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(新)苏教版高中数学必修第一册学案:第2章 2.2 充分条件、必要条件、充要条件(含解析)

学案
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www.ks5u.com2.2 充分条件、必要条件、充要条件

学 习 目 标

核 心 素 养

1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.(重点、难点)

2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.(重点)

3.理解性质定理、判定定理和定义与充分条件和必要条件之间的关系.(重点)

4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.(难点)

1.通过充要条件的判断,提升逻辑推理素养.

2.借助充要条件的应用,培养数学运算素养.

充分”“必要是我们日常生活中经常使用的词语,你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗?

(1)习近平总书记在2020326日出席二十国集团领导人应对新冠肺炎特别峰会上讲话中指出:只要我们同舟共济、守望相助,就一定能够彻底战胜疫情,迎来人类发展更加美好的明天!”.

(2)文学不只是知识,同时也是一种能力,写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质(《人民日报》)

1充分条件与必要条件

命题真假

p,则q是真命题

p,则q是假命题

推出关系

pq

pq

条件关系

pq充分条件

qp必要条件

p不是q充分条件

q不是p必要条件

pq含义的理解:一方面,一旦p成立,q一定也成立.即pq的成立是充分的;另一方面,如果q不成立,那么p一定不成立;即qp的成立是充分的.

思考1(1)pq的充分条件与qp的必要条件所表示的推出关系是否相同?

(2)以下五种表述形式:pqpq的充分条件;q的充分条件是pqp的必要条件;p的必要条件是q这五种表述形式等价吗?

[提示] (1)相同,都是pq(2)等价

2充要条件

(1)如果pq,且qp,那么称pq充分必要条件,简称pq充要条件.

为了方便起见,pq的充要条件,就记作pq,称为pq等价p等价于q”“都具有传递性,即

如果pqqs,则ps

如果pq, qs,则ps

(2)pq,但qp,则称pq的充分不必要条件.

(3)qp,但pq,则称pq的必要不充分条件.

(4)pq,且qp,则称pq的既不充分也不必要条件.

思考2(1)pq的充要条件,则命题pq是两个相互等价的命题,这种说法对吗?

(2)pq的充要条件p的充要条件是q的区别在哪里?

[提示] (1)正确pq的充要条件,则pq,即p等价于q

(2)pq的充要条件说明p是条件,q是结论

p的充要条件是q说明q是条件,p是结论

3性质定理和判定定理与充分必要条件的关系

(1)性质定理是某类对象具有的具体特征,所以性质定理具有必要性

(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征,就一定有该对象的所有特征,所以判定定理具有充分性

(3)数学中的定义既可以作为判定,也可以作为性质.即数学中的定义具有充要性”.

1同位角相等两直线平行(   )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既是充分条件,也是必要条件

D.既不充分也不必要条件

[答案] C

2.使x>3成立的一个充分条件是(  )

Ax>4   Bx>0 

Cx>2   Dx<2

A [只有x>4x>3,其他选项均不可推出x>3]

3.使x>3成立的一个必要不充分条件是(  )

Ax>4   Bx<4 

Cx>2   Dx<2

C [因为x>3x>2x>2x>3,所以选C]

4.设xyR,则x2y2x2y24(  )

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充分必要条件   D.既不充分也不必要条件

A [因为x2y2x2y24, x2y24x2y2,如x=-2y1,所以x2y2x2y24的充分不必要条件]

充分条件、必要条件的判断

【例1 指出下列各题中pq的什么条件.

(1)px30q(x2)(x3)0

(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等.

(3)pabqacbc

[] (1)x30(x2)(x3)0,但(x2)(x3)0x30,故pq的充分不必要条件

(2)两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等两个三角形相似,故pq的必要不充分条件

(3)abacbc,且acbcab

pq的既不充分也不必要条件

定义法判断充分条件、必要条件

1确定谁是条件,谁是结论.

2尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.

3尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.

1.指出下列各组命题中,pq的什么条件.

(1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形.

(2)p(x1)2(y2)20q(x1)(y2)0

[] (1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形的对角线相等,

所以pq的既不充分也不必要条件

(2)因为(x1)2(y2)20x1y2(x1)(y2)0,而(x1)(y2)0(x1)2(y2)20,所以pq的充分不必要条件

充分条件、必要条件、充要条件的应用

[探究问题]

1记集合A{x|p(x)}B{x|q(x)},若pq的充分不必要条件,则集合AB的关系是什么?若pq的必要不充分条件呢?

[提示] pq的充分不必要条件,则AB,若pq的必要不充分条件,则BA

2记集合M{x|p(x)}N{x|q(x)},若MN,则pq的什么条件?若NMMN呢?

[提示] MN,则pq的充分条件,若NM,则pq的必要条件,若MN,则pq的充要条件

【例2 已知p:-2x10q1mx1m(m0),若pq的充分不必要条件,则实数m的取值范围为       

[思路点拨] 

{m|m9} [因为pq的充分不必要条件,所以pqqp

{x|2x10}{x|1mx1mm>0}的真子集,所以解得m9

所以实数m的取值范围为{m|m9}]

1本例中pq的充分不必要条件改为pq的必要不充分条件,其他条件不变,试求m的取值范围.

[] 因为pq的必要不充分条件,所以qp,且pq

{x|1mx1mm>0}{x|2x10}

所以,解得0<m3

m的取值范围是{m|0m3}

2.若本例题改为:已知P{x|a4<x<a4}Q{x|1<x<3}xPxQ的必要条件,求实数a的取值范围.

[] 因为xPxQ的必要条件,所以QP

所以解得-1a5

a的取值范围是{a|1a5}

利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围

1化简pq两命题;

2根据pq的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系;

3利用集合间的关系建立不等式;

4求解参数范围.

 

充要条件的探求与证明

【例3】 试证:一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0

[思路点拨] 从充分性必要性两个方面来证明

[证明] 必要性:因为一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根,所以Δb24ac0x1x20(x1x2为方程的两根),所以ac0

充分性:由ac0可推得Δb24ac0x1x20(x1x2为方程的两根)所以方程ax2bxc0有两个相异实根,且两根异号,即方程ax2bxc0有一正根和一负根

综上所述,一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0

充要条件的证明策略

(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题p,则q为真且q,则p为真

(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明pq的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论

提醒:证明时一定要注意,分清充分性与必要性的证明方向

2.求证:关于x的方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0

[证明] 假设p:方程ax2bxc0有一个根是1

qabc0

证明pq,即证明必要性

x1是方程ax2bxc0的根,

a·12b·1c0,即abc0

证明qp,即证明充分性

abc0,得c=-ab

ax2bxc0ax2bxab0

a(x21)b(x1)0(x1)(axab)0

x1是方程的一个根故方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0

充分条件、必要条件的判断方法

(1)定义法:直接利用定义进行判断.

(2)等价法:pq表示p等价于q,等价命题可以进行转换,当我们要证明p成立时,就可以去证明q成立.

(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件p和结论q相应的集合分别为AB,那么

AB,则pq的充分条件;qp的必要条件;

AB,则pq的充分不必要条件;qp的必要不充分条件;

AB,则pq的充分必要条件.

1思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)qp的必要条件时,pq的充分条件. (  )

(2)q不是p的必要条件时,pq成立. (  )

(3)qp的必要条件,则q成立,p也成立. (  )

[答案] (1) (2) (3)×

2x>0x0(  )

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充分必要条件   D.既不充分也不必要条件

A [x>0x0,反之不一定成立因此x>0x0的充分不必要条件]

3.已知:A{x|x2nnZ}B{x|x4nnZ}, xyZ,则xyAxyB        条件.

(选填充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要)

既不充分又不必要 [x2y4, xy6B;因为134B,但1,3A]

4.已知p:实数x满足3a<x<a,其中a<0q:实数x满足-2x3.若pq的充分条件,求实数a的取值范围.

[] p3a<x<a,即集合A{x|3a<x<a}

q:-2x3,即集合B{x|2x3}

因为pq,所以AB

所以即-a<0

所以a的取值范围是

 

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