2024届新高考数学一轮复习资料第2讲：充分条件、必要条件、充要条件

第2讲充分条件、必要条件、充要条件

一、聚焦高考目标

1.理解命题的概念．

2．了解“若，则”形式的命题

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

二、聚焦高考题型

1．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线，，．则“，，共面”是“，，两两相交”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】空间中不过同一点的三条直线，，，若，，在同一平面，则，，相交或，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．

而若“，，两两相交”，则“，，在同一平面”成立．

故，，在同一平面”是“，，两两相交”的必要不充分条件，

故选：．

2．（2019•上海）已知、，则“”是“”的　　

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【解析】等价，，得“”，

“”是“”的充要条件，

故选：．

三、聚焦高考知识体系

1. 充分、必要条件

(1) 对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，记作p⇒q，称p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件；当它是假命题时，记作pq，称p不是q的　充分　条件，q不是p的　必要　条件．

(2) ①若p⇒q，且qp，则p是q的　充分不必要　条件；

②若pq，且q⇒p，则p是q的　必要不充分　条件；

③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的　充要　条件，记做p⇔q；

④若pq，且qp，则p是q的　既不充分又不必要　条件．

(3) 证明“充要条件”应分为两个环节，一是充分性，二是必要性．应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．证明时要分清哪个是条件，哪个是结论．

2. 判断充分必要条件的常用方法

(1) 定义判断法：通过判断p⇒q与q⇒p是否成立确定p是q的什么条件．

(2) 集合判断法：建立命题p，q相应的集合，若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：x∈A＝{x|p(x)}，q：x∈B＝{x|q(x)}，则：

①若A⊆B，则p是q的充分条件；

②若B⊆A，则p是q的必要条件；

③若A，则p是q的充分不必要条件；

④若B，则p是q的必要不充分条件；

⑤若A＝B，则p是q的充要条件；

⑥若AB且B A，则p是q的既不充分又不必要条件．

四、聚焦典例

考点一：充分、必要条件的判定

例1：设：，：，则是成立的(　　)

A．充要条件                B．充分不必要条件

C．必要不充分条件          D．既不充分也不必要条件

答案：B

解析：p：x<3，q：－1<x<3，可得q⇒p，而p推不出q.

则q是p成立的充分不必要条件．故选B.

例2：“0<a<b”是“a－<b－”的(　A　)

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要条件

【解析】 因为y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数，所以当0<a<b时，a－<b－，充分性成立；当a－<b－时，a<b<0或0<a<b，必要性不成立．所以“0<a<b”是“a－<b－”的充分不必要条件．

变式1：若x，y为实数，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

由题意可知当时，满足，但不满足；

由，得，满足，

所以 “”是“”的必要不充分条件，

故选：B．

变式2：设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

解不等式，得；解不等式，得.

设集合，.

充分性：因为集合不是集合的子集，故充分性不成立；

必要性：因为成立，故必要性成立；

综上可得“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

考点二：充分条件、必要条件的探究

例3：不等式成立的一个必要不充分条件是(　　)

A． B．

C． D．

答案：B　

解：由不等式x(x－2)＜0得0＜x＜2，因此x∈(0,2)是不等式x(x－2)＜0成立的充要条件，则所求必要不充分条件应包含集合{x|0＜x＜2}，故选B.]

例4：命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A． B．

C． D．

答案：C　

解：由题意知，a≥x2对x∈[1,3]恒成立，则a≥9.

因此a≥10是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件，故选C.

变式3：已知p：，q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

本题考查充分条件与必要条件的判断.

q：，即.

p：，

即.

因为p是q的必要不充分条件，

所以且等号不同时成立，

解得.

故答案为：

变式4： (2022·株洲一检)已知“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则a的取值范围为(　B　)

A. (3，＋∞)  B. (－∞，2)

C. (－∞，2]  D. [0，＋∞)

【解析】 由题意得，{x|x≥2}是{x|x≥a}的真子集，故a<2.

五、当堂检测

1.已知m，n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥n，则“l⊥m”是“l⊥α”的(　　)

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　当l⊥m时，m，n是平面α内的两条相交直线，又l⊥n，根据线面垂直的判定定理，可得l⊥α.当l⊥α时，因为m⊂α，所以l⊥m.综上，“l⊥m”是“l⊥α”的充要条件.

2．设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

，所以充分性成立，

当时，满足，但不成立，所以必要性不成立．

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A．

3. 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　(0,3]　.

【解析】 因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且p是q的必要不充分条件，所以{x|1－m≤x≤1＋m}是{x|－2≤x≤10}的真子集，且{x|1－m≤x≤1＋m}不是空集，所以或解得0<m≤3，所以实数m的取值范围是(0,3]．

4．(2023·长沙模拟)已知p：>1；q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)

A．[0，＋∞)   B．[1，＋∞)

C．(－∞，0]   D．(－∞，1]

答案　C

解析　由>1，可得x(x－1)<0，解得0<x<1，

记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，

若p是q的充分条件，

则A是B的子集，所以m≤0，

所以实数m的取值范围是(－∞，0]．

5.若，，则“”是“”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不满足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A.