备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题20 三角函数的图象与性质

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1、“五点法”作图原理
在确定正弦函数的图像时，起关键作用的5个点是.
在确定余弦函数的图像时，起关键作用的5个点是.
2、三角函数的图像与性质
3、与的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设.
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心.
假设.
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
（5）单调性.
假设.
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
（，）的图象，可以用下面的方法得到：
= 1 \* GB3 ①画出函数的图象；
= 2 \* GB3 ②把的图象向左（）或向右（）平移个单位长度，得到函数的图象；
= 3 \* GB3 ③把图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；
= 4 \* GB3 ④把图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象.
【典例例题】
例1．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）函数的图象关于直线对称，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，，，
，，，D不符合要求．
故选：D．
例2．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知函数的最大值和最小值分别为（ ）
A．3，1B．3，C．，D．，1
【答案】B
【解析】对于
当，即时，函数取最大值，且最大值为3；
当，即时，函数取最小值，且最小值为；
故选：B.
例3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）函数的一部分图象如下图所示，此函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由函数的图像可知，,,故，解得，由“五点作图法”得，解得，所以.
故选A.
例4．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）函数的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，
解得，
即函数的单调递减区间为，
取可得，为函数的单调递减区间，B正确；
取可得，为函数的单调递减区间，
令，
解得，
即函数的单调递增区间为，
取可得，为函数的单调递增区间，A错误；
因为在上单调递增，C错误；
取可得，为函数的单调递增区间，
所以在上单调递增，D错误
故选：B.
例5．（2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（ ）
A．图象关于直线对称
B．图象关于点成中心对称
C．的一个单调递增区间为
D．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为
【答案】D
【解析】函数的图象向右平移个单位长度得到，
纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到，
对于A，因为
所以直线不是的对称轴，故错误；
对于B，
所以图象不关于点成中心对称，故错误；
对于C，当，则，
因为正弦函数在不单调，故不是的一个单调递增区间，故错误；
对于D，当时，则或，
则或，则相邻交点距离最小值为，故D正确
故选：D.
例6．（2023秋·浙江·高三期末）将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数为奇函数，
则，取，则．
故选：D
例7．（2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）已知函数，有如下命题：
①将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象；
②将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象；
③与的图象关于直线对称；
④与的图象关于直线对称，
则上述命题中正确的序号是（ ）
A．②③B．②④C．①③D．①④
【答案】D
【解析】，
，
对①，将的图象向左平移个单位长度可以得到
，所以①正确；
对②，将的图象向左平移个单位长度可以得到
，所以②不正确；
对③，因为
所以与的图象不关于直线对称，所以③错误；
对④，因为
所以与的图象关于直线对称，所以④正确.
故选：D．
例8．（多选题）（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的一个对称中心坐标为
C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
D．在区间上单调递减
【答案】ABD
【解析】对A，，
由周期公式可得,A正确；
对B，因为,故为对称中心，B正确；
对C，的图象向左平移个单位得到，C错误;
对D，当，，
根据正弦函数的图象与性质可知，在单调递减,故D正确.
故选：ABD.
例9．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）若函数在区间上有3个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】，
由函数在区间上有3个零点，可以转化为直线和函数在上有三个不同的交点，
因为，所以，
当时，即当时，函数单调递增，
函数值从增加到；
当时，即当时，函数单调递减，
函数值从减少到；
当时，即当时，函数单调递增，
函数值从增加到，
当时，即当时，函数单调递减，
函数值从减小到，
所以函数在上的函数图象如下图所示：
因此要想直线和函数在上有三个不同的交点，
只需，
故答案为：
例10．（2023·高三课时练习）函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是______.
【答案】
【解析】因为函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，
所以该函数的最小正周期为，
因为，所以，即，
因此，
故答案为：
例11．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的最大值及相应自变量x的值.
【解析】（1），
函数的最小正周期；
（2）当，即时，
函数取最大值，且最大值为2.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以有且，，
因为函数在上是增函数，
所以.
故选：A
2．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列说法正确的是（ ）．
A．为奇函数B．在上单调递减
C．在上的值域为D．点是图象的一个对称中心
【答案】D
【解析】由题知，
，所以A错误；
因为，，在上先增后减，所以B错误；
因为，，，所以C错误；
因为，所以点是图象的一个对称中心，所以D正确．
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）函数f（x）＝的定义域为（ ）
A． (k∈Z)B． (k∈Z)
C． (k∈Z)D． (k∈Z)
【答案】B
【解析】由题意，得，
，
所以，
解得，
所以函数的定义域为，
故选：B
4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数的最大值为（ ）
A．1B．3C．5D．
【答案】B
【解析】根据题意，
所以，故，
所以函数的最大值为3.
故选：B.
5．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知函数的两个相邻的对称中心的间距为，现的图象向左平移个单位后得到一个奇函数，则的一个可能取值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】D
【解析】由于函数的两条相邻的对称轴的间距为，该函数的最小正周期为π，即有，
则，将函数的图象向左平移个单位后，
得到函数，而函数为奇函数，
则，当时，，D正确，不存在整数k使得选项A，B，C成立.
故选：D
6．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）把函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再把图象向右平移2个单位长度,此时图象对应的函数为,则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【解析】解:由题知,函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍,
可得的图象,再把图象向右平移2个单位长度,
可得,
即的图象,故最小正周期,
,
则
,
.
故选:C
7．（2023秋·广东湛江·高二统考期末）已知，则的最小值与最小正周期分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【解析】，
故最小正周期为，最小值为.
故选：A.
8．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，
令，解得，
得函数的3个相邻的对称点分别为，
因为函数在内仅有一个零点，
所以，，
解得，，当时，，得.
故选：C.
9．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）将函数的图像分别向左､向右各平移个单位长度后，所得的两个图像的对称轴重合，则的最小值为（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】D
【解析】∵将函数的图像分别向左、向右各平移个单位长度后，
所得的两个函数图像的对称轴重合，故当最小时，
有 ，
解得：，
故选：D．
10．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）函数的图象关于直线对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于对称B．函数图象关于对称
C．在单调递减D．最小正周期为
【答案】B
【解析】关于对称，则，，
解得：，，又，故只有当时，满足要求，
所以，将的图象向左平移个单位长度得到.
令，则对称轴为，显然不满足，故A错误；
令，则，
所以对称中心为，显然时，，故B正确；
令，整理得，
所以单调递减区间为，当时，单调递减区间为，
显然，C不正确；
最小正周期，故D不正确.
故选：B.
11．（2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
【答案】C
【解析】选项A: 因为的定义域为R，
又，
所以是奇函数，故A错误；
选项B: 因为的定义域为R，
又,
所以是偶函数，故B错误；
选项C: 因为的定义域为R，
又，
所以是奇函数，故C正确；
选项D: 因为的定义域为R，
又，
所以是偶函数，故D错误.
故选：C.
12．（2023秋·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）下列函数：，，，，中，最小正周期是π有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】对于，令，，令，，
所以的最小正周期不是；
，其最小正周期为；
的最小正周期为，所以的最小正周期为；
的最小正周期为，所以的最小正周期为；
的最小正周期为；
综上所述，共1个，
故选：A
13．（2023秋·江西景德镇·高三统考阶段练习）若将函数的图像向右移后关于原点中心对称，则的可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由条件可知，函数关于点对称，
则，，得，，
当，，
故选：A
14．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设直线的倾斜角为，
则有，，
作出()的图象，如图所示：
由此可得.
故选：A.
15．（2023·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数B．最小正周期为
C．为图象的一个对称中心D．其图象由的图象右移个单位得到
【答案】C
【解析】A，由，则，
解得，定义域为，
定义域不关于原点对称，故A错误.
B，由解析式可得，故B错误；
C，由正切函数的中心对称点可得，
解得，当时，，故C正确；
D，的图象右移个单位得到，故D错误.
故选：C
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】观察函数图象得，函数的周期，则，
而，即，则有，
因此，即有，
所以.
故选：C
17．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数的图像向左平移个单位长度，
可得，
再向上平移4个单位长度，可得.
故选:A.
18．（2023秋·广东湛江·高一统考期末）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数的周期为，
图象向右平移个周期，即平移后，
所得图象对应的函数为，
即．
故选:D.
19．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【解析】由题有，
则，得，结合，得.
故选：B
20．（2023秋·天津河西·高一校考期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】因为，
所以为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左平移个单位.
故选：B.
21．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）为了得到函数的图像，只需将函数的图象（ ）
A．左移个单位长度B．左移个单位长度
C．右移个单位长度D．右移个单位长度
【答案】D
【解析】因为，
所以为了得到函数的图像，
只需将函数的图象右移个单位长度，
故选:D.
22．（2023秋·江苏扬州·高一校考期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】对于AC，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图像，
再将图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图像，故A错误，C正确；
对于BD，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像，后续平移变换必得不到的图像，故BD错误.
故选：C.
23．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递增
D．函数的图象向右平移个单位可得函数的图象
【答案】D
【解析】，，即，，故，
函数周期T，有，即，解得，而，
则，即，因此，
故.
对于A选项，令，，解得，，对称中心为，，当时，对称中心为，故A正确；
对于B选项，根据，，解得，，当时，，故B正确；
对于C选项，由，得的单调递增区间为，，又，，故C正确；
对于D选项，函数图象上所有的点向右平移个单位，得到函数，故D错误.
故选：D.
二、多选题
24．（2023春·湖南株洲·高一株洲二中校考开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（ ）.
A．函数的图像关于直线对称
B．函数的图像关于点对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数在上有3个零点
【答案】ABC
【解析】因为，
所以函数的图像关于直线对称，选项A正确；
因为，
所以函数的图像关于点对称，选项B正确；
当时，，
所以函数在区间上单调递减，选项C正确；
当时，，
因为函数在区间上只有2个零点，
所以函数在上只有2个零点，选项D错误，
故选：ABC
25．（2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）设函数，若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因为，
所以，又函数为偶函数，
所以，即，
所以的值可以是，.
故选：BC.
26．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）函数的最小正周期为,若为的零点,则（ ）
A．
B．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到
C．在内有4个极值点
D．函数在仅有1个零点
【答案】BC
【解析】解:由题知,,
所以,所以,
所以,因为,
所以,即,
因为为的零点,
所以,
即,
解得: ,
因为,所以,
故,
故,故选项A错误;
因为,
向右平移个单位后可得:
,
故选项B正确;
因为,
令,
则在的极值点有:
共4个,
即在内有4个极值点,
故选项C正确;
因为,,
令,
则在的零点,
即的根,即或共2个,
则在有2个零点,
故选项D错误.
故选:BC
27．（2023秋·河北沧州·高一统考期末）已知函数为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的最小正周期是
C．的图象关于点对称
D．在区间上是增函数
【答案】ABD
【解析】因为为偶函数，所以，
又，所以，即.
对于A，由，得.当时，，故的图象关于直线对称，正确；
对于B,的最小正周期是B正确；
对于C,图象的对称中心为C错误；
对于D，令，则，即是的一个单调增区间；由于在上单调递增，D正确.
故选:ABD.
28．（2023秋·山东·高一山东省实验中学校考期末）已知函数：①，②，③，④，其中周期为，且在上单调递增的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】AC
【解析】函数的周期为，且在上单调递增，故①正确；
函数不是周期函数，故②不正确；
函数的周期为，且在上单调递增，故③正确；
函数的周期为，故④不正确.
故选：AC.
29．（2023秋·重庆北碚·高一统考期末）若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．在上单调递减
C．不是函数图象的对称轴D．在上的最小值为
【答案】ACD
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数
的图象，
对A，的最小正周期为，故A正确；
对B，当 时， 时，故在上有增有减，故B错误；
对C，，故不是图象的一条对称轴，故C正确；
对D，当时，，且当，即时，取最小值为，故D正确．
故选：ACD.
30．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期
B．函数在上单调递增
C．函数在上的值域为
D．函数的图像关于直线对称
【答案】BD
【解析】因为，
作出函数的大致图象，
函数的最小正周期，故A错误；
由图象可知函数的增区间为，故函数在上单调递增，故B正确；
当时，，，故C错误；
因为，所以函数的图像关于直线对称，故D正确.
故选：BD.
31．（2023秋·湖南娄底·高三校联考期末）下列选项中，是函数的单调递增区间的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】令
可得
函数的单调递增区间为
令，函数的单调递增区间为，B正确；
令，函数的单调递增区间为，C正确，
故选：BC.
32．（2023秋·山西运城·高一康杰中学校考期末）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列描述中正确的是（ ）．
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的最小正周期为2
C．函数的单调增区间为，
D．函数的图象没有对称轴
【答案】ABD
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数，
然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数，
令解得，当时，
所以函数的图象关于点成中心对称，A正确；
函数的最小正周期为，B正确；
令解得，
所以函数的单调增区间为，，C错误；
正切函数不是轴对称图形，D正确，
故选:ABD.
33．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知函数，则下列命题中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的定义域为
C．图象的对称中心为，
D．的单调递增区间为，
【答案】ACD
【解析】由题知，函数，
所以的最小正周期为，故A正确；
的定义域满足，即
所以的定义域为，故B错误；
图象的对称中心应满足，即，
所以图象的对称中心为，，故C正确；
的单调递增区间应满足，即，,
所以的单调递增区间为，，故D正确；
故选：ACD
34．（江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试数学试题）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于点对称
D．在区间上单调递增
【答案】ACD
【解析】，，由于，
所以，所以A选项正确，B选项错误.
，
当时，得，所以关于对称，C选项正确，
，
当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确.
故选：ACD
三、填空题
35．（2023·高一课时练习）设函数，若，则______．
【答案】
【解析】，则，
，
故答案为：.
36．（2023秋·湖南娄底·高一校考期末）已知的部分图象如图所示，则__________．
【答案】
【解析】由图可得，解得．
又，解得．
因为的图象经过，
所以，解得．
故．
故答案为：.
37．（2023·高三课时练习）已知函数（，）的图像经过点和，则函数的图像的对称轴方程是______.
【答案】
【解析】因为该函数的图像经过点和，
所以有，或，
由，由
，
两式相减，得，因为，
所以令，得，
所以，因为，
所以令，得，即，
令，
所以对称轴为：，
故答案为：
38．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）记函数（）的最小正周期为，且的图象关于对称，当取最小值时，_______.
【答案】
【解析】由的图象关于对称，则，，
∴（），
又∵，
∴当，的最小值为4，
此时，，
∴.
故答案为：.
39．（2023·高一课时练习）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为函数在上是严格减函数，
所以，，，
.
故答案为：
40．（2023·高一课时练习）函数的单调增区间是______．
【答案】
【解析】由，
解得，
所以函数的单调增区间是.
故答案为：
41．（2023·高三课时练习）函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是______.
【答案】
【解析】因为函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，
所以该函数的最小正周期为，
因为，所以，即，
因此，
故答案为：
42．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期末）函数的周期为，则实数ω的值为 _____.
【答案】
【解析】依题意，，解得.
故答案为：.
43．（2023·全国·模拟预测）函数的图象的对称中心为_________
【答案】
【解析】令，，解得，所以对称中心为.
故答案为: .
44．（2023秋·河南郑州·高一校考期末）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是________．
①该函数的周期是16．
②该函数图象的一条对称轴是直线
③该函数的解析式是
④这一天的函数关系式也适用于第二天
【答案】①②
【解析】由图象可得：函数最小正周期，①正确；
故，
不妨令A>0，
且，解得：，
由图象可得：当时，函数取得最大值，故该函数图象的一条对称轴是直线，②正确；
不妨取，则，
将代入得：，
因为，
解得：，故③错误；
这一天的函数关系式只适用于当天，不一定适合第二天，④错误.
故答案为：①②
45．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图像向右平移个单位后是一个奇函数的图像，则正数的最小值为___________；
【答案】
【解析】，向右平移个单位后解析式为，
则要想使得为奇函数，只需，
解得：，
因为，所以，，解得：，，
当时，正数取得最小值，所以.
故答案为：
46．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的一个可能的值为___________；
【答案】（答案不唯一）
【解析】将函数的图像向右平移个单位长度后，
得到函数的图像，
即与函数的图像重合，
即，，
所以，，
故答案为：（答案不唯一）．
47．（2021秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）函数的部分图像如图所示，则=______．
【答案】1
【解析】根据函数图像，
，,解得
所以.
又，所以，
所以，所以，
又因为，
所以令，则，
所以，
所以.
故答案为：1.
四、解答题
48．（2023秋·河北沧州·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，求的值域.
【解析】（1）由，
所以函数的单调增区间是.
（2）由，可得.
从而，所以.
所以的值域为.
49．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期末）已知函数 ，是函数的一个零点.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间.
【解析】（1）因为是函数的一个零点，则，有，
即，而，于是得，
所以函数的解析式是.
（2）当时，，
则由或得：或，
所以函数在上的单调递增区间是，.
50．（2023·高三课时练习）如图，某地一天中6~14时的温度变化曲线近似满足（，，）.
(1)求出这段曲线的函数解析式；
(2)某行业在该地经营，当温度在区间之间时为最佳营业时间，那么该行业在6~14时，最佳营业时间有多少小时？
【解析】（1）由题图知，，，得，于是.
把，代入上式，得，所以这段曲线的函数解析式为，；
（2）由题意，得，即，解得，，进而得，.
因为，取，得，所以最佳营业时间有（小时）.
51．（2023·高一单元测试）已知函数．
(1)求的最小值及最小正周期；
(2)求使的x的取值范围．
【解析】（1）因为
，
当，Z时，即，Z时，，
此时取最小值，且最小是为，最小正周期.
（2）因为，所以，即，
所以，即，Z，
所以的x的取值范围，Z．
52．（2023秋·河南安阳·高一统考期末）如图所示，某游乐场的摩天轮最高点距离地面85 m，转轮的直径为80 m，摩天轮的一侧不远处有一排楼房（阴影部分）．摩天轮开启后转轮顺时针匀速转动，游客在座舱转到最低点时进入座舱，转动后距离地面的高度为，转一周需要40 min．
(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数的解析式；
(2)游客甲进入座舱后观赏周围风景，发现10：14时刚好可以看到楼房顶部，到10：42时水平视线刚好再次被楼房遮挡，求甲进入座舱的时刻并估计楼房的高度．
参考数据：
【解析】（1）根据题意设，其中，
因为摩天轮的最高点距离地面85 m，所以，
转轮的直径为80 m，即半径为40 m，所以，，
转一周需要40 min，即，所以，
因为时，，得，即，取．
所以，．
（其他等价的解析式同样给分）
（2）如图所示．
由条件知，甲从点A转到点C经过的时间为28 min，所以从A点转到最高点B需要的时间为14 min，又易知甲从最低点转到最高点需要的时间为20 min，故甲从最低点转到A点需要的时间为（min），所以甲进入座舱的时刻为10：08 ，
楼房的高度为，
根据参考数据可得，
所以，即估计楼房的高度为21 m．
53．（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）已知函数满足，其中，将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位，得到函数的图像.
(1)求；
(2)求函数的解析式；
(3)求在上的最值及相应的x值.
【解析】（1）函数，
又，
，，解得，
又，；
（2）由（1）知，函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数）的图像；
再将得到的图像向左平移个单位，得到的图像，
函数；
（3）当时，，，
由（2）知，
函数的大致图像如图：
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值.
54．（2023秋·山东聊城·高一校联考期末）已知函数．
(1)完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图；
(2)求不等式在全体实数上的解集．
【解析】（1）表格如下：
用五点法在直角坐标系中画出在上的简图如下
（2）由已知，
得
得，
即不等式在全体实数上的解集为
55．（2023·高一课时练习）写出下列不等式的解集．
(1);
(2)．
【解析】（1）解:由题知,
根据函数在上图象可知,
只需,
根据的最小正周期,
可得的解集为: ;
（2）根据函数在上图象可知,
只需,
根据的最小正周期,
可得的解集为:.
56．（2023秋·吉林松原·高一校考期末）已知函数.
(1)求的最小正周期和对称轴方程；
(2)若函数在存在零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）对于函数
，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的对称轴的方程为.
（2）因为函数在存在零点，
即方程在上有解，
当时，可得，可得，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
57．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围．
【解析】（1）
=
=
=
=
所以，最小正周期，
由，得
所以，对称中心为．
（2）因为，所以，
由正弦曲线可得．
58．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)试判断函数在区间上的单调性.
【解析】（1）由题意可知，，
，得，解得.
，即，，，
所以，故.
（2）令，解得，；
结合，得出在上递增，在上递减.在上
的图像
定义域
值域（有界性）
最小正周期
（周期性）
奇偶性（对称性）
奇函数
偶函数
单调增区间
单调减区间
对称轴方程
对称中心坐标
最大值及对应自变量值
时
时
最小值及对应自变量值
时
时
函数
正切函数
图像
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数，图像关于原点对称
单调性
在上是单调增函数
对称轴
无
对称中心
0
0