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【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-第14讲《双曲线》讲学案
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这是一份【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-第14讲《双曲线》讲学案，文件包含第14讲双曲线解析版docx、第14讲双曲线原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共137页， 欢迎下载使用。
第14讲 双曲线
【知识点梳理】
知识点一：双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
知识点诠释：
1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2． 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3． 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程
6．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
7．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆
双曲线
根据|MF1|+|MF2|=2a
根据|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0，
a2－c2=b2（b＞0）
0＜a＜c，
c2－a2=b2（b＞0）
，
（a＞b＞0）
，
（a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大）
（c最大）
标准方程统一为：
方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上。
知识点诠释：
8．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。
9．双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。
10．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
11．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
知识点三：求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
知识点四：双曲线的简单几何性质
双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质
范围
双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a.
对称性
对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为
A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率
①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。
②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。
由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。
③等轴双曲线，所以离心率。
渐近线
经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。
我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
轴
实轴长=，虚轴长=
离心率
渐近线方程
知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
知识点五：双曲线的渐近线
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.
知识点六：双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征：
双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。
双曲线，如图：
（1）实轴长，虚轴长,焦距，
（2）离心率：；
（3）顶点到焦点的距离：，；
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的定义、条件
题型二：求双曲线的标准方程
题型三：双曲线的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：双曲线的简单几何性质
题型六：求双曲线的离心率
题型七：求双曲线离心率的取值范围
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
题型九：双曲线中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【典型题】
题型一：双曲线的定义、条件
例1．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线
例2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））平面上有两个定点A，B及动点P，命题甲：“是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线”，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例3．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
例5．（2022·四川省资阳中学高二开学考试（文））已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线
例6．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））当时，方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线
C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线
例7．（2022·全国·高二课时练习）方程，若两实数异号，则它的图像是（ ）．
A．圆，且圆心在轴上 B．椭圆，且焦点在轴上
C．双曲线，且焦点在轴上 D．双曲线，且焦点在轴上
例8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二学业考试）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
例9．（2021·西藏·拉萨中学高二阶段练习）已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
例10．（2021·安徽·六安一中高二期中）若，则和所表示的曲线只可能是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
例11．（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，双曲线的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：求双曲线的标准方程
例12．（2022·江苏·高二）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例13．（2022·黑龙江·铁人中学高二阶段练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
例14．（2022·广东汕尾·高二期末）中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
例15．（2022·全国·高二期末）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则双曲线的标准方程为______．
例16．（2022·上海市宝山中学高二期中）若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是_______.
例17．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线中心在原点，且以椭圆的焦点为顶点，焦距长为16，则双曲线标准方程为______．
例18．（2022·全国·高二课时练习）已知焦点､，双曲线上的一点P到､的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为___________.
例19．（2022·江苏·高二）经过两点，的双曲线的标准方程为______．
例20．（2022·全国·高二课时练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为___________.
例21．（2022·全国·高二课时练习）求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程.
例22．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，，焦点在x轴上；
(2)焦点为､，经过点.
例23．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；
(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点；
(3)经过点，.
例24．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦距为6，顶点为，；
(2)顶点为，，虚轴长为2；
(3)实轴长和虚轴长相等，且经过点．
例25．（2022·全国·高二课时练习）求与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程.
题型三：双曲线的综合问题
例26．（2022·安徽·高二阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例27．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
例28．（2022·河南·舞阳县第一高级中学高二阶段练习（理））已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点P在双曲线上，且，则的面积为（ ）
A． B．4 C．2 D．
例29．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知点和是双曲线的两个焦点，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
例30．（2022·四川·射洪中学高二期中）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例31．（2022·江西抚州·高二阶段练习（文））双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
例32．（2022·广东·大埔县虎山中学高二阶段练习）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．8
题型四：轨迹方程
例33．（2022·河南洛阳·高二期末（文））在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例34．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（ ）
A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1
C．x2－＝1(x1) D．－x2＝1
例35．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（ ）
A．（） B．（）
C． D．
例36．（2022·河北邢台·高二期末）设，，，则动点P的轨迹方程为______，P到坐标原点的距离的最小值为______．
例37．（2022·全国·高二课时练习）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.
例38．（2022·全国·高二课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______．
例39．（2022·全国·高二单元测试）若动圆与两定圆及都外切，则动圆圆心的轨迹方程是___________.
例40．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______.
例41．（2022·辽宁辽阳·高二期末）设，则动点P的轨迹方程为________．
例42．（2022·四川乐山·高二期末（理））从双曲线上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为___________.
例43．（2022·江苏·高二）已知，，若点满足，则P点的轨迹是什么，并求点P的轨迹方程.
例44．（2022·全国·高二课时练习）已知，两点，动点P满足直线PA和直线PB的斜率之积为1，求动点P的轨迹方程，并指出其轨迹的图形.
例45．（2022·江苏·高二课时练习）已知点M(x, y)到定点F(c, 0)的距离和它到定直线l：x＝的距离之比是常数(c>a>0)，求点M的轨迹方程．
例46．（2022·江苏·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：
(1)与圆和圆都内切；
(2)与圆内切，且与圆外切．
例47．（2022·江苏·高二课时练习）在△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，直线AB，AC的斜率之积为求顶点A的轨迹方程．
例48．（2022·江苏·高二课时练习）已知定圆和的半径分别为1和2，，动圆M与圆内切，且与圆外切．试建立适当的坐标系，写出动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
例49．（2022·全国·高二课时练习）如果过点的直线与过点的直线相交于点M，而且两直线斜率的乘积为a，其中．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)讨论M的轨迹是何种曲线．
例50．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二开学考试）双曲线，､为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆.
(1)求的轨迹方程；
(2)动点在上运动，满足，求的轨迹方程.
题型五：双曲线的简单几何性质
例51．（2022·江西抚州·高二阶段练习（文））双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
例52．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）双曲线与双曲线具有共同的（ ）
A．实轴 B．虚轴 C．焦点 D．渐近线
例53．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线方程下列说法中正确的有（ ）
A．焦点坐标
B．该双曲线的图象过点
C．焦距为10
D．双曲线上存在点P，使得且
例54．（2022·江苏·高二）设表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为（ ）.
A． B．2k C． D．
例55．（2022·河南·舞阳县第一高级中学高二阶段练习（文））已知双曲线的离心率为，则双曲线的一条渐近线的斜率可能是（ ）
A． B． C． D．
例56．（2022·江苏·高二）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
例57．（多选题）（2022·福建厦门·高二期末）曲线，则（ ）
A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称
C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点
例58．（多选题）（2022·广东茂名·高二期中）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，则
例59．（2022·北京市第五中学高二期中）双曲线的一条渐近线方程为，则______________，双曲线的焦距为_____________．
例60．（2022·江苏·高二）双曲线 = 1的右焦点F到其中一条渐近线的距离为________.
例61．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的焦距是______．
例62．（2022·全国·高二课时练习）若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则___________.
例63．（2022·湖北省罗田县第一中学高二阶段练习）已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为_________.
例64．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________．
例65．（2022·江苏·高二）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
例66．（2022·上海市崇明中学高二期中）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________.
例67．（2022·全国·高二期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为______．
例68．（2022·全国·高二课时练习）求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程：
(1)；
(2)．
题型六：求双曲线的离心率
例69．（2022·江苏·高二）若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例70．（2022·江苏·高二）若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
例71．（2022·江苏·高二）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例72．（2022·江苏·高二）已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
例73．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例74．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））已知双曲线的一条渐近线与圆相交于M，N两点，且，则此双曲线的离心率为（ ）
A．5 B． C． D．
例75．（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高二阶段练习）双曲线的右焦点为，双曲线C的一条渐近线与以为直径的圆交于点（异于点O），与过F且垂直于轴的直线交于，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．3 C．5 D．
例76．（2022·湖北·高二阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例77．（2022·江苏·高二）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，线段与双曲线的左支相交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
例78．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））椭圆:=1（）的中心在坐标原点，为左焦点，为右顶点，为短轴的端点，当丄时，椭圆的离心率为，我们称此类椭圆为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
例79．（2022·江苏·高二）已知椭圆的焦点为，，双曲线的焦点为，，若四边形是正方形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例80．（2022·北京市第十二中学高二期中）已知椭圆与双曲线焦点重合，该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例81．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）已知，是双曲线的左､右焦点，过作斜率为的直线，分别交轴和双曲线右支于点，，且，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
例82．（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
例83．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知双曲线C：，为坐标原点，为双曲线的左焦点，若的右支上存在一点，使得外接圆的半径为，且四边形为菱形，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
例84．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
例85．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中（文））已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型七：求双曲线离心率的取值范围
例86．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例87．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知双曲线的左，右焦点分别为，点，若C的右支上的任意一点M满足，则C的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例88．（2022·江西赣州·高二阶段练习（文））圆上有四个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线E的离心率的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
例89．（2022·河北·临城中学高二开学考试）已知双曲线的焦距大于，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例90．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于A，两点，若双曲线的对称中心不在以线段为直径的圆内部，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例91．（2022·湖南邵阳·高二期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例92．（2022·广东广州·高二期末）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例93．（多选题）（2022·江苏·高二）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦点在轴上
B．双曲线的焦距等于
C．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线的离心率的取值范围为
例94．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）已知直线与双曲线 无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____．
例95．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
例96．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高二阶段练习）已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
例97．（2022·河南郑州·高二期末（文））若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______．
例98．（2022·广西·宾阳中学高二期末（文））已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则的取值范围是______．
例99．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
例100．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））若双曲线的左、右焦点为、，若在其渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为______．
例101．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是圆上一个动点，且线段的中点在的一条渐近线上，若，则的离心率的取值范围是________．
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
例102．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（理））双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例103．（2022·北京市第五十七中学高二期末）已知椭圆和双曲线的离心率之积为 ，则双曲线 的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A． B． C． D．
例104．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期末（理））若双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例105．（2022·河南三门峡·高二期末（文））若双曲线的离心率为3，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
例106．（2021·云南文山·高二期末（理））若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例107．（2021·江苏·高二单元测试）已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最大值和最小值时，的面积分别为，则 （ ）
A．4 B．8 C． D．
例108．（2021·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高二期中（理））双曲线的离心率为2，则k的值为（ ）
A．-35 B．19 C．-5 D．12
例109．（多选题）（2022·浙江衢州·高二阶段练习）已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
例110．（多选题）（2022·云南·江川一中高二阶段练习）已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点，，设椭圆和双曲线其中一个公共点为P，且满足，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则关于和，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
例111．（多选题）（2022·湖北·武汉市黄陂区第一中学高二阶段练习）已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（ ）
A． B．
C． D．
例112．（2022·陕西西安·高二期末（理））焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________.
例113．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________.
例114．（2022·江苏·高二）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
题型九：双曲线中的范围与最值问题
例115．（2022·广东·大埔县虎山中学高二阶段练习）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．8
例116．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
例117．（2022·广东茂名·高二期末）已知椭圆1（a＞b＞0）与双曲线1（m＞0，n＞0）具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则3e12+e22的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．
【详解】
设|PF1|＝s，|PF2|＝t，P为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得s+t＝2a，s－t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a－m，
在三角形F1PF2中，∠F1PF2，
∴，
可得，
即有，
即，
可得
则3e12+e22()(3e12+e22)(6)(6+2)＝3，
当且仅当，即，取得最小值3．
故选：B．
例118．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（文））已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例119．（2022·陕西·西安中学高二期末（理））已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
例120．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）设F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．9
例121．（2022·全国·高二期末）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例122．（2022·甘肃·兰州一中高二期末（文））椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例123．（多选题）（2022·河北邯郸·高二期末）已知双曲线的上､下焦点分别为，，点P在双曲线C的上支上，点，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．的最小值为8
C．周长的最小值为
D．若内切圆的圆心为M，则M点的纵坐标为3
例124．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二期中）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为___________.
例125．（2022·广东珠海·高二期末）已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.
例126．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为________.
例127．（2022·全国·西北工业大学附属中学高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率e的最大值为________．
例128．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示的曲线是双曲线，则实数a的取值范围是______．
例129．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是___________.
例130．（2022·江苏·高二）已知双曲线，P是双曲线上一点.
(1)求证：点到双曲线两条渐近线的距离的乘积是一个定值.
(2)已知点，求的最小值.
例131．（2022·江苏·高二课时练习）已知点A(3, 2), F(2, 0)，点P在双曲线x2－＝1上．
(1)当|PA|＋|PF|最小时，求点P的坐标；
(2)求|PA|＋|PF|的最小值．
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|－2 ≥ |AF′|－2＝.
所求|PA|＋|PF|的最小值为.
题型十：焦点三角形
例132．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
例133．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的左､右焦点分别是､，过的弦AB与其右支交于A､B两点，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
例134．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例135．（2022·重庆·高二期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，点是的右支上一点，且，，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例136．（2022·重庆·西南大学附中高二期末）已知是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
例137．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
例138．（2022·江西赣州·高二期末（理））设双曲线与椭圆：有公共焦点，.若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例139．（2022·天津和平·高二期末）双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例140．（2022·全国·高二）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（ ）
A．16 B．18 C．21 D．26
例141．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例142．（2022·天津南开·高二期末）过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点，那么的周长为（ ）
A．28 B． C． D．
例143．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
第14讲 双曲线
【知识点梳理】
知识点一：双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
知识点诠释：
1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2． 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3． 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程
6．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
7．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆
双曲线
根据|MF1|+|MF2|=2a
根据|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0，
a2－c2=b2（b＞0）
0＜a＜c，
c2－a2=b2（b＞0）
，
（a＞b＞0）
，
（a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大）
（c最大）
标准方程统一为：
方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上。
知识点诠释：
8．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。
9．双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。
10．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
11．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
知识点三：求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
知识点四：双曲线的简单几何性质
双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质
范围
双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a.
对称性
对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为
A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率
①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。
②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。
由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。
③等轴双曲线，所以离心率。
渐近线
经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。
我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
轴
实轴长=，虚轴长=
离心率
渐近线方程
知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
知识点五：双曲线的渐近线
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.
知识点六：双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征：
双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。
双曲线，如图：
（1）实轴长，虚轴长,焦距，
（2）离心率：；
（3）顶点到焦点的距离：，；
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的定义、条件
题型二：求双曲线的标准方程
题型三：双曲线的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：双曲线的简单几何性质
题型六：求双曲线的离心率
题型七：求双曲线离心率的取值范围
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
题型九：双曲线中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【典型题】
题型一：双曲线的定义、条件
例1．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线
例2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））平面上有两个定点A，B及动点P，命题甲：“是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线”，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例3．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
例5．（2022·四川省资阳中学高二开学考试（文））已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线
例6．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））当时，方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线
C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线
例7．（2022·全国·高二课时练习）方程，若两实数异号，则它的图像是（ ）．
A．圆，且圆心在轴上 B．椭圆，且焦点在轴上
C．双曲线，且焦点在轴上 D．双曲线，且焦点在轴上
例8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二学业考试）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
例9．（2021·西藏·拉萨中学高二阶段练习）已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
例10．（2021·安徽·六安一中高二期中）若，则和所表示的曲线只可能是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
例11．（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，双曲线的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：求双曲线的标准方程
例12．（2022·江苏·高二）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例13．（2022·黑龙江·铁人中学高二阶段练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
例14．（2022·广东汕尾·高二期末）中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
例15．（2022·全国·高二期末）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则双曲线的标准方程为______．
例16．（2022·上海市宝山中学高二期中）若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是_______.
例17．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线中心在原点，且以椭圆的焦点为顶点，焦距长为16，则双曲线标准方程为______．
例18．（2022·全国·高二课时练习）已知焦点､，双曲线上的一点P到､的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为___________.
例19．（2022·江苏·高二）经过两点，的双曲线的标准方程为______．
例20．（2022·全国·高二课时练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为___________.
例21．（2022·全国·高二课时练习）求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程.
例22．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，，焦点在x轴上；
(2)焦点为､，经过点.
例23．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；
(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点；
(3)经过点，.
例24．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦距为6，顶点为，；
(2)顶点为，，虚轴长为2；
(3)实轴长和虚轴长相等，且经过点．
例25．（2022·全国·高二课时练习）求与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程.
题型三：双曲线的综合问题
例26．（2022·安徽·高二阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例27．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
例28．（2022·河南·舞阳县第一高级中学高二阶段练习（理））已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点P在双曲线上，且，则的面积为（ ）
A． B．4 C．2 D．
例29．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知点和是双曲线的两个焦点，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
例30．（2022·四川·射洪中学高二期中）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例31．（2022·江西抚州·高二阶段练习（文））双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
例32．（2022·广东·大埔县虎山中学高二阶段练习）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．8
题型四：轨迹方程
例33．（2022·河南洛阳·高二期末（文））在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例34．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（ ）
A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1
C．x2－＝1(x1) D．－x2＝1
例35．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（ ）
A．（） B．（）
C． D．
例36．（2022·河北邢台·高二期末）设，，，则动点P的轨迹方程为______，P到坐标原点的距离的最小值为______．
例37．（2022·全国·高二课时练习）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.
例38．（2022·全国·高二课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______．
例39．（2022·全国·高二单元测试）若动圆与两定圆及都外切，则动圆圆心的轨迹方程是___________.
例40．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______.
例41．（2022·辽宁辽阳·高二期末）设，则动点P的轨迹方程为________．
例42．（2022·四川乐山·高二期末（理））从双曲线上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为___________.
例43．（2022·江苏·高二）已知，，若点满足，则P点的轨迹是什么，并求点P的轨迹方程.
例44．（2022·全国·高二课时练习）已知，两点，动点P满足直线PA和直线PB的斜率之积为1，求动点P的轨迹方程，并指出其轨迹的图形.
例45．（2022·江苏·高二课时练习）已知点M(x, y)到定点F(c, 0)的距离和它到定直线l：x＝的距离之比是常数(c>a>0)，求点M的轨迹方程．
例46．（2022·江苏·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：
(1)与圆和圆都内切；
(2)与圆内切，且与圆外切．
例47．（2022·江苏·高二课时练习）在△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，直线AB，AC的斜率之积为求顶点A的轨迹方程．
例48．（2022·江苏·高二课时练习）已知定圆和的半径分别为1和2，，动圆M与圆内切，且与圆外切．试建立适当的坐标系，写出动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
例49．（2022·全国·高二课时练习）如果过点的直线与过点的直线相交于点M，而且两直线斜率的乘积为a，其中．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)讨论M的轨迹是何种曲线．
例50．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二开学考试）双曲线，､为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆.
(1)求的轨迹方程；
(2)动点在上运动，满足，求的轨迹方程.
题型五：双曲线的简单几何性质
例51．（2022·江西抚州·高二阶段练习（文））双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
例52．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）双曲线与双曲线具有共同的（ ）
A．实轴 B．虚轴 C．焦点 D．渐近线
例53．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线方程下列说法中正确的有（ ）
A．焦点坐标
B．该双曲线的图象过点
C．焦距为10
D．双曲线上存在点P，使得且
例54．（2022·江苏·高二）设表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为（ ）.
A． B．2k C． D．
例55．（2022·河南·舞阳县第一高级中学高二阶段练习（文））已知双曲线的离心率为，则双曲线的一条渐近线的斜率可能是（ ）
A． B． C． D．
例56．（2022·江苏·高二）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
例57．（多选题）（2022·福建厦门·高二期末）曲线，则（ ）
A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称
C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点
例58．（多选题）（2022·广东茂名·高二期中）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，则
例59．（2022·北京市第五中学高二期中）双曲线的一条渐近线方程为，则______________，双曲线的焦距为_____________．
例60．（2022·江苏·高二）双曲线 = 1的右焦点F到其中一条渐近线的距离为________.
例61．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的焦距是______．
例62．（2022·全国·高二课时练习）若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则___________.
例63．（2022·湖北省罗田县第一中学高二阶段练习）已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为_________.
例64．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________．
例65．（2022·江苏·高二）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
例66．（2022·上海市崇明中学高二期中）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________.
例67．（2022·全国·高二期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为______．
例68．（2022·全国·高二课时练习）求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程：
(1)；
(2)．
题型六：求双曲线的离心率
例69．（2022·江苏·高二）若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例70．（2022·江苏·高二）若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
例71．（2022·江苏·高二）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例72．（2022·江苏·高二）已知双曲线C的顶点为，，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
例73．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例74．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））已知双曲线的一条渐近线与圆相交于M，N两点，且，则此双曲线的离心率为（ ）
A．5 B． C． D．
例75．（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高二阶段练习）双曲线的右焦点为，双曲线C的一条渐近线与以为直径的圆交于点（异于点O），与过F且垂直于轴的直线交于，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．3 C．5 D．
例76．（2022·湖北·高二阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例77．（2022·江苏·高二）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，线段与双曲线的左支相交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
例78．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））椭圆:=1（）的中心在坐标原点，为左焦点，为右顶点，为短轴的端点，当丄时，椭圆的离心率为，我们称此类椭圆为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
例79．（2022·江苏·高二）已知椭圆的焦点为，，双曲线的焦点为，，若四边形是正方形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例80．（2022·北京市第十二中学高二期中）已知椭圆与双曲线焦点重合，该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例81．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）已知，是双曲线的左､右焦点，过作斜率为的直线，分别交轴和双曲线右支于点，，且，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
例82．（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
例83．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知双曲线C：，为坐标原点，为双曲线的左焦点，若的右支上存在一点，使得外接圆的半径为，且四边形为菱形，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
例84．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
例85．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中（文））已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型七：求双曲线离心率的取值范围
例86．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例87．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知双曲线的左，右焦点分别为，点，若C的右支上的任意一点M满足，则C的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例88．（2022·江西赣州·高二阶段练习（文））圆上有四个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则双曲线E的离心率的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
例89．（2022·河北·临城中学高二开学考试）已知双曲线的焦距大于，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例90．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于A，两点，若双曲线的对称中心不在以线段为直径的圆内部，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例91．（2022·湖南邵阳·高二期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例92．（2022·广东广州·高二期末）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例93．（多选题）（2022·江苏·高二）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦点在轴上
B．双曲线的焦距等于
C．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线的离心率的取值范围为
例94．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）已知直线与双曲线 无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____．
例95．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
例96．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高二阶段练习）已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
例97．（2022·河南郑州·高二期末（文））若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______．
例98．（2022·广西·宾阳中学高二期末（文））已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则的取值范围是______．
例99．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
例100．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））若双曲线的左、右焦点为、，若在其渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为______．
例101．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是圆上一个动点，且线段的中点在的一条渐近线上，若，则的离心率的取值范围是________．
题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围
例102．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（理））双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例103．（2022·北京市第五十七中学高二期末）已知椭圆和双曲线的离心率之积为 ，则双曲线 的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A． B． C． D．
例104．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期末（理））若双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例105．（2022·河南三门峡·高二期末（文））若双曲线的离心率为3，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
例106．（2021·云南文山·高二期末（理））若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例107．（2021·江苏·高二单元测试）已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最大值和最小值时，的面积分别为，则 （ ）
A．4 B．8 C． D．
例108．（2021·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高二期中（理））双曲线的离心率为2，则k的值为（ ）
A．-35 B．19 C．-5 D．12
例109．（多选题）（2022·浙江衢州·高二阶段练习）已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
例110．（多选题）（2022·云南·江川一中高二阶段练习）已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点，，设椭圆和双曲线其中一个公共点为P，且满足，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则关于和，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
例111．（多选题）（2022·湖北·武汉市黄陂区第一中学高二阶段练习）已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（ ）
A． B．
C． D．
例112．（2022·陕西西安·高二期末（理））焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________.
例113．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________.
例114．（2022·江苏·高二）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
题型九：双曲线中的范围与最值问题
例115．（2022·广东·大埔县虎山中学高二阶段练习）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．8
例116．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
例117．（2022·广东茂名·高二期末）已知椭圆1（a＞b＞0）与双曲线1（m＞0，n＞0）具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则3e12+e22的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．
【详解】
设|PF1|＝s，|PF2|＝t，P为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得s+t＝2a，s－t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a－m，
在三角形F1PF2中，∠F1PF2，
∴，
可得，
即有，
即，
可得
则3e12+e22()(3e12+e22)(6)(6+2)＝3，
当且仅当，即，取得最小值3．
故选：B．
例118．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（文））已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例119．（2022·陕西·西安中学高二期末（理））已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
例120．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）设F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．9
例121．（2022·全国·高二期末）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例122．（2022·甘肃·兰州一中高二期末（文））椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例123．（多选题）（2022·河北邯郸·高二期末）已知双曲线的上､下焦点分别为，，点P在双曲线C的上支上，点，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．的最小值为8
C．周长的最小值为
D．若内切圆的圆心为M，则M点的纵坐标为3
例124．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二期中）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为___________.
例125．（2022·广东珠海·高二期末）已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.
例126．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为________.
例127．（2022·全国·西北工业大学附属中学高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率e的最大值为________．
例128．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示的曲线是双曲线，则实数a的取值范围是______．
例129．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是___________.
例130．（2022·江苏·高二）已知双曲线，P是双曲线上一点.
(1)求证：点到双曲线两条渐近线的距离的乘积是一个定值.
(2)已知点，求的最小值.
例131．（2022·江苏·高二课时练习）已知点A(3, 2), F(2, 0)，点P在双曲线x2－＝1上．
(1)当|PA|＋|PF|最小时，求点P的坐标；
(2)求|PA|＋|PF|的最小值．
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|－2 ≥ |AF′|－2＝.
所求|PA|＋|PF|的最小值为.
题型十：焦点三角形
例132．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
例133．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的左､右焦点分别是､，过的弦AB与其右支交于A､B两点，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
例134．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例135．（2022·重庆·高二期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，点是的右支上一点，且，，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例136．（2022·重庆·西南大学附中高二期末）已知是双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
例137．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
例138．（2022·江西赣州·高二期末（理））设双曲线与椭圆：有公共焦点，.若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例139．（2022·天津和平·高二期末）双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例140．（2022·全国·高二）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（ ）
A．16 B．18 C．21 D．26
例141．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例142．（2022·天津南开·高二期末）过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点，那么的周长为（ ）
A．28 B． C． D．
例143．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
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