备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题41 数列通项

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专题41 数列通项
【知识点总结】
一、观察法
根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.
二、利用递推公式求通项公式
①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得
②叠乘法：形如 的解析式， 可用递推多式相乘求得
③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列
构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.
④利用与的关系求解
形如的关系，求其通项公式，可依据
，求出
【典型例题】
例1．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）数列的前项和为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为
所以，，
所以.
故选：A.
例2．（2023·全国·高三专题练习）数列的前4项为：，则它的一个通项公式是（  ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将可以写成，
所以的通项公式为；
故选:C
例3．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，则的通项公式为______．
【答案】
【解析】由题意可知数列中，，，
故，
所以
，
故答案为：
例4．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，则的通项公式为______．
【答案】
【解析】由题意知，故，
故
，
故答案为：
例5．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）在数列中，，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，，，……，，，
所以，
所以，
因为，所以符号该式，
故答案为：
例6．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列，则的通项公式为______．
【答案】
【解析】∵，∴，∴，
又∵是公差为的等差数列，
∴，∴，∴当时，，
∴，整理得：，，
∴，
显然对于也成立，∴的通项公式.
故答案为：.
例7．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知数列满足，若，则__________．
【答案】
【解析】法一：由，可得：，
由,可得:,
又，可得：.
法二：由题得，则等式两边同取倒数得，
则，，则数列为公差为2的等差数列，
则，当，则，则，
故答案为：.
例8．（2023·高三课时练习）在数列中，已知，，则的通项公式为______．
【答案】
【解析】由，
两边取倒数得，
即，
又因为，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，
故，
故答案为：
例9．（2023·全国·高三专题练习）若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.
【答案】
【解析】由，得.
令，则，且.
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
∴，∴.
故答案为：
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为.求数列的通项公式；
【解析】因为，显然，所以，
当时，由累乘法得，
则，又，所以，
所以当时，，时，也符合，
所以.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式.
【解析】因为①，
所以当时，可知，则，
当时，可知②，
①②得，即，
所以，
又满足，
所以数列的通项公式为.
例12．（2023·高三课时练习）（1）已知数列满足，求；
（2）已知数列的前n项和为，若，，且，求．
【解析】（1）设，
当n＝1时，；
当时，，得，而，
也满足此等式．所以．
（2）当n＝1时，，
即，
解得或，
因为，所以．
当时，，
整理得，
由，则，得，
于是数列是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以．
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为．求数列的通项公式；
【解析】由，当时，，解得，
当时，， ，
即， 可得，即，
因此数列为等比数列，公比为2，首项，可得，
所以数列的通项公式．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的通项为(    )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，则当时，，
将个式子相加可得，
因为，则，当时，符合题意，
所以.
故选：D.
2．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）数列，，，，的通项公式为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】数列，，，，，
所以第项为，所以通项公式为，故A、B、C错误，D正确.
故选：D
3．（2023秋·浙江台州·高二期末）已知数列中，，且是等差数列，则（    ）
A．36 B．37 C．38 D．39
【答案】A
【解析】因为，所以，
又是等差数列，故首项为3，公差为2，
所以，
所以．
故选：A.
4．（2023·全国·高二专题练习）数列中，，（为正整数），则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：A
5．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知数列满足，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，当时，，
当时，，
时，也适合此式，
∴，,
故选:B.
6．（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期末）等比数列的前n项和，则（    ）
A．-2 B． C．0 D．
【答案】C
【解析】，当时，，
当时，，故，
当时，，
从而，
由于是等比数列，故，解得，
故．
故选：C．
7．（2023春·江西宜春·高二江西省铜鼓中学校考阶段练习）数列的一个通项公式为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】奇数项为负，偶数项为正，可用来实现，
而各项分母可看作，
各项分子均为1，
∴该数列的通项公式为.
故选：D.
8．（2023秋·广东江门·高二统考期末）已知数列满足，，则该数列的第5项为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，，，，
故选：B
9．（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知数列的前项和，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】因为数列的前项和，
所以.
故选：B
10．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）已知，，则数列的通项公式是（　　）
A．n B． C．2n D．
【答案】C
【解析】由，得，
即，
则，，，…，，
由累乘法可得，因为，所以，
故选：C．
11．（2023秋·重庆大渡口·高二重庆市第三十七中学校校考期末）已知数列的前n项和，满足，则＝（　　）
A．72 B．96 C．108 D．126
【答案】B
【解析】当时，，解得：，
由题意可得，①
当时，，②
①﹣②得，，即，
故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以，
故.
故选：B.
12．（2023·全国·高二专题练习）记为数列的前n项和，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
当时，，
，
所以，数列是等比数列，
所以，
故选：A.
13．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
上述各式相乘得，
因为，所以，
经检验，满足，
所以.
故选：D.
二、多选题
14．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）设是数列的前n项和，且，，则（    ）
A．
B．数列是公差为的等差数列
C．数列的前5项和最大
D．
【答案】AC
【解析】，
，或(舍)，故选项A正确；
又，，，
数列是公差为的等差数列，故选项B错误；
由得，
，数列的前5项和最大，故选项C正确；
当时，，这与矛盾，
故选项D错误，
故选:AC.
15．（2023·全国·高二专题练习）已知数列和满足，，，．则下列结论不正确的是 （    ）
A．数列为等比数列
B．数列为等差数列
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对A，，
即，，
故数列为首项为1，公比为3的等比数列，A对；
对BC，，
即，即，
故数列为首项为，公比为2的等比数列，
故，故，
故数列不为等差数列，，BC错；
对D，由A得，又，两式相加得，
即，D错.
故选：BCD
16．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）设数列的前项和为，且，则（    ）
A．数列是等比数列 B．
C． D．的前项和为
【答案】ACD
【解析】由已知，当时，可得
选项A，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A正确；
选项B，由选项A可得解得，故B错误；
选项 C，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以 ，故C正确；
选项D，因为，故D正确.
故选：ACD.
17．（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（    ）
A．是递减数列 B．
C． D．当最小时，
【答案】BCD
【解析】，当时，；
当时，
注意到时也满足，
所以数列的通项公式为，，
，是递增数列，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项正确；
，，当最小时，，D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题
18．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，则的通项公式为______．
【答案】
【解析】由题意知，故，
故
，
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则的通项公式为______.
【答案】
【解析】由已知可得，且，，
当时，由得,
由于为数列的前项积，所以，，
所以，
又因为，所以，即，其中，
所以数列是以为首项，以为公差等差数列，
所以，，
当时，，
当时，，
显然对于不成立，
所以，
故答案为：
20．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）数列的前项和，则___________.
【答案】8
【解析】，
，

.
故答案为：8.
21．（2023春·河南焦作·高二温县第一高级中学校考阶段练习）已知数列的前n项和满足，且，则______.
【答案】
【解析】因为，
当时，，，解得．
当时，，与两式相减得，
即， 化简得：，
所以时，是以2为首项，为公比的等比数列，所以，
又不符合上式，故，
故答案为：
22．（2023秋·福建福州·高二校联考期末）数列中，，，则此数列的通项公式_________.
【答案】
【解析】因为，所以，又，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【解析】当时，解得，不满足，所以，同理，
由可得，当时，，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，，
所以.
故答案为：.
24．（2023·高二课时练习）数列，，，，…的一个通项公式是______．
【答案】
【解析】因为，
所以一个通项公式可以是，
故答案为：
四、解答题
25．（2023·湖南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)设数列满足，．求数列的通项公式．
【解析】（1）由，可得，
两式相减可得：，
化简可得，由正项数列知 ，
所以，
又，解得，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列，
故，由可得.
（2）由（1）知，
所以，
所以，，，，
由累加法可得，
，
所以.
26．（2023·安徽·统考一模）已知在递增数列中，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：.
【解析】（1）函数的零点为3，8，而数列递增，则，，
因此数列是以5为首项，2为公差的等差数列，则，
当时，
，而也满足上式，
所以数列的通项公式是.
（2）证明：由（1）得，
因此
，而，
所以.
27．（2023·全国·高二专题练习）已知满足，（是正整数），求．
【解析】因为，所以，则，
所以当时，则，，，
，，，，
将上述式子相加可得：
，
因为，所以，
又符合上式，
故数列的通项公式.
28．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，其前项和满足求数列的通项公式；
【解析】，时有，
则时有
可得，即，
所以，得，即，
经检验满足上式子，故
29．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知数列前n项和，满足．
(1)求出，；
(2)求数列的通项公式．
【解析】（1）因为，
令，可得，
令，可得，解得.
（2）因为，
则当时，，
且由（1）知，
所以
30．（2023春·湖南岳阳·高二校联考阶段练习）若数列的前项和为，且满足
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
【解析】（1）由已知可得
．
故，.
（2）由题得
当时, ，
上面两式相减得

整理得：，于是当时
相减得
由（1），此关系式对于也成立
所以．
31．（2023·河北邯郸·统考一模）设数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解析】（1）当时，，解得．
当时，，则，即，
从而是首项为1，公比为2的等比数列，所以，
且当时，也满足，
所以故．
（2）由（1）可得，则，
故

．
32．（2023·重庆·统考模拟预测）已知与都是正项数列，的前项和为，，且满足，等比数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求满足不等式的自然数n的最小值．
【解析】（1）∵，∴
两式相减得：
化简得：
∵为正项数列，且
∴，，
即为首项为1，公差为1的等差数列，
∴
又∵，，为等比数列，设其公比为，
∴，解得或，
而为正项数列，故，.
综上，数列，的通项公式分别为.
（2）记，的前项和分别为
由等差数列及等比数列的前项和公式可知

∴
易知，
作差可得：
即当时，单调递增，
当时，，当时，
∴的最小值为8.
故满足不等式的自然数的最小值为8.
33．（2023春·福建·高二福建师大附中校考开学考试）已知数列中，，前项和.
(1)求，，及的通项公式；
(2)证明：.
【解析】（1）对于，则有：
令，则，解得；
令，则，解得；
当时，则，整理得，
则；
注意到也满足上式，故.
（2）由（1）可得，
则，
∵当时，恒成立，故.
34．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌市一中校考开学考试）已知数列满足，数列满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【解析】（1）依题意，数列满足，则，
所以
，也符合上式，
所以.
数列满足，
当时，，，
当时，由，
得，
两式相减得，
，也符合上式，
所以.
（2）由（1）得，
所以
，
，
两式相减得
，
所以.
35．（2023·全国·高三专题练习）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)求，；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的通项公式．
【解析】（1）由，且，
当时，，得，
当时，，得；
（2）对于①，
当时，②，
①②得，
即，，
又，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由（2）得，
，
当时，，
又时，，不符合，
.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）当时，，解得.
当时，由，得，
两式相减得，即，
利用累乘可得，
即，因为，所以；
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知，裂项可得，
则.
所以数列的前项和
37．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知数列的前项和为，且满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式及.
【解析】（1）依题意，，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，所以，
所以
.
38．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）设数列的前n项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【解析】（1）因为，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
当时，，
两式相减得，即，
所以数列为常数列，且，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以.
39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足，数列满足.求数列的通项公式；
【解析】由 得 ，
作差得 ， 即 ，
即 ， 即 ，
所以数列 是以 为首项， 3 为公比的等比数列， ， 所以 .
数列 满足 ①，
当 时， ;
当 时， ②，
由①-②可得 ，
当 时，也符合上式， 故数列 的通项公式为 .
40．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知前n项和为，，，．求的通项公式及的表达式；
【解析】由题意，，在数列中，，
∴，
两式相减得：，
当时，满足题意；
当，，
∴，
，
，…，
，
累加得，，∴，
∵，符合上式，∴，
由通项公式可知的是以首项为，公差的等差数列.
∴
即：．
41．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答.
已知数列的前项和为，且，_____.求；
注:如果选捀多个条件解答，按第一个解答计分.
【解析】若选条件①：由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则；
若选条件②：当时，，
经检验：满足；；
若选条件③：当时，，
整理可得：，，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则.
42．（2023春·河北石家庄·高二校考开学考试）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为．
【解析】（1）由可得，而，
所以，所以为首项是，公比为的等比数列，
所以，
所以，
当时，，
当时，也满足上式，
所以；
（2），
已知为首项为1公差为1的等差数列，
所以.
五、双空题
43．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知数列满足，，设数列的前项和为，则数列的通项公式为______，______．
【答案】         
【解析】因为，且，所以，
则当时，
．
又当时，符合上式，
故．
由①
②
得．
令，③
∴，④
得
∴．
故，
则，即．
故答案为：，.
44．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，为等比数列，且，，则_______；则________.
【答案】         
【解析】当时，，当时，满足上式，
所以数列的通项公式为；
依题意，，，则的公比为，于是，
所以数列的通项公式为.
故答案为： ；