知一个多边形的各内角都等于，那么它是______边形．
【答案】六
【分析】根据多边形内角和公式进行求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
∴，
∴这个多边形为六边形，
故答案为：六．
13.已知一个多边形的每一个外角都等于18°，下列说法错误的是（　　）
A．这个多边形是二十边形
B．这个多边形的内角和是3600°
C．这个多边形每一个内角都是162°
D．这个多边形的外角和是360°
【答案】B
【分析】用除以每一个外角的度数求出边数，再根据多边形的内角与相邻的外角互为补角和多边形的内角和公式与外角和定理对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：由题意可得：
多边形的边数为：，故A选项不符合题意；
多边形的内角和为：，故B选项符合题意；
每一个内角为：，故C选项不符合题意；
多边形的外角和为：，故D选项不符合题意；
故选：B．
14.如图，淇淇从点A出发，前进3米后向右转20°，再前进3米后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．则淇淇一共走了______米

【答案】54
【分析】分析得出所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和为，判断多边形的边数，再求路程．
【详解】解：∵淇淇每次都是右转且走的路程相同，
∴走过的路线是正多边形，且每一个外角是，
∴边数为：，
∴淇淇一共走的路程为：（米）．
故答案为：54．
15.如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，∠AED的度数是（　　）

A．120°
B．115°
C．105°
D．100°
【分析】根据多边形的外角和求出∠5的度数，然后根据邻补角的和等于180°列式求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，
∴∠5＝360°﹣75°×4＝360°﹣300°＝60°，
∴∠AED＝180°﹣∠5＝180°﹣60°＝120°．
故选：A．

16.辰萱同学的爸爸到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（　　）
A．正方形
B．长方形
C．正八边形
D．正六边形
【答案】C