2024年新高考数学一轮复习 第八章 第五节 抛物线

课时跟踪检测（六十一） 抛物线

一、全员必做题

1．(2022·岳阳三模)已知M为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，M到抛物线的焦点的距离为4，到x轴的距离为3，则p＝(　 )

A.        B．1        C．2  D．4

解析：选C　由题意可知点M的纵坐标为3，抛物线x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，由抛物线的定义可得3＋＝4，解得p＝2.故选C.

2．(2023·揭阳模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点AB是抛物线C上不同两点，且AB中点的横坐标为2，则|AF|＋|BF|＝(　 )

A．4       B．5       C．6  D．8

解析：选C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB中点的横坐标为2，可得x1＋x2＝4，所以|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝6.故选C.

3．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线(　 )

A．经过点O  B．经过点P

C．平行于直线OP  D．垂直于直线OP

解析：选B　如图所示，P为抛物线上异于O的一点，则|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分线经过点P.

4．(2023·宁乡教育研究中心模拟)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，直线l过F1与抛物线x2＝8y的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则|F1F2|＝(　 )

A．2       B．4       C．4     D．2

解析：选C　已知双曲线的左焦点F1(－c,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，抛物线x2＝8y的焦点(0,2)．因为直线l过F1(－c,0)与抛物线的焦点(0,2)且与双曲线的一条渐近线平行，所以＝，又c2＝a2＋2，解得a＝，c＝2，所以|F1F2|＝2c＝4.故选C.

5．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l与抛物线C交于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，且OA⊥OB，若直线l恒过点(4,0)，则下列说法正确的是(　 )

A．抛物线方程为y2＝4x

B．x1x2＝16，y1y2＝－16

C．△OAB的面积的最小值为32

D．弦AB中点的轨迹为一条抛物线

解析：选ABD　设直线l：x＝ky＋4，联立得y2－2pky－8p＝0，所以y1＋y2＝2pk，y1y2＝－8p，因为·＝0，则x1x2＋y1y2＝0，又x1x2＝＝16，解得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，且x1x2＝16，y1y2＝－16，故A、B正确；S△OAB＝×4×|y1－y2|＝2＝2≥16，当且仅当k＝0时取等号，故C错误；设AB的中点为M，则xM＝＝＝2k2＋4，yM＝＝2k，所以xM＝＋4，即y＝2xM－8，所以M点的轨迹为一条抛物线，故D正确．

6．若抛物线y2＝8x上一点P(m，n)到其焦点的距离为8m，则m＝______.

解析：由题意得，抛物线的准线方程为x＝－2，又点P(m，n) 到焦点的距离为8m，所以|PF|＝m＋2＝8m，解得m＝.

答案：

7.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________.

解析：依题知C，F，因为点C，F在抛物线上，所以两式相除得2－2－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)．

答案：1＋

8．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．

解析：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M.因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.

答案：x2＝4y

9．已知抛物线C：x2＝2py(p≠0)，直线l：y＝－，M是l上任意一点，过M作C的两条切线l1，l2，其斜率为k1，k2，则k1k2＝______.

解析：设切线斜率为k，M，则切线方程为y＋＝k(x－x0)，代入x2＝2py中得x2－2pkx＋2pkx0＋p2＝0.因为Δ＝0，所以p2k2－2px0k－p2＝0.k1，k2是方程的两个根，所以k1k2＝－1.

答案：－1

10．(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．

解析：抛物线C的焦点为F，将x＝代入y2＝2px，解得y＝±p.不妨设P，则kOP＝＝2.因为PQ⊥OP，所以kPQ＝－，所以直线PQ：y－p＝－.令y＝0，得x＝.由|FQ|＝6，得－＝2p＝6，所以p＝3.故C的准线方程为x＝－.

答案：x＝－

11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.

(1)求抛物线的方程；

(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．

解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，

由题意可得4＋＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.

(2)因为点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．

又因为F(1,0)，所以kFA＝，且FA的方程为y＝(x－1)，①

因为MN⊥FA，所以kMN＝－，且MN的方程为y－2＝－x，②

联立①②，解得x＝，y＝，所以N的坐标为.

12．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．

解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝2，

与y2＝2px联立，消去y得4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.

由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，

故该抛物线的方程为y2＝8x.

(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，

于是y1＝－2，y2＝4，

从而A(1，－2)，B(4,4)．

设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝＋λ＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)．

又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，

整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.

二、重点选做题

1．(2023·荆门模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线l的倾斜角等于(　 )

A．30°或150°  B．45°或135°

C．60°或120°  D．与p值有关

解析：选C　如图l是抛物线的准线，作AM⊥l，BN⊥l，M，N为垂足，设|FB|＝m，则|FA|＝3m，由抛物线定义知|AM|＝3m，|NB|＝m，过B作BC⊥AM，垂足为C，则易得|MC|＝|BN|＝m，所以|AC|＝2m，在直角三角形ABC中，cos∠CAB＝＝＝，∠CAB＝60°，此时直线AB的倾斜角为60°，由对称性，直线AB倾斜角也可为120°，故选C.

2．(多选)已知O为坐标原点，P为y轴上的动点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，Q(2p,0)，若|AF|＝|QF|，则(　 )

A．|QA|>|QF|

B．|BF|＝|OB|

C．当·＝0时，P的纵坐标一定大于

D．不存在P使得·＝－p2

解析：选ABD　对于A，易得F，由|AF|＝|QF|可得|AF|＝p，由焦半径公式得A点横坐标为p－＝p，代入抛物线可得A(p，p)，则|QA|＝＝p>|QF|＝p，故A正确；对于B，由A(p，p)可得直线AB的斜率为＝2.则直线AB的方程为x＝y＋，联立抛物线方程得y2－py－p2＝0，设B(x1，y1)，则p＋y1＝p，则y1＝－，代入抛物线解得x1＝，则B，故B在OF的中垂线上，|BF|＝|OB|，故B正确；对于C，由抛物线的性质知，以AB为直径的圆与准线相切的切点纵坐标为＝，故当·＝0时，P为该圆与y轴的交点，纵坐标大于或小于均可，故C错误；对于D，设AB的中点为D，|AD|＝|AB|＝＝，则·＝|PD|2－|AD|2＝|PD|2－p2，当PD⊥y轴时，|PD|min＝，则(·)min＝|PD|－p2＝－p2>－p2，所以不存在P使得·＝－p2，故D正确．

3．(2023·临沂模拟)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－2与抛物线交于点A，且|AF|＝.写出抛物线的一个标准方程________．

解析：设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－2)，由抛物线定义得＝|AF|＝.又∵(－2)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±4，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±8x.

答案：y2＝2x或y2＝8x或y2＝－2x或y2＝－8x(写出一个即可)

4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点．

(1)用p表示A，B之间的距离；

(2)证明：∠AOB的大小是与p无关的定值，并求出这个值．

解：(1)由题意知焦点F，过点F且倾斜角为的直线方程是y＝x－.

由得x2－3px＋＝0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝3p，xAxB＝，故|AB|＝xA＋xB＋p＝4p.

(2)证明：在△AOB中，由余弦定理可知，

cos∠AOB＝

＝

＝

＝＝－.

即∠AOB的大小是与p无关的定值，

且cos∠AOB＝－.