【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三（升高一）暑假-第14讲《函数的单调性》讲学案（必修1）

第14讲  函数的单调性

       【学习目标】

1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.

2.理解函数单调性的作用和实际意义.

3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用 .

【基础知识】

知识点一   函数的单调性

函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I：

如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．

如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．

知识点二　增函数、减函数

当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数．

当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数．

知识点三　单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

知识点四  函数的最大值

(1)定义：一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：

①∀x∈I,都有f(x)≤M；

②∃x0∈I,使得f(x0)＝M.

那么,称M是函数y＝f(x)的最大值．

(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．

知识点五　函数的最小值

(1)定义：一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：

①∀x∈I,都有f(x)≥M；

②∃x0∈I,使得f(x0)＝M.

那么,称M是函数y＝f(x)的最小值．

(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．

知识点六 有关单调性的常用结论　记住这些结论有利于快速解题

在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.

   【考点剖析】

考点一：判断函数的单调性

例1．（多选题）1．下列函数中，在区间上单调递增的是（       ）

A． B． C． D．

考点二：求函数的单调区间

例2．函数的单调递增区间是______．

考点三：利用函数的单调性求参数

例3．若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．

考点四：利用单调性解不等式

例4．已知函数，则不等式的x的解集是________．

考点五：复合函数的单调性

例5．函数的单调减区间为__________．

考点六：根据图像判断单调性

例6．已知函数的图象如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为________．

考点七：函数单调性的证明

例7．根据定义证明函数在区间上单调递增.

考点八：抽象函数的单调性

例8．已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.

(1)证明：当时，；

(2)判断的单调性并加以证明；

(3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

考点九：利用函数单调性求最值

例9．函数的值域为_______________．

考点十：二次函数的最值

例10．已知函数．

若，求函数在区间上的最大值与最小值；

考点十一：含参二次函数在闭区间上的最值

例11．已知函数.

(1)若函数在是增函数，求的取值范围；

(2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围.

        【真题演练】

1．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

2．如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为

A．16 B．18 C．25 D．

3．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

4．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

5．已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（       ）

A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）

6．函数的单调递减区间是（       ）

A． B． C． D．

7．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为   （       ）

A． B． C． D．

8．若函数的单调递增区间是，则=________.

9．已知函数，则满足不等式的的范围是______

10．函数在上为增函数，则___________．

11．设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是______．

12．设函数，若对于任意的，恒成立，则实数m的取值范围为______．

       【过关检测】

一、单选题

1．设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（       ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

2．已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（       ）

A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]

3．下列函数在单调递减的是（       ）

A． B．

C． D．

4．函数的单调增区间为（       ）

A． B． C．和 D．

5．已知函数， 实数满足则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

6．已知是定义在上的增函数，且，则x的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．下列函数中，在上单调递增的是（       ）

A． B．

C． D．

8．如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（     ）

A．函数的定义域为

B．函数的值域为

C．此函数在定义域内是增函数

D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应

9．如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递减的是（       ）

A． B． C． D．

三、填空题

10．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是________.

11．函数满足，且，当时，，则当时，的最大值为___________.

12．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.

四、解答题

13．已知二次函数．

(1)若在区间上单调递增，求实数k的取值范围；

(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围．

14．设函数, ，，其中，记函数的最大值减去最小值的差为．

(1)求函数的解析式；

(2)画出函数的图象并指出的最小值．

15．已知函数，且

(1)求解析式；

(2)判断并证明函数在区间的单调性.

16．已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；

(1)求证：；

(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；

(3)解不等式