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【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-第05讲《空间向量基本定理》讲学案
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这是一份【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-第05讲《空间向量基本定理》讲学案，文件包含第05讲空间向量基本定理解析版docx、第05讲空间向量基本定理原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共57页， 欢迎下载使用。
第05讲 空间向量基本定理
【知识点梳理】
知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.
知识点2：空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立
【题型归纳目录】
题型一：基底的判断
题型二：基底的运用
题型三：正交分解
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
【典型例题】
题型一：基底的判断
1．（课时1.2空间向量基本定理-2021-2022学年高二数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019选择性必修第一册））若：，，是三个非零向量；：，，为空间的一个基底，则p是q的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基底的判定方法和充分不必要条件的定义进行判定.
【详解】
空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，
若，，是三个共面的非零向量，则，，不能作为空间的一个基底；
但若，，为空间的一个基底，则，，不共面，
所以，，是三个非零向量，即p是q的必要不充分条件.
故选：B.
2．（安徽省池州市第一中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题）已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量共面定理和基底的概念，逐项检验，即可得到正确结果.
【详解】
由于，可知共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；
由于，可知共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；
由于，可知共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；
假设不是空间的一组基底，即向量共面，则存在实数使得，即，
所以,
因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空间的一组基底，所以选项D正确；
故选:D.
3．（苏教版（2019）选修第二册限时训练第4练空间向量基本定理）已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间向量基底的定义，结合共面向量定理，运用假设法进行求解即可.
【详解】
若，，共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得，
即．因为，，不共面，所以，，，解得，，，即当时，，此时不能作为基底，所以若能作为基底，则实数满足的条件是．
故选：B
4．（北京市通州区2021-2022学年高二上学期期中质量检测数学试题）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量基本定理逐个判断各个选项即可．
【详解】
解：对于选项A：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项A错误，
对于选项B：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项B错误，
对于选项C：因为，，，共面，不能构成基底，故选项C错误，
对于选项D：若，，共面，则，即，则，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，故选项D正确.
故选：D．
5．（河北省石家庄市第六中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．
【详解】
解：由题意和空间向量的共面定理，
结合，
得与、是共面向量，
同理与、是共面向量，
所以与不能与、构成空间的一个基底；
又与和不共面，
所以与、构成空间的一个基底．
故选：．
6．（2022·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由空间向量基底的定义即可得出答案.
【详解】
选项A：令，则，，A正确；
选项B：因为，所以不能构成基底；
选项C：因为，所以不能构成基底；
选项D：因为，所以不能构成基底．
故选：A.
7．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．
【详解】
如图，作平行六面体，，，，
则，，，，
由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，
因此可以作为空间的基底的有3组．
故选：C．
8．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】
【分析】
由不共面的三个向量能构成一组基底判断.
【详解】
A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底；
D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
故选：C
9．（多选题）已知是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解.
【详解】
对于A，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底；
对于B，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底；
对于C，假设共面，则必有不全为0的实数，使得，
因不共面，则，即，与不全为0矛盾，因此，不共面，它们能构成一个基底；
对于D，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底，
所以不能构成一个基底的一组向量是ABD.
故选：ABD
10．（多选题）（重庆市名校联盟2021?2022学年高二上学期第一次联合考试数学试题）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M、A、B、C是否共面，即可知是否能成为空间基底.
【详解】
A：因为，且，利用平面向量基本定理知：点M不在平面ABC内，向量能构成一个空间基底；
B：因为，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能构成一个空间基底；
C：由，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM是以点O为顶点的对角线，向量能构成一个空间基底；
D：由，根据平面向量的基本定理知：向量共面，不能构成空间的一个基底.
故选：AC.
11．（多选题）（重庆市2021-2022学年高二上学期期末数学试题）若向量构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据空间向量的基本定理和空间向量的基底，依次判断每个选项即可.
【详解】
解：对于A选项，若，则，解得，故共面；
对于B选项，若，则，解得，故共面；
对于C选项，若，则，无解，故不共面；
对于D选项，若，则，解得，故共面；
故选：ABD
12．（多选题）（广东省梅州市2021-2022学年高二上学期期末数学试题）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.
【详解】
对于A，因为，故，，共面；
对于B，因为，故，，共面；
对于D，因为，故，，共面；
对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，
，故共面，
这与构成空间的一个基底矛盾，
故选：ABD
13．（2022·全国·高二课时练习）已知向量、、可以构成空间向量的一组基底，则这三个向量中哪一个向量可以与向量和向量构成空间向量的另一组基底？
【答案】，理由见解析.
【解析】
【分析】
利用共面向量的基本定理可判断出、、共面，、、共面，然后利用反证法与共面向量的基本定理可证得、、不共面，即可得出结论.
【详解】
解：因为，，
故、、共面，、、共面，
假设、、共面，则存在实数、，使得，
所以，，则、、共面，与题设条件矛盾，
故假设不成立，即、、可构成空间向量的一组基底.
题型二：基底的运用
1．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A． B．=
C．= D．=
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量
【详解】
连接AG并延长交BC于N，连接ON，
由G是的重心，可得，
则
则
故选：B
2．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算可得出关于、的表达式，再利用可求得结果.
【详解】
由已知，
所以，，
故选：D.
3．（2022·江苏南通·高二期中）如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量的加减运算，即可求得答案.
【详解】
由题意得：，
故选：A
4．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意利用空间向量基本定理求解即可
【详解】
因为，所以，
所以
，
所以A错误
因为，所以，
所以
,
故选：D
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，设，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接根据三棱锥的结构特征及空间向量加减法、数乘的几何意义，用表示，即可知正确选项.
【详解】
连接
.
故选：A
6．（2022·江苏常州·高二期中）在四面体中，，点在上，且为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
【详解】
解：点在线段上，且，为中点，
，，
．
故选：B．
7．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知是所在平面外一点，是中点，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量减法的三角形法则进行计算即可.
【详解】
因为M是PC中点，
，又，
，
∴.
故选：A.
8．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.
【详解】
，
，
故选：B
9．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体中，点是线段的中点，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解
【详解】
因为为中点，
所以
所以
即
故选：B
10．（2022·上海市控江中学高二期中）如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用､､的线性组合表示___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，再由求解即可.
【详解】
在中，因为是的中点，所以，
所以.
故答案为：.
11．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则______．（用、、表示）
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.
【详解】
根据题意，
.
故答案为：.
12．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据题中条件，由向量的线性运算，即可得出；再由向量模的计算公式，结合题中条件，可求出，即得出结果.
【详解】
解：因为是的中点，底面是正方形，
所以
，
又由题意，可得，，，，
，
因此
，
所以，即的长为.
13．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，是的中点．
(1)设，，，用向量、、表示；
(2)设，，，用向量、、表示．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据向量加法运算求解即可；
（2）由题知，进而得，，，再根据求解即可.
(1)
解：如图，根据向量加法法则得：
.
(2)
解：由（1）得，
因为，
所以，，,
所以，
14．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知是平行六面体．
(1)化简；
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．
【答案】(1)；
(2)，，.
【解析】
【分析】
（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；
（2）利用向量线性运算的几何表示可得，进而即得.
(1)
∵是平行六面体，
∴
(2)
∵
，
又，
∴，，.
15．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体中，，，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点在线段上，且，记，，．试用，，表示．
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，即可用，，表示.
【详解】
因为在平行六面体中，点在线段上，且，
所以
.
题型三：正交分解
1．（2022·福建省宁化第一中学高二开学考试）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设得，结合已知条件求关于的线性表达式，即可知在基底下的坐标.
【详解】
由题设知：，而，，，
∴，
∴在基底下的坐标是.
故选：B
2．（2022·全国·高二专题练习）设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（ ）
A．7 B． C．23 D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量数量积运算性质直接求解即可
【详解】
解：因为为空间的一个标准正交基底，
所以，
所以
．
故选：B.
【点睛】
此题考查空间向量的数量积运算，属于基础题
3．（2022·甘肃省武威第一中学高二阶段练习（理））已知向量是一组单位正交向量，则＝( )
A．7 B．－20 C．28 D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
向量是一组单位正交向量，所以，进而根据数量积的分配率求解即可.
【详解】
向量是一组单位正交向量，所以.
，
所以.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为( )
A．1 B．－1
C． D．－
【答案】A
【解析】
【详解】
a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，
∴ |a|cos〈a，i〉＝(i＋2j＋3k)·i＝1.
答案：A．
【点睛】
本题主要考查了向量投影的概念及运算，属于基础题.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知向量为单位正交基底，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量为单位正交基底，可得向量的坐标，利用向量线性运算的坐标表示和模长公式，即得解
【详解】
由题意，向量为单位正交基底
故答案为：
6．（2022·福建·文博中学高二阶段练习）已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据题意得到，即可求得向量在基底下的坐标，得到答案.
【详解】
因为向量在基底下的坐标是，
可得，
所以向量在基底下的坐标是.
故答案为：.
7．（2022·山西阳泉·高二期末（理））设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量的数量积运算，易得a·b＝0，从而得垂直关系.
【详解】
∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.
∴a⊥b.
答案：a⊥b．
【点睛】
本题主要是考查了向量垂直的条件：数量积为0，属于基础题.
8．（2022·湖南·高二课时练习）已知向量，，是空间的一组单位正交基，向量，，是空间的另一组基．若向量在基下的坐标为，求在基下的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】
设，由空间向量基本定理列出方程组，即可求解．
【详解】
由题意有，
设，则
则有，得，
在基下的坐标为
9．（2022·湖南·高二课时练习）已知在标准正交基下，向量，，，求向量在上的投影．
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间向量数量积的运算性质结合向量投影的定义可求得结果.
【详解】
解：非零向量在非零向量方向上的投影为，
由已知可得，且，
，
所以，向量在上的投影为.
10．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，以D为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
用基底表示出向量，证明.
【详解】
由题意，,
,
所以
所以.
11．（2022·江苏·高二课时练习）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量．
【答案】
【解析】
【分析】
设，然后整理解方程组即可.
【详解】
设，
即有，
因为是空间的一个单位正交基底，
所以有，
所以.
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
1．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果
【详解】
由题意得，，
因为
,
所以
，
所以，
故选：C
2．（2022·福建·古田县第一中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
由题意得，
，，
所以，即，
所以
.
故选：B
3．（2022·浙江·於潜中学高二期中）在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将作为基底，用基底把表示出来，再由，可得，从而可求出
【详解】
令，因为，
所以，令，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
因为，，
所以，
所以，解得，
故选：D
4．（2022·辽宁大连·高二期末）如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理及线性运算可得，再根据向量数量积的运算律即可得出答案.
【详解】
解：根据题意可知，空间四边形的四个面都是等边三角形，
则，
则
.
故选：A.
5．（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点､满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.
【详解】
以向量为基底向量，
所以
所以
故选：D
6．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
用表示出，计算，开方得出AO的长度.
【详解】
因为四边形是平行四边形，
,
,
,
,
，
即.
故选：A
7．（多选题）（2022·江苏省镇江中学高二期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的长为 D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确.
故选：BD.
8．（2022·全国·高二期末）如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题知，共面，即平面，取中点，连接、、，易证平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，由勾股定理计算可得.
【详解】
解：因为成立，所以共面，即平面，
如图，取中点，连接、、，
根据正方体的性质得，，平面，平面，平面，，同理可证平面，且，所以平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，因为，，
由勾股定理得，
故答案为：.
9．（2022·全国·高二课时练习）自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角、、（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的对角线的长为__________.
【答案】
【解析】
数形结合以及使用向量的方法，可得，然后先平方再开方可得结果.
【详解】
如图所示：
所以
依题可知：，
所以
所以
则，故
故答案为：
10．（2022·全国·高二课时练习）三棱柱中，，分别是，上的点，且，.若，，，则的长为________.
【答案】
【解析】
由题意画出图形，设，，，将用，，表示出来，求的模长即可求解.
【详解】
如图设，，，
所以
，
因为
,
所以，
故答案为：
【点睛】
本题解题的关键是将用从点出发的一组基底，，表示出来计算其模长即可.
11．（2022·全国·高二课时练习）已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，过，分别向作垂线，垂足分别为，，用，，表示，则______，与之间的距离为______．
【答案】 ； .
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算的几何表示可得，然后利用向量数量积的定义及运算法则即得.
【详解】
∵矩形中，，，
则可得，，，，．
因为平面与平面垂直，，平面平面，
则平面，所以，
由题可得，
所以
，
所以．
故答案为：；.
12．（2022·江苏·徐州市王杰中学高二阶段练习）如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；
(1)
解：，
，
又
(2)
解：由（1）可得知
13．（2022·全国·高二课时练习）棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，DC中点，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】
【分析】
（1）根据数量积的定义计算即可得解；
（2）由题意可得即可得解；
（3）由题意可得即可得解；
（4）由题意可得即可得解；
（5）由题意可得，从而可得出答案.
(1)
解：；
(2)
解：因为点E，F分别为AB，AD的中点，
所以，且，所以，
所以；
(3)
解：
；
(4)
解：因为点F，G分别为AD，DC的中点，
所以，且，所以，
所以；
(5)
解：因为，，
所以
.
14．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平行四边形中，，，沿它的对角线将折起，使与成角，求此时两点间的距离．
【答案】或
【解析】
【分析】
利用空间向量线性运算可得，结合数量积的运算律可求得，进而得到所求结果.
【详解】
四边形为平行四边形，，又， ，
，，
在空间四边形中，与成角，或，
又，，
当时，，，即此时两点间的距离为；
当时，，，即此时两点间的距离为；
综上所述：两点间的距离为或.
15．（2022·全国·高二课时练习）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.
（1）用表示；
（2）求向量与向量所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由E是的中点，F在上，得到，进而结合向量的基本定理，即可求解；
（2）由（1）分别求得，，以及
，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）因为E是的中点，F在上，且，
所以，
于是.
（2）由（1）得，
因此，
，
又因为，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的基本定理，以及向量的数量积和向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
第05讲 空间向量基本定理
【知识点梳理】
知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.
知识点2：空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立
【题型归纳目录】
题型一：基底的判断
题型二：基底的运用
题型三：正交分解
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
【典型例题】
题型一：基底的判断
1．（课时1.2空间向量基本定理-2021-2022学年高二数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019选择性必修第一册））若：，，是三个非零向量；：，，为空间的一个基底，则p是q的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基底的判定方法和充分不必要条件的定义进行判定.
【详解】
空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，
若，，是三个共面的非零向量，则，，不能作为空间的一个基底；
但若，，为空间的一个基底，则，，不共面，
所以，，是三个非零向量，即p是q的必要不充分条件.
故选：B.
2．（安徽省池州市第一中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题）已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量共面定理和基底的概念，逐项检验，即可得到正确结果.
【详解】
由于，可知共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；
由于，可知共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；
由于，可知共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；
假设不是空间的一组基底，即向量共面，则存在实数使得，即，
所以,
因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空间的一组基底，所以选项D正确；
故选:D.
3．（苏教版（2019）选修第二册限时训练第4练空间向量基本定理）已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间向量基底的定义，结合共面向量定理，运用假设法进行求解即可.
【详解】
若，，共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得，
即．因为，，不共面，所以，，，解得，，，即当时，，此时不能作为基底，所以若能作为基底，则实数满足的条件是．
故选：B
4．（北京市通州区2021-2022学年高二上学期期中质量检测数学试题）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量基本定理逐个判断各个选项即可．
【详解】
解：对于选项A：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项A错误，
对于选项B：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项B错误，
对于选项C：因为，，，共面，不能构成基底，故选项C错误，
对于选项D：若，，共面，则，即，则，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，故选项D正确.
故选：D．
5．（河北省石家庄市第六中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．
【详解】
解：由题意和空间向量的共面定理，
结合，
得与、是共面向量，
同理与、是共面向量，
所以与不能与、构成空间的一个基底；
又与和不共面，
所以与、构成空间的一个基底．
故选：．
6．（2022·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由空间向量基底的定义即可得出答案.
【详解】
选项A：令，则，，A正确；
选项B：因为，所以不能构成基底；
选项C：因为，所以不能构成基底；
选项D：因为，所以不能构成基底．
故选：A.
7．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．
【详解】
如图，作平行六面体，，，，
则，，，，
由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，
因此可以作为空间的基底的有3组．
故选：C．
8．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】
【分析】
由不共面的三个向量能构成一组基底判断.
【详解】
A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底；
D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
故选：C
9．（多选题）已知是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解.
【详解】
对于A，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底；
对于B，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底；
对于C，假设共面，则必有不全为0的实数，使得，
因不共面，则，即，与不全为0矛盾，因此，不共面，它们能构成一个基底；
对于D，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底，
所以不能构成一个基底的一组向量是ABD.
故选：ABD
10．（多选题）（重庆市名校联盟2021?2022学年高二上学期第一次联合考试数学试题）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M、A、B、C是否共面，即可知是否能成为空间基底.
【详解】
A：因为，且，利用平面向量基本定理知：点M不在平面ABC内，向量能构成一个空间基底；
B：因为，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能构成一个空间基底；
C：由，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM是以点O为顶点的对角线，向量能构成一个空间基底；
D：由，根据平面向量的基本定理知：向量共面，不能构成空间的一个基底.
故选：AC.
11．（多选题）（重庆市2021-2022学年高二上学期期末数学试题）若向量构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据空间向量的基本定理和空间向量的基底，依次判断每个选项即可.
【详解】
解：对于A选项，若，则，解得，故共面；
对于B选项，若，则，解得，故共面；
对于C选项，若，则，无解，故不共面；
对于D选项，若，则，解得，故共面；
故选：ABD
12．（多选题）（广东省梅州市2021-2022学年高二上学期期末数学试题）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.
【详解】
对于A，因为，故，，共面；
对于B，因为，故，，共面；
对于D，因为，故，，共面；
对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，
，故共面，
这与构成空间的一个基底矛盾，
故选：ABD
13．（2022·全国·高二课时练习）已知向量、、可以构成空间向量的一组基底，则这三个向量中哪一个向量可以与向量和向量构成空间向量的另一组基底？
【答案】，理由见解析.
【解析】
【分析】
利用共面向量的基本定理可判断出、、共面，、、共面，然后利用反证法与共面向量的基本定理可证得、、不共面，即可得出结论.
【详解】
解：因为，，
故、、共面，、、共面，
假设、、共面，则存在实数、，使得，
所以，，则、、共面，与题设条件矛盾，
故假设不成立，即、、可构成空间向量的一组基底.
题型二：基底的运用
1．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A． B．=
C．= D．=
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量
【详解】
连接AG并延长交BC于N，连接ON，
由G是的重心，可得，
则
则
故选：B
2．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算可得出关于、的表达式，再利用可求得结果.
【详解】
由已知，
所以，，
故选：D.
3．（2022·江苏南通·高二期中）如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量的加减运算，即可求得答案.
【详解】
由题意得：，
故选：A
4．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意利用空间向量基本定理求解即可
【详解】
因为，所以，
所以
，
所以A错误
因为，所以，
所以
,
故选：D
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，设，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接根据三棱锥的结构特征及空间向量加减法、数乘的几何意义，用表示，即可知正确选项.
【详解】
连接
.
故选：A
6．（2022·江苏常州·高二期中）在四面体中，，点在上，且为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
【详解】
解：点在线段上，且，为中点，
，，
．
故选：B．
7．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知是所在平面外一点，是中点，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量减法的三角形法则进行计算即可.
【详解】
因为M是PC中点，
，又，
，
∴.
故选：A.
8．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.
【详解】
，
，
故选：B
9．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体中，点是线段的中点，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解
【详解】
因为为中点，
所以
所以
即
故选：B
10．（2022·上海市控江中学高二期中）如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用､､的线性组合表示___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，再由求解即可.
【详解】
在中，因为是的中点，所以，
所以.
故答案为：.
11．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则______．（用、、表示）
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.
【详解】
根据题意，
.
故答案为：.
12．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据题中条件，由向量的线性运算，即可得出；再由向量模的计算公式，结合题中条件，可求出，即得出结果.
【详解】
解：因为是的中点，底面是正方形，
所以
，
又由题意，可得，，，，
，
因此
，
所以，即的长为.
13．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，是的中点．
(1)设，，，用向量、、表示；
(2)设，，，用向量、、表示．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据向量加法运算求解即可；
（2）由题知，进而得，，，再根据求解即可.
(1)
解：如图，根据向量加法法则得：
.
(2)
解：由（1）得，
因为，
所以，，,
所以，
14．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知是平行六面体．
(1)化简；
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．
【答案】(1)；
(2)，，.
【解析】
【分析】
（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；
（2）利用向量线性运算的几何表示可得，进而即得.
(1)
∵是平行六面体，
∴
(2)
∵
，
又，
∴，，.
15．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体中，，，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点在线段上，且，记，，．试用，，表示．
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，即可用，，表示.
【详解】
因为在平行六面体中，点在线段上，且，
所以
.
题型三：正交分解
1．（2022·福建省宁化第一中学高二开学考试）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设得，结合已知条件求关于的线性表达式，即可知在基底下的坐标.
【详解】
由题设知：，而，，，
∴，
∴在基底下的坐标是.
故选：B
2．（2022·全国·高二专题练习）设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（ ）
A．7 B． C．23 D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量数量积运算性质直接求解即可
【详解】
解：因为为空间的一个标准正交基底，
所以，
所以
．
故选：B.
【点睛】
此题考查空间向量的数量积运算，属于基础题
3．（2022·甘肃省武威第一中学高二阶段练习（理））已知向量是一组单位正交向量，则＝( )
A．7 B．－20 C．28 D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
向量是一组单位正交向量，所以，进而根据数量积的分配率求解即可.
【详解】
向量是一组单位正交向量，所以.
，
所以.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为( )
A．1 B．－1
C． D．－
【答案】A
【解析】
【详解】
a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，
∴ |a|cos〈a，i〉＝(i＋2j＋3k)·i＝1.
答案：A．
【点睛】
本题主要考查了向量投影的概念及运算，属于基础题.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知向量为单位正交基底，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量为单位正交基底，可得向量的坐标，利用向量线性运算的坐标表示和模长公式，即得解
【详解】
由题意，向量为单位正交基底
故答案为：
6．（2022·福建·文博中学高二阶段练习）已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据题意得到，即可求得向量在基底下的坐标，得到答案.
【详解】
因为向量在基底下的坐标是，
可得，
所以向量在基底下的坐标是.
故答案为：.
7．（2022·山西阳泉·高二期末（理））设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量的数量积运算，易得a·b＝0，从而得垂直关系.
【详解】
∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.
∴a⊥b.
答案：a⊥b．
【点睛】
本题主要是考查了向量垂直的条件：数量积为0，属于基础题.
8．（2022·湖南·高二课时练习）已知向量，，是空间的一组单位正交基，向量，，是空间的另一组基．若向量在基下的坐标为，求在基下的坐标．
【答案】
【解析】
【分析】
设，由空间向量基本定理列出方程组，即可求解．
【详解】
由题意有，
设，则
则有，得，
在基下的坐标为
9．（2022·湖南·高二课时练习）已知在标准正交基下，向量，，，求向量在上的投影．
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间向量数量积的运算性质结合向量投影的定义可求得结果.
【详解】
解：非零向量在非零向量方向上的投影为，
由已知可得，且，
，
所以，向量在上的投影为.
10．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，以D为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
用基底表示出向量，证明.
【详解】
由题意，,
,
所以
所以.
11．（2022·江苏·高二课时练习）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量．
【答案】
【解析】
【分析】
设，然后整理解方程组即可.
【详解】
设，
即有，
因为是空间的一个单位正交基底，
所以有，
所以.
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
1．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果
【详解】
由题意得，，
因为
,
所以
，
所以，
故选：C
2．（2022·福建·古田县第一中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
由题意得，
，，
所以，即，
所以
.
故选：B
3．（2022·浙江·於潜中学高二期中）在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将作为基底，用基底把表示出来，再由，可得，从而可求出
【详解】
令，因为，
所以，令，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
因为，，
所以，
所以，解得，
故选：D
4．（2022·辽宁大连·高二期末）如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理及线性运算可得，再根据向量数量积的运算律即可得出答案.
【详解】
解：根据题意可知，空间四边形的四个面都是等边三角形，
则，
则
.
故选：A.
5．（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点､满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.
【详解】
以向量为基底向量，
所以
所以
故选：D
6．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
用表示出，计算，开方得出AO的长度.
【详解】
因为四边形是平行四边形，
,
,
,
,
，
即.
故选：A
7．（多选题）（2022·江苏省镇江中学高二期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的长为 D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确.
故选：BD.
8．（2022·全国·高二期末）如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题知，共面，即平面，取中点，连接、、，易证平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，由勾股定理计算可得.
【详解】
解：因为成立，所以共面，即平面，
如图，取中点，连接、、，
根据正方体的性质得，，平面，平面，平面，，同理可证平面，且，所以平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，因为，，
由勾股定理得，
故答案为：.
9．（2022·全国·高二课时练习）自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角、、（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中，，，，，则该晶胞的对角线的长为__________.
【答案】
【解析】
数形结合以及使用向量的方法，可得，然后先平方再开方可得结果.
【详解】
如图所示：
所以
依题可知：，
所以
所以
则，故
故答案为：
10．（2022·全国·高二课时练习）三棱柱中，，分别是，上的点，且，.若，，，则的长为________.
【答案】
【解析】
由题意画出图形，设，，，将用，，表示出来，求的模长即可求解.
【详解】
如图设，，，
所以
，
因为
,
所以，
故答案为：
【点睛】
本题解题的关键是将用从点出发的一组基底，，表示出来计算其模长即可.
11．（2022·全国·高二课时练习）已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，过，分别向作垂线，垂足分别为，，用，，表示，则______，与之间的距离为______．
【答案】 ； .
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算的几何表示可得，然后利用向量数量积的定义及运算法则即得.
【详解】
∵矩形中，，，
则可得，，，，．
因为平面与平面垂直，，平面平面，
则平面，所以，
由题可得，
所以
，
所以．
故答案为：；.
12．（2022·江苏·徐州市王杰中学高二阶段练习）如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；
(1)
解：，
，
又
(2)
解：由（1）可得知
13．（2022·全国·高二课时练习）棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，DC中点，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】
【分析】
（1）根据数量积的定义计算即可得解；
（2）由题意可得即可得解；
（3）由题意可得即可得解；
（4）由题意可得即可得解；
（5）由题意可得，从而可得出答案.
(1)
解：；
(2)
解：因为点E，F分别为AB，AD的中点，
所以，且，所以，
所以；
(3)
解：
；
(4)
解：因为点F，G分别为AD，DC的中点，
所以，且，所以，
所以；
(5)
解：因为，，
所以
.
14．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平行四边形中，，，沿它的对角线将折起，使与成角，求此时两点间的距离．
【答案】或
【解析】
【分析】
利用空间向量线性运算可得，结合数量积的运算律可求得，进而得到所求结果.
【详解】
四边形为平行四边形，，又， ，
，，
在空间四边形中，与成角，或，
又，，
当时，，，即此时两点间的距离为；
当时，，，即此时两点间的距离为；
综上所述：两点间的距离为或.
15．（2022·全国·高二课时练习）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.
（1）用表示；
（2）求向量与向量所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由E是的中点，F在上，得到，进而结合向量的基本定理，即可求解；
（2）由（1）分别求得，，以及
，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）因为E是的中点，F在上，且，
所以，
于是.
（2）由（1）得，
因此，
，
又因为，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的基本定理，以及向量的数量积和向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
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