【暑假提升】苏科版数学七年级（七升八）暑假-第07讲《含30度直角三角形与斜边上的中线》预习讲学案

第07讲 含30度直角三角形与斜边上的中线

【学习目标】

重难点：含30度角的直角三角形的性质定理和直角三角形斜边上中线的发现与证明

【基础知识】

一．含30度角的直角三角形

（1）含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．

（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．

二．直角三角形斜边上的中线

（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）

（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．

该定理可以用来判定直角三角形．

【考点剖析】

一．选择题（共5小题）

1．（2021秋•云浮期末）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm

2．（2021秋•兴化市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，若CD＝4，那么AB的长是（　　）

A．4 B．8 C．12 D．24

3．（2021秋•宁德期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　）

A．12 B．6 C．4 D．3

4．（2021秋•江岸区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且△DEF为等边三角形，若ADCD．则的值为（　　）

A． B． C． D．

5．（2021秋•丹阳市期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝70°，点E是AC的中点．则∠EBD的度数为（　　）

A．20° B．35° C．40° D．55°

二．填空题（共5小题）

6．（2021秋•滨海县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝6，则CD的长是 　   　．

7．（2022春•济源期中）直角三角形的两边长为5、12，则斜边上的中线长为 　   　．

8．（2021秋•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝6，则CD＝　   　．

9．（2021秋•海门市期末）等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为 　   　cm．

10．（2021秋•海门市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD为边在BD左上方作等边△BDE，若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为 　   　cm．

三．解答题（共5小题）

11．（2020秋•丹阳市期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．

（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；

（2）已知△ADE的周长11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，求OA的长．

12．（2021秋•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AC＝CD＝1，求直角边BC的长．

13．（2021秋•东台市月考）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点．

（1）求证：DE⊥MN；

（2）若BC＝10，MN＝6，求DE．

14．（2020秋•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，且交AC于点D，DE垂直平分AB于点E，DE＝3cm．求线段AC的长．

15．（2021秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的长．

【过关检测】

一．选择题（共9小题）

1．（2021秋•博兴县期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG＝1，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A．无法确定 B． C．1 D．2

2．（2021秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（　　）

A．3 B．2.5 C．2 D．1

3．（2020秋•崇川区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC＝2，则CE的长为（　　）

A． B．2 C． D．3

4．（2021•苏州模拟）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

5．（2021•苏州模拟）如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5

6．（2021秋•信都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（　　）

A．80° B．100° 

C．130° D．发生变化，无法确定

7．（2021秋•安陆市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（　　）

A．12 B．9 C．6 D．3

8．（2020秋•南平期末）四边形ABCD中，△ACD是边长为6的等边三角形，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，则对角线BD的长的取值范围是（　　）

A．3＜BD≤3+3 B．3＜BD＜6 C．6＜BD≤3+3 D．3＜BD≤3

9．（2021秋•姜堰区期末）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（　　）

A．1.8km B．3.6km C．3km D．2km

二．填空题（共5小题）

10．（2022•盐城一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BE＝4，则AC＝　   　．

11．（2022春•大丰区校级月考）一副三角板按如图所示的位置摆放，△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC斜边AC的中点M，BE交AC于点F，则∠BFM＝　   　°．

12．（2021秋•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝6，则AB＝　   　．

13．（2021秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN＝　   　．

14．（2022•邳州市一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，若AC＝2，则CD的长为 　   　．

三．解答题（共6小题）

15．（2021秋•溧水区期末）在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．

16．（2021秋•京口区校级期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．

（1）求证：△MEF是等腰三角形；

（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．

17．（2021秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．

（1）求证：BD⊥BC．

（2）求DB的长．

18．（2021秋•淮安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB边的中线，CE是BD边的中线，当DE＝2时，求AC的长．

19．（2021秋•天宁区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点．

（1）∠OAC和∠OCA相等吗？请说明理由；

（2）若P为AC中点，试判断OP与AC的关系．

20．（2021秋•姑苏区校级期中）已知在△ABC中，∠B＝60°，AD＝14，CD＝12，S△ADC＝30，求BD的长．