【暑假提升】2023年人教版数学七年级（七升八）暑假-专题1.3《与三角形有关的角（1）》预习讲学案

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❊1.3 与三角形有关的角（1）
考点先知

知 识
考 点
三角形的内角和
1.利用三角形的内角和求角度
2.求角度（平行线问题）
3.求角度（三角板问题）
4.求角度（折叠问题）
直角三角形的两个锐角互余
5.根据互余求角度
6.余角的个数
题型精析

知识点一 三角形的内角和定理


内容
三角形的内角和定理
三角形的内角和等于______.
【注意】三角形的三个内角中的最大角必须大于等于60°，最小角必须小于等于60°.
题型一 三角形内角和的证明

例1

阅读下列材料，并完成相应任务．
小学我们就知道三角形内角和是，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是，证明方法如下：
如图1，已知：三角形．求证：．

证法一：如图2，过点A作直线，

∵，
∴（ ）
∵
∴，即三角形内角和是．
证法二：如图3，延长至M，过点C作…．

（1）证法一的思路是先用平行线的性质得到，此处，括号内应填写的理由是（ ），再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是，这种方法主要体现的数学思想是______；
A．数形结合思想
B．分类思想
C．转化思想
（2）将证法二补充完整；
（3）思考：同学们是否还能想到其他的证明方法？
【答案】(1)两直线平行，内错角相等；C
(2)证明见解析

【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可；
（2）延长至M，过点C作，根据平行线的性质可得，再由，即可求证．
【详解】（1）证法一：如图2，过点A作直线，

∵，
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴，即三角形内角和是．
这种方法主要体现的数学思想是转化思想；
故答案为：两直线平行，内错角相等；C
（2）证明：延长至M，过点C作，

∴，
∵
∴，即三角形内角和是．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，通过作适当的辅助线把三角形的三个内角和转化为一个平角是解题的关键．
例2

在解决下面三个问题时，运用转化策略的是（ ）
①计算5÷时，可以这样算：5÷=5×；②探究圆的面积；③求三角形的内角和．

A．只有①②
B．只有①③
C．只有②③
D．①②③都是
【答案】D
【分析】根据转化策略的概念求解即可．
【详解】解：①根据分数除法的计算法则，甲数除以乙（ 0除外），等于甲数乘乙数的倒数，把除法“转化”为乘法计算；
②把圆的面积转化为长方形面积计算；
③把三角形的内角和转化为平角计算．
综上所述，运用转化策略的有①②③，
故选：D．
变1
如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CEAB，得到∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，由于∠BCD=180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，这个证明方法体现的数学思想是（ ）

A．数形结合
B．特殊到一般
C．一般到特殊
D．转化
【答案】D
【分析】根据证明过程，是利用平行线的性质将三角形的内角和转化为平角定义证明这一数学思想，即可作出判断．
【详解】解：延长BC至D，过点C作CEAB，
∴∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，
∵∠BCD=180°，即∠ECD+∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
这个证明方法体现了转化的数学思想，
故选：D．
变2
在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是180°”的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：①．由，则，．由，得，故符合题意．
②．由，则，．由，得，故符合题意．
③．由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意．
④．由，得，．由，得，，那么．由，得，故符合题意，
共有：①②④符合条件，
故选：C．
题型二 利用三角形内角和求角度

例1

在△ABC中，
（1）若∠A：∠B：∠C=4：5：6，则∠C=______°．
（2）若∠A=∠B=∠C，则∠A=______°．
【分析】（1）设∠A=4x°，则∠B=5x°，∠C=6x°，利用三角形内角和定理，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入∠C=6x°中即可求出∠C的度数；
（2）设∠A=y°，则∠B=2y°，∠C=3y°，利用三角形内角和定理，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再将其代入∠B=2y°中即可求出∠B的度数．
【解答】解：（1）设∠A=4x°，则∠B=5x°，∠C=6x°，
依题意得：4x+5x+6x=180，
解得：x=12，
∴∠C=6x°=72°．
故答案为：72．
（2）120．
例2

∠A是∠B的2倍，∠C等于∠A加∠B，则△ABC是______三角形.
【答案】直角
【分析】设∠B=x，则∠A=2x，则∠C=3x，根据三角形内角和定理即可得到答案.
【详解】解：设∠B=x，则∠A=2x，
∴∠C=x+2x=3x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴,
解得：，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为直角.
变1
在△ABC中，∠B=∠C，∠A+∠B=115°，则∠B=______.
【答案】65°
【分析】首先根据三角形的内角和求出,再结合已知条件求出；
【详解】

又

故答案是：.
变2
若，则按角分的形状是______．
【答案】直角三角形
【分析】设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．
【详解】∵在△ABC中，，
∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x．
∵∠A＋∠B＋∠C=180，即x＋2x＋3x=180，解得x=30，
∴∠C=3x=90，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
例3

如图，，，则的度数是（ ）

A．35°
B．55°
C．65°
D．75°
【答案】A
【分析】根据题意及三角形内角和可得∠D=∠A，故问题得解．
【详解】解：∠AOB=∠DOC，，
，
，
，
；
故选A．
例4

如图，在中，．且．则的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设∠B=α，根据三角形的内角和定理列方程求解，即可得到结论．
【详解】解：设∠B=α，
∴∠A+∠C=180°-α，
∵∠AFE=∠AEF，∠CFD=∠CDF，
∴∠A+2∠AFE=180°①，∠C+2∠CFD=180°②，
由①+②得：∠A+∠C+2∠AFE+2∠CFD=360°，
∴2∠AFE+2∠CFD=180°+α，
∴∠AFE+∠CFD=90°+α，
∴∠EFD=180°-（∠AFE+∠CFD）=180°-（90°+α），
∵∠EFD=30°，
∴180°-（90°+α）=30°，
∴α=120°，
∴∠B的度数为120°，
故选：D．
变3
如图，已知交于点，且，则______．

【答案】64°
【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案；
【详解】解：：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD=∠COB
∴∠A+∠D=∠C+∠B，
∴∠D=∠C+∠B-∠A=64°；
故答案为：64°；
变4
如图，在中，为延长线上一点，于，，，则的度数为（ ）

A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
【答案】C
【分析】先根据△ADE中三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据△ABC中三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】∵CE⊥AF于E，∴∠AED=90°，
∵∠D=20°，
∴∠A=180°−∠AED−∠D=180°−90°−20°=70°，
∵
∴=180°−∠A−∠C=180°−70°−40°=70°．
故选：C．
变5
在中，，按图中虚线将剪去后，等于（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用补角的定义可知：，，由三角形内角和定理可知： ，代入即可求出．
【详解】解：假设虚线为DE，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C ．
知识点二 三角形内角和与平行线


内容
平行线的性质
1.两直线平行，同位角______；
2.两直线平行，内错角______；
3.两直线平行，同旁内角______.
题型三 求角度（平行线问题）

例1

如图，在中，，，，则的度数为（ ）

A．90°
B．85°
C．60°
D．55°
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质求出，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故选C．
例2

如图，在中，，平分交于点，，交于点，若，则的度数是（ ）

A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【答案】B
【分析】首先利用平行线的性质求出∠ABD的度数，接着利用角平分线的定义求出∠ABC，再利用三角形的内角和求出∠A的度数．
【详解】解：∵DEAB，∠BDE=50°，
∴∠ABD=∠BDE=50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=100°，
∴∠A=180°−∠C−∠ABC=180°−30°−100°=50°．
故选：B．
例3

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，EF∥BC交BD于点G，若∠BEG=130°，则∠DGF=______°．

【分析】根据角平分线的定义得到∠EBG=∠CBG，根据平行线的性质得到∠EGB=∠CBG，等量代换得到∠EBG=∠EGB，再根据三角形的内角和定理和对顶角的性质于是得到结论．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EGB=∠CBG，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBG=∠CBG，
∴∠EBG=∠EGB，
∵∠BEG=130°，
∴∠EGB=180°−130°2=25°，
∴∠DGF=∠EGB=25°．
故答案为：25．
变1
如图，直线，平分，若，则的度数是（ ）

A．27°
B．36°
C．54°
D．72°
【答案】D
【分析】利用，内错角相等得，由角平分线的定义得，则．
【详解】解：∵ ，
∴，
∵ BC平分∠ABD，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
变2
如图，直线，是直线上一点，是直线外一点，若，，则的度数为______．

【答案】##120度
【分析】直接利用平行线的性质并结合三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：延长交于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴

，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．

变3
如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分∠EFG，交线段EG于点H，若∠AEF=36°，∠BEG=57°，则∠EHF的大小为______．

【分析】首先根据∠AEF=36°，∠BEG=57°，求出∠FEH的大小；然后根据AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根据FH平分∠EFG，求出∠EFH的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF的大小为多少即可．
【解答】解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°，
∴∠FEH=180°﹣36°﹣57°=87°；
∵AB∥CD，
∴∠EFG=∠AEF=36°，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH=12∠EFG=12×36°=18°，
∴∠EHF=180°﹣∠FEH﹣∠EFH=180°﹣87°﹣18°=75°．
故答案为：75°．
例4

如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF．
（1）若∠ADE=50°，求∠BEC的度数；
（2）若∠ADE=α，则∠AED=______（含α的代数式表示）．

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC=∠ADE=50°，根据角平分线的定义∠EBC=25°，根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠BEC=∠C，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DF∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=50°，∠CEF=∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DEB=∠EBC=25°，
∵EC平分∠BEF，
∴∠CEF=∠BEC=∠C，
∵∠BEC+∠C+∠EBC=180°，
∴∠BEC=77.5°；
（2）∵DF∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DEB=∠EBC=12α，
∵EC平分∠BEF，
∴∠AED=∠CEF=12（180°−12α）=90°−14α．
故答案为：90°−14α．
变4
如图，在四边形中，，，平分，是上一点，交于点．

（1）求的大小；
（2）若，求的大小．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据平行线的性质可得，即可算出的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质即可得出答案；
（2）根据平行线的性质可得，由已知和三角形的内角和定理，即可算出的度数，根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，，
，
平分，
，
；
（2）解：，
，，
，，
，
，
．
知识点三 三角形内角和与三角板


内容

三个角由小到大分别为______，______，______.

三个角由小到大分别为______，______，______.
题型四 求角度（三角板问题）

例1

如图所示，将一副三角尺叠放在一起，则的大小为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】如图所示，根据直角三角板的特点，可知，，，在中，根据两锐角互余即可求解．
【详解】解：一副三角尺，如图所示，

∴，，，
∴，
在中，，
故选：．
例2

把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角板得到，，再根据平行线的性质得到，最后利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：如图，和交于点G，
由三角板可知：，，
∵，
∴，
∴,
故选A．

例3

小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则等于（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由对顶角相等和三角形内角和定理可得，又由,即可得到答案．
【详解】解：如图，

，
，
∵,
．
故选：C
例4

一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，则∠BMD的度数为（ ）

A．102°
B．107.5°
C．112.5°
D．115°
【分析】根据三角形内角和和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，
∴∠MBD=12∠ABD=12×(45°+30°)=37.5°，∠BDM=12∠BDC=12×60°=30°，
∴∠BMD=180°﹣∠MBD﹣∠BDM=180°﹣30°﹣37.5°=112.5°，
故选：C．
变1
一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用三角板的角度以及外角性质即可求得，进而得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
故选．

变2
如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为______．

【答案】
【分析】根据三角尺的特殊角的度数可求的度数，再根据三角形的外角和定理即可求解．
【详解】解：根据题意，一副三角尺，
∴，，
∴，且，
∵是的外角，
∴，
故答案为：．
变3
将直角三角板和直角三角板按如图方式摆放（直角顶点重合），已知，则的度数是（ ）

A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
【答案】D
【分析】根据三角形的外角的性质和三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选D．
变4
将两块分别含有30°和45°角的直角三角板按如图所示叠放，若∠1=∠2，则∠3=______°．

【分析】根据等角的余角相等得到∠3=∠4，再根据三角形内角和定理和∠5的度数即可得到结论．
【解答】解：如图，∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠5=45°，
∴∠3=∠4=12（180°﹣45°）=67.5°，
故答案为：67.5．

知识点四 三角形内角和与折叠


内容

折叠前后两个图形是能够完全重合的，所以解决折叠问题的关键在于找到折叠前后相等的角.
题型五 求角度（折叠问题）

例1

如图，四边形中，，将四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由平行线得到，由折叠得到，由三角形的内角和求得的度数．
【详解】解：，，
，
由折叠得，，
，
，
，
故选：C．
变1
如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则等于（ ）

A．42°
B．66°
C．65°
D．75°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理即可求出
【详解】∵在中，，，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴
故选：C
例2

如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则的度数等于（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据翻折不变性和三角形的内角和定理及角平分线的性质解答．
【详解】解：由折叠的性质知，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选C．
例3

如图所示，将沿着折叠到所在平面内，点A的对应点是，若，则 （ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据折叠求出和的补角，再求即可．
【详解】∵将沿着折叠到所在平面内，点A的对应点是，
∴的补角为，的补角为，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
变2
如图所示，将三角形纸片沿折叠，点A落在点P处，已知，则是______度．

【答案】
【分析】根据折叠的性质可知，，利用平角是，求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：将纸片沿折叠，点落在点处，
，，
，
，
又，
，
．
故答案是：．
变3
如图，中，，点、在、上，沿向内折叠，得，则图中等于______．

【答案】##120度
【分析】根据三角形的内角和等于求出的度数，再根据折叠的性质求出的度数，然后根据平角等于解答．
【详解】解：，
，
沿向内折叠，得，
，
．
故答案为：．
变4
如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质和平角的定义先得到，再由三角形内角和定理得到，由此即可得到结论．
【详解】解：由折叠的性质可知 ，
∴，
由三角形内角和定理可知，
∴，
∴，
∴
故选：A．
例4

如图，将沿着平行于的直线折叠，得到，若，则的度数是（ ）

A．45°
B．40°
C．55°
D．50°
【答案】B
【分析】根据题意可得，结合三角形内角和定理可得，最后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：由题意得，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
例5

如图，把沿对折，叠合后的图形如图所示．若，，则的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得，根据三角形的内角和可得，，再根据四边形的内角和为，可得，即可求解．
【详解】解：∵沿对折，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
变5
如图，在中，点D，E分别在边上，将沿折叠至位置，点A的对应点为F．若，，则的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据折叠的性质得到，根据平角的定义求出，进而利用三角形内角和定理求出，则．
【详解】解：由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
变6
如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2=110°，则∠A的度数是______度．

【分析】延长B'E，C'F，交于点D，依据∠A=∠D，∠AED+∠AFD=250°，即可得到∠A的度数．
【解答】解：如图，
延长B'E，C'F，交于点D，
由折叠可得，∠B=∠B'，∠C=∠C'，
∴∠A=∠D，
又∵∠1+∠2=110°，
∴∠AED+∠AFD=360°﹣110°=250°，
∴四边形AEDF中，∠A=12（360°﹣250°）=55°，
故答案为：55．

例6

如图，在中，，点D、E分别在上，将沿折叠，使点A落在点F处．则（ ）

A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
【答案】D
【分析】分别利用折叠的性质和三角形内角和定理求出，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
例7

如图，有一个三角形纸片，将纸片的一角折叠，使点C落在外，若，则∠1的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】在中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由即可求出结论．
【详解】解：在中，，
∴．
由折叠，可知：，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
变7
如图，点、分别在、上，将纸片沿折叠，点落在点处，，则是______°．

【答案】
【分析】根据折叠可以得到，，再根据平角可得，因此可得，．
【详解】解：根据折叠可以得到，
，，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
变8
如图所示，中，边上有一点D，使得，将沿翻折得，此时，则______度．

【答案】90
【分析】根据可得，再根据翻折的性质可得，最后根据三角形的内角和求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵沿翻折得，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
故答案为：90．
知识点五 直角三角形两锐角互余


内容

直角三角形两个锐角互余，即_____.
【注意】1.同角的余角相等；2.等角的余角相等.
题型六 直角三角形两锐角互余

类型一 根据性质求角度

例1

如图，在中，于点，．则的度数为（ ）

A．52°
B．42°
C．32°
D．28°
【答案】B
【分析】根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
例2

在中，，，则（ ）
A．60°
B．30°
C．45°
D．90°
【答案】A
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余解答即可．
【详解】解：在中，，，
，
，
，
，
故选A．
变1
如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠BAD=32°，则∠C的度数是（ ）

A．28°
B．30°
C．32°
D．36°
【答案】C
【分析】在Rt△BAD中可先算出∠B的度数，在Rt△BAC，即可求出∠C．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B=90°-∠BAD=90°-32°=58°，
∵∠BAC=90°，
∴∠C=90°-∠B=32°．
故选：C．
变2
在中，，则的度数为______．
【答案】或##或
【分析】分两种情况进行讨论，当时，由，可得；当时，根据三角形内角和定理及，可得．
【详解】解：分两种情况进行讨论：
当时，
∵，
∴；
当时，
，
又∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或．
类型二 余角个数问题

例1

如图，已知，，垂足是D，则图中与互余的角有（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质和互余的定义，即可得出结果．
【详解】解：，
，
，
，
，
图中与互余的角有2个，
故选B．
例2

如图，在中，，，垂足为．下列说法不正确的是（ ）

A．与互余的角只有
B．点B到的距离是的长
C．
D．若，则
【答案】A
【分析】根据直角三角形两锐角互余和等角或同角的余角相等对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：、，
，
，
，
与互余的角有与两个角，故本选项错误；
B、点到的距离是的长，故本选项正确；
C、，，
，故本选项正确；
D、，
，
解得，故本选项正确．
故选：A．
变1
如图，在中，，是边上的高，下列判断一定正确的是（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据高线的定义得到，利用余角的性质可得相应结论，从而判断．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
故选项C正确，
故选C．
变2
如图，CA⊥BE于点A，AD⊥BF于点D，则下列说法中正确的是（　　）

A．∠α的余角只有∠B
B．∠α的补角是∠DAC
C．∠α与∠ACF互补
D．∠α与∠ACF互余
【答案】C
【分析】根据题意CA⊥BE于点A，AD⊥BF于点D，结合图形可得∠α的余角与补角，逐项分析判断即可求解．
【详解】∵CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，
∴∠B+∠α=∠DAC+∠α=90°，所以A不正确；
∴∠α+∠DAE=180°，所以B也不正确；
∵∠DAC +∠ACD=∠DAC+∠α=90°，
∴∠ACD=∠α，
∵∠ACD+∠ACF=180°，
∴∠ACF与α互补．
故C正确，D不正确．
故选C．
课后强化

1.如图，在中，，点在上，，若，则的度数为______．

【答案】##70度
【分析】利用平角的定义可得，再根据平行线的性质知，再由内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
2.在中，，若，则的度数是______．
【答案】25°
【分析】根据三角形的内角和即可求解．
【详解】∵在中，， ，
∴∠A=180°-∠C-∠B=25°
故答案为：25°．
3.在中，，，则这个三角形是______三角形．
【答案】钝角
【分析】根据三角形的内角和求出∠C即可判断．
【详解】在中，，，
∴
∴这个三角形是钝角三角形，
故答案为：钝角．
4.如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于______．

【答案】90°
【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠B=50°，由三角形的内角和即可得到结论．
【详解】
解：设CD和BE的夹角为∠1，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠B=50°；
∵∠C=40°，
∴∠E=180°﹣∠B﹣∠1=90°．
故答案为：90°．
5.如图，，则______．

【答案】100°##100度
【分析】根据邻补角和为180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度数，根据∠2与∠1的比例可求出∠1的度数，进而可求出∠4的度数．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴
故答案为：100°．
6.已知：如图，，求∠BCD的度数．

【答案】30°
【分析】根据平行线的性质得到∠EGC=∠ABC=75°，由邻补角的定义得到∠EDC=180°−135°=45°，再利用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵AB∥EF，∠ABC=75°，
∴∠EGC=∠ABC=75°．
∵∠CDF=135°，
∴∠EDC=180°－∠CDF=180°－135°=45°．
又∵∠EGC=∠BCD＋∠EDC，
∴∠BCD=75°－45°=30°．
7.如图，，点在上．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】由题意依据三角形内角和定理和平行线的性质以及等式的性质和角的等量代换进行分析求证即可．
【详解】解：在中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
8.把一副三角板的两个直角三角形如图叠放在一起，则的度数是（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据三角板的特征得出及的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵图中是一副直角三角板，
∴，
∴．
故选：B．
．
9.将一副三角板按图中方式叠放，则等于（ ）

A．10°
B．15°
C．30°
D．45°
【答案】B
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
解：由题意可得：
．
故选：B．
10.一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如图设置角，即有，，，先得出，，再结合，可得，问题随之得解．
【详解】如图，可知：，，，

∵，，
∴，，即A项、D项无法判断，
∵，
∴，
∴，
即：，即B项错误，C项正确，
故选：C．
11.如图，把的一角折叠，若，则的度数是（　　）

A．60°
B．65°
C．50°
D．55°

【答案】A
【分析】由折叠得，再根据平角的定义得从而得到，再利用三角形的内角和定理即可得到答案．
【详解】解：由折叠得，

，
，


故选：A．

12.如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质，得到，，结合，得到，再根据，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】．根据折叠的性质，得到，，
因为，
所以，
因为，
所以．
故选C．
13.如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处， 若，，则______．

【答案】##度
【分析】根据折叠的性质得出，，根据，得出，根据，即可求解．
【详解】解：∵沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
故答案为：．
14.如图，将矩形纸片沿B折叠，得到，与交于点E，若，则∠2的度数为______度．

【答案】10
【分析】根据矩形的性质可得，，可求解的度数，由平行线的性质结合折叠的性质可得，进而可求解．
【详解】解：在矩形中，，，
∴，
∵，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴．
故答案为：10．
15.如图，把沿折叠，点A的落点记为．当点在四边形内部时，与之间存在的一种数量关系始终保持不变，请写出这种数量关系，并加以证明．

【答案】
【分析】设，根据折叠的性质得，根据三角形的内角和定理以及平角的定义，得出与的关系．
【详解】解：如图，

设，
∵沿折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A﹣∠B=40°，那么∠A=______．
【答案】65°##65度
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，结合已知条件求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A+∠B＝90°，
∵，
∴，，
故答案为：65°．
17.在下列条件中：①；②；③，能确定为直角三角形的条件有______个．
【答案】3
【分析】利用三角形的内角和定理，即可分别进行判断．
【详解】解：①∵，
又∵，
∴，
∴；故①符合题意；
②∵，
又；
∴，
∴；故②符合题意；
③∵，
又，
∴，
故③符合题意；
∴能确定为直角三角形的条件有3个；
故答案为：3．