备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题01 集合

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专题01 集合
【考点预测】
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）．
（4）常见数集和数学符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号

或



说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．给定集合，可知，在该集合中，，不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
集合应满足．
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分．集合和是同一个集合．
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）．
（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．读作“真包含于 ”或“真包含 ”．
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
【方法技巧与总结】
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4），．

【题型归纳目录】
题型一：集合的表示：列举法、描述法
题型二：集合元素的三大特征
题型三：集合与集合之间的关系
题型四：集合的交、并、补运算
题型五：集合的创新定义
【典例例题】
题型一：集合的表示：列举法、描述法
例1．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）设集合，，集合，则中所有元素之和为（    ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
所以，中所有元素之和为7．
故选：C．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合中所含元素的个数为（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为，
所以中含6个元素．
故选：C．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，， ，则C中元素的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则集合中元素个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为，，所以或或或，
故，即集合中含有个元素；
故选：C
【方法技巧与总结】
1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然．
2、描述法，注意代表元素．
题型二：集合元素的三大特征
例4．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（    ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），此时，符合题意；
综上所述：．
故选：A．
例5．（2023·全国·高三专题练习）若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（    ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【解析】由题可知，集合中的元素是的三边长，
则，所以一定不是等腰三角形．
故选：D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若集合，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，即．
故选：B．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）由实数所组成的集合，最多可含有（    ）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意，当时所含元素最多，
此时分别可化为，，，
所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．
故选：B
【方法技巧与总结】
1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性．
2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系．
题型三：集合与集合之间的关系
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若，则实数的值为__________．
【答案】0
【解析】因为，所以（舍去）或，
所以．
故答案为：0
例8．（2023·全国·高三专题练习）设集合，则集合的子集个数为________
【答案】16
【解析】，
故A的子集个数为，
故答案为：16
例9．（2023·全国·高三专题练习）设集合，若，则的值为__________．
【答案】
【解析】由集合M知，，则且，因，，
于是得，解得，
所以的值为．
故答案为：
变式3．（2023·全国·高三专题练习）满足条件：Ü的集合M的个数为______．
【答案】7
【解析】由Ü可知，
M中的元素个数多于中的元素个数，不多于中的元素个数
因此M中的元素来自于b，c，d中，
即在b，c，d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，
故足条件：Ü的集合M的个数有7个，
故答案为：7．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1 【答案】（－∞，4]
【解析】①当时，满足，此时，解得．
②当时，由可得，解得．综上可得，所以实数m的取值范围为．答案：
【方法技巧与总结】
1、注意子集和真子集的联系与区别．
2、判断集合之间关系的两大技巧：
（1）定义法进行判断
（2）数形结合法进行判断
题型四：集合的交、并、补运算
例10．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以．
故选：B
例11．（2023春·广西·高三统考期末）已知集合，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，解得，故．
故选：C．
例12．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知，则 （    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意解，可得 ，
所以，
则，
故选：B．
变式5．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知全集，集合，，则如图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由韦恩图知，图中阴影部分的集合表示为，
因集合，，则，又全集，
所以．
故选：B
变式6．（2023·江苏·高三专题练习）设全集，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
因为，
所以
故选：B
变式7．（2023·广东·高三统考学业考试）已知全集，集合，则（　　）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】∵，集合，
∴或．
故选：C．
变式8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】在阴影部分区域内任取一个元素，则或，
故阴影部分所表示的集合为或 ．
故选：AD．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中___________；___________；___________．

【答案】              
【解析】由题意得：，解得：．
故答案为：；；．

【方法技巧与总结】
1、注意交集与并集之间的关系
2、全集和补集是不可分离的两个概念
题型五：集合的创新定义
例13．（2023·全国·高三专题练习）设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，，
∴．
故选：B．
例14．（2023·全国·高三专题练习）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为3，
故选：C．
例15．（2023·全国·高三专题练习）定义集合 且．已知集合，，，则中元素的个数为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为，，所以，
又因为，所以．
故选：B．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）若x∈A，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（    ）
A．1 B．3
C．7 D．31
【答案】B
【解析】根据题意可知：当，要想具有伙伴关系，则必满足，所以集合符合题意；
当，要想具有伙伴关系，则必满足，即，所以集合符合题意；
显然集合也符合题意，故一共三个集合具有伙伴关系．
故选：B
【方法技巧与总结】
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意．读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化．
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·广西桂林·统考一模）设集合，集合，则A∩B=（    ）
A．∪[2，+∞） B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，
∴．
故选：C．
2．（2023·四川广安·统考一模）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解可得，，所以，
所以.
故选：A.
3．（2023春·福建泉州·高三校考阶段练习）已知全集，集合和集合都是的非空子集，且满足，则下列集合中表示空集的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图表示集合如下：
，
由图可得，，，，
故选：D
4．（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得：，即，又，.
故选：C.
5．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）设集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，解得，则.又∵，
∴.
故选：C.
6．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知集合A={x|}，B={x|x²-5x<0}，则A∩B=（    ）
A．（1,0） B．（0,5） C．（0,1） D．（1,5）
【答案】D
【解析】
又.
故选：D
7．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易知，，所以．
故选：B
8．（2023·北京·高三专题练习）已知集合,则(    )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,解得,
,解得,
,
.
故选:C.
9．（2023·青海海东·统考一模）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解可得，所以.
所以.
故选：D.
10．（2023·全国·高三校联考阶段练习）设集合或，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】或，，．
故选：C
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知全集，集合满足Ü，则下列选项中正确的有（   ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为全集，集合满足Ü，
所以，，，.
故选：BD
12．（2023·全国·高三专题练习）下面说法中，正确的为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确；
表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误；
集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；
由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确．
故选：ACD．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A，B均为R的子集，若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】如图所示

根据图像可得,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误

故选：AD
14．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若，则的取值可以是（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】AB
【解析】因为，所以Ü，所以或；
故选：AB
15．（2023·全国·高三专题练习）下列关系式错误的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】A选项由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，A错误；
B选项根据子集的定义可知正确；
C选项由于符号用于集合与集合间，C错误；
D选项是整数集，所以正确.
故选：AC.
16．（2023·全国·高三专题练习）下列与集合表示同一个集合的有（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由解得,
所以，
所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合，
集合的元素是和两个数，的元素是和这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同,故BD错误.
故选：．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】∵
∴，
若是的真子集，则，故A错误；
由可得，故B正确；
由可得，故C错误，D正确.
故选：BD.
三、填空题
18．（2023·上海·高三专题练习）用列举法表示______．
【答案】
【解析】因为且，所以或或或，
解得或或或，
所以对应的分别为、、、，
即；
故答案为：
19．（2023·上海·高三专题练习）已知集合，，，{3，，5}，则________.
【答案】
【解析】因集合，所以.
故答案为：
20．（2023·上海·高三专题练习）已知集合，，则______．
【答案】
【解析】集合，，
．
故答案为：．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则___________.
【答案】
【解析】因为，，
所以或；
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是__.
【答案】
【解析】，且，
，解得，
故的取值范围是.
故答案为：.
23．（2023春·陕西·高三校联考阶段练习）某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有___________.
【答案】
【解析】设集合、、分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，

由图可知，高一年级参加比赛的同学人数为.
故答案为：.
24．（2023·全国·高三专题练习）集合满足Ü，则集合的个数有________个.
【答案】3
【解析】因为Ü，即Ü，所以，，，即集合的个数有3个.
故答案为：3.
25．（2023·全国·高三专题练习）若集合，且，则实数___________.
【答案】或.
【解析】由题意，集合，且，
若时，可得，此时集合，符合题意；
若时，可得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去；
若时，可得或（舍去），
当时，集合，符合题意，
综上可得，实数的值为或.
故答案为：或.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若，求实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】，
，或
当时，，满足
当时，要使得，则或
解得或
综上，实数a的取值范围是
故答案为：