2024年新高考数学一轮复习 第八章 第四节 双曲线

课时跟踪检测（六十） 双曲线

一、全员必做题

1．已知双曲线－＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为(　 )

A.－＝1  B.－＝1

C．x2－＝1  D.－＝1

解析：选D　由题意，得2＝，解得m＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.

2．(2023·枣庄模拟)已知双曲线x2－my2＝1(m∈R)的离心率为，则其渐近线方程为(　 )

A．4x±3y＝0  B．3x±4y＝0

C．3x±5y＝0  D．5x±3y＝0

解析：选A　根据双曲线标准方程，知a2＝1，b2＝>0，∵双曲线的离心率为，∴＝，而c2＝a2＋b2，∴m＝，所以其渐近线方程为4x±3y＝0.故选A.

3．设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　 )

A.－＝1  B．x2－＝1

C.－y2＝1  D．x2－y2＝1

解析：选D　由题意知抛物线的焦点为F(1,0)，直线l的斜率kl＝＝－b＝－，解得a＝1，又∵·(－b)＝－1，∴b＝a＝1，∴双曲线C的方程为x2－y2＝1.

4．(2023·南京金陵中学模拟)设双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且F1P⊥F2P，若△PF1F2的面积为4，则双曲线C的离心率为(　 )

A.        B．2       C．3  D.

解析：选D　由题意，双曲线C：x2－＝1，可知a＝1，设|PF2|＝m，|PF1|＝n，可得|m－n|＝2，又因为F1P⊥F2P，又△PF1F2的面积为4，所以mn＝4，且m2＋n2＝4c2，联立方程组，可得c2＝5，所以双曲线的离心率为e＝＝.故选D.

5．(多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的是(　 )

A．离心率为

B．双曲线过点

C．渐近线方程为3x±4y＝0

D．实轴长为4

解析：选ABC　由题意可得焦点在x轴上，且c＝5.A选项，若离心率为，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为－＝1，故A符合题意；B选项，若双曲线过点，则解得此时双曲线的方程为－＝1，故B符合题意；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，则可设双曲线的方程为－＝m(m＞0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，所以此时双曲线的方程为－＝1，故C符合题意；D选项，若实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为－＝1，故D不符合题意．

6．已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，C的离心率为5，点P(x0，y0)在C上，·<0，则x0的取值范围是(　 )

A．(－3a,3a)

B．(－3a，－a]∪[a,3a)

C.

D.∪

解析：选D　设C的焦距为2c，离心率为e.当·＝0时，(c－x0)(c＋x0)＝b2，解得x＝＝.∵e＝5，∴x＝.根据双曲线C上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当·<0时，实数x0的取值范围是∪.

7．已知双曲线C过点(2，－1)，且与双曲线－＝1有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为________．

解析：由题意设所求双曲线方程为－＝k，(k0)因为双曲线过点(2，－1)，所以－＝k，k＝，所以双曲线方程为－＝，即－＝1.

答案：－＝1

8．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________．

解析：易得双曲线C的渐近线方程为y＝± x，又知C的一条渐近线方程为y＝－x，则＝，解得m＝3.故C的方程为－y2＝1.所以C的焦距为4.

答案：4

9．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为________．

解析：由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8.

答案：8

10．(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值__________．

解析：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则≤2，∴≤4，

∴e2＝＝1＋≤5，又e＞1，∴e∈(1，]，

∴e的值可以为2.

答案：2((1，]内的任意值均可)

11．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求椭圆和双曲线的方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．

解：(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，

则解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.

所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.

(2)不妨设F1，F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P是第一象限的交点，

则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.

又|F1F2|＝2，

所以cos∠F1PF2＝＝＝.

12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为1.

(1)求此双曲线的方程；

(2)若点M在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．

解：(1)依题意得解得故双曲线的方程为－x2＝1.

(2)证明：因为点M在双曲线上，所以－＝1，所以m2＝，

又双曲线－x2＝1的焦点为F1(0，－)，F2(0，)，

所以·＝·＝2－()2＋m2＝－5＋＝0，所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上．

二、重点选做题

1．(2023·南京师大附中模拟)已知点A，B是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，过点B作倾斜角为的直线l交C于点P，点M是线段AP的中点．若|OM|＝|OA|，则该双曲线的离心率为(　 )

A.        B.         C．2  D.＋1

解析：选A　如图，易得O是线段AB的中点，又点M是线段AP的中点，则OM∥PB，又|OM|＝|OA|，则|AB|＝|PB|＝2a，作PQ⊥x轴于点Q，又∠PBQ＝，则|BQ|＝a，|PQ|＝a，则P(2a, a)，代入C可得－＝1，解得b2＝a2，故离心率为＝＝.故选A.

2．(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线PA与PB斜率的乘积为1，则(　 )

A．a＝b＝

B．双曲线C的离心率为

C．直线AB倾斜角的取值范围为

D．若·＝0，则三角形PF1F2的面积为2

解析：选ABD　设焦距为2c，则c＝2，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x0，y0)，则－＝1，－＝1，作差得＝，得＝，kPA·kPB＝·＝＝＝1，故a＝b，又a2＋b2＝c2＝4，所以a＝b＝，A正确；而离心率e＝＝，B正确；双曲线C的渐近线方程为y＝±x，直线AB过原点，由题可知直线AB与C有两个不同的交点，所以直线AB倾斜角的取值范围为∪，C错误；若·＝0，则∠F1PF2＝，由双曲线的定义以及选项A的结论可得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，故|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝8，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝16，可得|PF1|·|PF2|＝4，所以三角形PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|＝2，D正确．故选A、B、D.

3．(2023·苏州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与圆x2＋y2＝a2相切，且与双曲线的左支交于x轴上方的一点P，当|PF1|＝|F1F2|时，直线PF2的斜率为________．

解析：设直线PF2与圆x2＋y2＝a2相切于点D，如图，连接DO，过点F1作F1E⊥PF2于点E，则|PF1|＝|F1F2|＝2c，OD＝a，|F1E|＝2a.由点P位于双曲线的左支上，可得|PF2|＝2c＋2a，又△PF1F2中，|PF1|＝|F1F2|，F1E⊥PF2，则|EF2|＝c＋a，则有|EF1|2＋|EF2|2＝|F1F2|2，即(2a)2＋(c＋a)2＝(2c)2，解得a＝c或a＝－c(舍去)，则tan∠EF2F1＝＝＝＝，则直线PF2的斜率为－.

答案：－

4．(2023·盐城模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求的值．

解：(1)由题意，渐近线方程为bx±ay＝0，设M(x，y)，

∴·＝＝，又＝2，即c2＝4a2，

∴b2＝3a2，故a2＝1，b2＝3，

∴双曲线C的方程为x2－＝1.

(2)由(1)知F(2, 0)，可设直线l：y＝k(x－2)，

联立x2－＝1，消去y得x2－＝1，整理得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，Δ＝16k4＋4(4k2＋3)(3－k2)＝36(k2＋1)>0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，故|PQ|＝·|x1－x2|＝·＝，

∴y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝，故PQ的中点坐标为，

∴线段PQ的垂直平分线为y＝－x－＋，整理得y＝－x＋，

∴B，则|BF|＝＝，∴＝1.