2024年新高考数学一轮复习 第八章 第三节 椭　圆

课时跟踪检测（五十九） 椭 圆

一、全员必做题

1．(2023·韶关一模)在椭圆C1：＋＝1与椭圆C2：＋＝1中，下列结论正确的是(　 )

A．长轴长相等  B．短轴长相等

C．焦距相等  D．离心率相等

解析：选C　设椭圆C1的焦距为2c1，椭圆C2的焦距为2c2，则c＝4－3＝1，c＝4－m－(3－m)＝1，∴2c1＝2c2.故选C.

2．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　 )

A．13       B．12        C．9  D．6

解析：选C　由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝6，所以由基本不等式，得|MF1|·|MF2|≤2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C.

3．(2023·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上点P(x，y)到焦点F2的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为(　 )

A.        B.          C.  D．2

解析：选A　设椭圆的半焦距为c，由题意可得解得a＝2，c＝1，所以椭圆C的离心率e＝＝，故选A.

4．(2023·长沙一中模拟)(多选)已知椭圆C：＋＝1，F1，F2是椭圆C的两个焦点，M，N是椭圆C上两点，且M，N分别在x轴两侧，则(　 )

A．若直线MN经过原点，则四边形MF1NF2为矩形

B．四边形MF1NF2的周长为20

C．△MF1F2的面积的最大值为12

D．若直线MN经过F2，则F1到直线MN的最大距离为8

解析：选BC　选项A，若直线MN经过原点，易知四边形MF1NF2为平行四边形，因为|MN|不一定与|F1F2|相等，所以MF1NF2不一定是矩形，故不正确；选项B，四边形MF1NF2的周长为4a＝20，故正确；选项C，△MF1F2的面积的最大值为×2c×b＝3×4＝12，故正确；选项D，若直线MN经过F2，则F1到直线MN的最大距离为|F1F2|＝2c＝6，故不正确．故选B、C.

5．(2023·南京模拟)椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，与y轴的一个交点为A，若∠F1AF2＝，则m＝(　 )

A．1        B.        C.  D．2

解析：选C　如图，在椭圆＋＝1(m>0)中，a＝，b＝m，c＝1. 易知|AF1|＝|AF2|＝a.又∠F1AF2＝，所以△F1AF2为等边三角形，即|AF1|＝|F1F2|，所以＝2，即m＝. 故选C.

6．设M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，P是C上的一个动点，当P运动到下顶点时，|PM|取得最大值，则C的离心率的取值范围是(　 )

A.  B.

C.  D.

解析：选C　设P(x0，y0)，M(0，b)，因为＋＝1，a2＝b2＋c2，所以|PM|2＝x＋(y0－b)2＝a2＋(y0－b)2＝－2＋＋a2＋b2，－b≤y0≤b，由题意知当y0＝－b时，|PM|2取得最大值，所以－≤－b，可得a2≥2c2，即0<e≤.

7．(2023·烟台高三期末)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：________.

①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为.

解析：只要椭圆方程形如＋＝1(m>0)或＋＝1(m>0)即可．

答案：＋＝1(答案不唯一)

8．(2022·浏阳二模)已知椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，△PF1F2的周长为16，则a＝________.

解析：设焦距为2c，因为△PF1F2的周长为16，所以2a＋2c＝16，化简得a＋c＝8　①.又a2－c2＝16，所以(a＋c)(a－c)＝16，可得a－c＝2　②，由①②，解得a＝5.

答案：5

9．(2023·深圳模拟)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(－1,3)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．

解析：由题意F2(3,0)，|MF2|＝5，由椭圆的定义可得，|PM|＋|PF1|＝2a＋|PM|－|PF2|＝10＋|PM|－|PF2|≤10＋|MF2|＝15，当且仅当P，F2，M三点共线时取等号．

答案：15

10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝4px(p>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率是________．

解析：由题意知F(p,0)是椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点，∴a2＝b2＋p2.∵AF⊥x轴，∴A(p,2p)或A(p，－2p)，代入椭圆方程得＋＝1，∴＋＝1，又椭圆的离心率e＝，∴＋＝e2＋＝1，解得e2＝3±2＝(1±)2，又e∈(0,1)，∴e＝－1.

答案：－1

11.如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．

解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.

所以a＝c，故e＝＝.

(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，

由＝2，得解得x＝，y＝－.

代入＋＝1，得＋＝1，解得a2＝3.所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆方程为＋＝1.

12．(2020·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(0<m<5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．

(1)求C的方程；

(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．

解：(1)由题设可得＝，解得m2＝，

所以C的方程为＋＝1.

(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，

根据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0.

由已知可得B(5,0)，

直线BP的方程为y＝－(x－5)，

所以|BP|＝yP，|BQ|＝.

因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1，

将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或xP＝－3.

由直线BP的方程得yQ＝2或yQ＝8.

所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)或

P2(－3,1)，Q2(6,8)．

|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为，

故△AP1Q1的面积为××＝；

|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，点A到直线P2Q2的距离为，

故△AP2Q2的面积为××＝.

综上，△APQ的面积为.

二、重点选做题

1．(2023·南京一中高三开学考试)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，过F2作x轴的垂线与椭圆在第一象限的交点为A.已知Q，|F2Q|>|F2A|，P是椭圆C上的动点，且|PF1|＋|PQ|<|F1F2|恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是(　 )

A.  B.

C.  D.

解析：选D　如图，∵|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|≤2a＋|F2Q|＝，|F1F2|＝3c，∴<3c⇒e>，又∵|F2Q|>|F2A|，∴>⇒<⇒e>，而且椭圆离心率e∈(0, 1)，综上e∈. 故选D.

2.(多选)月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0)，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线y＝t(t>0)与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是(　 )

A．椭圆的离心率是

B．线段AB长度的取值范围是(0,3＋3)

C．△ABF面积的最大值是(＋1)

D．△OAB的周长存在最大值

解析：选ABC　由题意得半圆的方程为x2＋y2＝9(x≤0)，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0，x≥0)，所以∴a2＝18，所以椭圆的方程为＋＝1(x≥0)．对于A，椭圆的离心率是e＝＝＝，故A项正确；对于B，当t―→0时，|AB|―→3＋3；当t―→3时，|AB|―→0，所以线段AB长度的取值范围是(0,3＋3)，故B项正确；对于C，由题得△ABF的面积S＝×|AB|×t，设A(x1，t)，∴x＋t2＝9，∴x1＝－(0<t<3)，设B(x2，t)，∴＋＝1，∴x2＝，所以|AB|＝＋，所以S＝×(＋)t＝×t＝≤·＝(＋1)，当且仅当t＝时等号成立，故C项正确；对于D，△OAB的周长＝|AO|＋|OB|＋|AB|＝3＋(＋1)＋，所以当t＝0时，△OAB的周长最大，但是t不能取零，所以△OAB的周长没有最大值，故D项错误．

3．(2023·石家庄一模)设点M是椭圆C：＋＝1上的动点，点N是圆E：(x－1)2＋y2＝1上的动点，且直线MN与圆E相切，则|MN|的最小值是________．

解析：由题可知E(1, 0)，|NE|＝1，设M(x0, y0)，＋＝1⇒y＝8，－3≤x0≤3，则|MN|＝＝＝＝＝＝＝，

∴当x0＝3时，|MN|min＝＝.

答案：

4.如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.

(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；

(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.

解：(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.

设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，

因此2c＝|F1F2|＝＝＝2，

所以c＝，从而b＝＝1，

故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2)连接F1Q，如图所示，

由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.

从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.

设|PF1|＝m，所以|QF1|＝4a－2m，|QF2|＝2m－2a，|PF2|＝2a－m，

又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，

所以

即解得

所以e＝＝＝－.