备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题14 导数的概念与运算

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专题14 导数的概念与运算
【题型归纳目录】
题型一：导数的定义
题型二：求函数的导数
题型三：导数的几何意义
1、在点P处切线
2、过点P的切线
3、公切线
4、已知切线求参数问题
5、切线的条数问题
6、切线平行、垂直、重合问题
7、最值问题
【考点预测】
知识点一：导数的概念和几何性质
1、概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即．
2、几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3、物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数
导函数
（为常数）















2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
【方法技巧与总结】
1、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
【典例例题】
题型一：导数的定义
【方法技巧与总结】
对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图象可知，
即.
故选：D
例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数满足，则（    ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】因为，
，
，
所以，
故选：A
例3．（2023·全国·高三专题练习）设f(x)是可导函数，且，则（    ）
A．2 B． C．-1 D．-2
【答案】B
【解析】由题设，.
故选：B
变式1．（2023·全国·高三专题练习）一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，，则当时，该质点的瞬时速度为（    ）
A．米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒
【答案】B
【解析】，当时，，故当时，该质点的瞬时速度为3米/秒.
故选：B.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度为（    ）
A．18米/秒 B．13米/秒 C．9米/秒 D．米/秒
【答案】C
【解析】∵，
∴该物体在运动前2秒的平均速度为（米/秒）．
故选：C．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）设是可导函数，且，则（    ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】∵，
∴.
故选：B.
题型二：求函数的导数
【方法技巧与总结】
对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则实数a的值为(    )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
，
，
．
故选：D．
例5．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）因为所以
例6．（2023·全国·高三专题练习）下列函数的导函数
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）因为，所以.
变式4．（2023·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【解析】（1）因为，则；
（2）因为，则；
（3）因为，则；
（4）因为，则
；
（5）因为，故.
题型三：导数的几何意义
【方法技巧与总结】
函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知在点处的切线方程为.（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.
1、在点P处切线
例7．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.因为，，所以所求切线方程为，即.
故选：B
例8．（2023·陕西安康·统考一模）函数的图象在点处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，则，而，故函数在处的切线方程为，则.
故选：C
例9．（2023秋·甘肃武威·高三统考阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以曲线在处的切线的斜率为，
又因为当时，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：A.
2、过点P的切线
变式5．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】设切点为，
则，
所以，
所以切线方程为，
因为切线过点（1，3），
所以，即，
即，
解得或，
所以切线方程为或，
故选：AB
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线l的方程为__________.
【答案】
【解析】设切点坐标为，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为
又直线l过点，
所以，
整理得，解得，
所以，
直线l的斜率，
所以直线l的方程为，
故答案为：.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）= x3－3x，则过点（1，－2）的切线方程为__________．
【答案】和
【解析】由函数，则，
当点为切点时，则，即切线的斜率，
所以切线的方程为，
当点不是切点时，设切点，则，
即，
解得或（舍去），所以
所以切线的方程为，即．
故答案为：和．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为___________.
【答案】3或
【解析】因为，所以，，
当为切点时，，
当不为切点时，设切点为，，
所以，
所以切线方程为：，
过点，所以
即，即，解得或（舍），
所以切点为，所以，
综上所述：直线l的斜率为3或，
故答案为：3或
变式9．（2023·全国·高三专题练习）过点与曲线相切的直线方程为______________.
【答案】.
【解析】设切点坐标为，
由得，
切线方程为，
切线过点，
，即，
，
即所求切线方程为.
故答案为：.
3、公切线
变式10．（2023秋·广东韶关·高三校考阶段练习）已知函数在点处的切线为l，若l与函数相切，切点为，则__________．
【答案】9
【解析】由题意得，则，切线方程为，即，
则，则，.
故答案为：9.
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若直线函数，的图象均相切，则的值为________.
【答案】
【解析】设直线与函数的图像相切的切点为，
由可得，即切点为，
则，所以切线方程为；
联立，可得，
由题意可得，解得.
故答案为：
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数），直线 与函数 的图像都相切，且 与函数的图像的切点的横坐标为1，则的值为_______.
【答案】
【解析】因为所以再由判别式为零得
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（    ）
A．0 B． C．3 D．或3
【答案】D
【解析】因为，
所以，
则，
所以
所以函数在处的切线方程为，
由得，
由，解得或，
故选：D
变式14．（2023·全国·高三专题练习）若直线与函数，的图象分别相切于点，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，
得，，
则，，即．
曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为，所以，可得，整理得，
故选：B.
4、已知切线求参数问题
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线方程为，则_______.
【答案】
【解析】函数的导数为，
所以，即函数在点处的切线斜率为，
由切线方程为，可得，解得，，
由切点，可得，解得，
则，
故答案为：．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与曲线相切，则___________.
【答案】
【解析】由，所以
设切点为，则，，
消去得，
∵函数在上单调递增，且，∴，此时.
故答案为：
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知直线是曲线的一条切线，则b＝___．
【答案】2
【解析】函数的定义域为，
，
令，则，
所以切点为，
代入，得，
所以.
故答案为：2.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线方程为，则（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】，，
∴，∴．将代入得，∴．
故选：C．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线方程为，则（    ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由，则，所以
解得：，，所以
.故选：D.
变式20．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）若函数的图象在点处的切线方程为，则（    ）
A．1 B．0 C．－1 D．e
【答案】B
【解析】因为，所以，故
又，所以．
故选：B
变式21．（2023秋·贵州遵义·高三统考阶段练习）若函数在处切线方程为，则实数（    ）
A． B． C．2 D．0
【答案】B
【解析】，则，解得：，
所以，，
所以切点坐标为，将其代入中，
故，解得：.
故选：B
变式22．（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）函数在处的切线与直线平行，则实数（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】函数的导函数为 ，
函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，
且切线与直线平行，
则有 ，可得 .
故选：B
5、切线的条数问题
变式23．（2023·全国·高三专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
变式24．（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函数的图象，由图象可知点在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，
所以，
故选：B．

变式25．（2023·全国·高三专题练习）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（    ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【解析】设切点为，由，所以，所以，
所以切线方程为，即，因为切线过点，
所以，
解得或，
所以过点作曲线的切线可以作2条，
故选：C
6、切线平行、垂直、重合问题
变式26．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，

，
设，则，即……①
又，即
……②
由①②可得，
.
故选：B.
变式27．（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）函数在处的切线与直线平行，则实数（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】函数的导函数为 ，
函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，
且切线与直线平行，
则有 ，可得 .
故选：B
变式28．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设切点为，，
切线与直线垂直，
切线的斜率为，
又，所以，，解得，
，即切点，
由点斜式可得，切线方程为：，即．
故选：．
变式29．（2023秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习）已知曲线y＝存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数：_______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】两条切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等，
例如，，，，
此时，，
函数在处的切线方程为：；
函数在处的切线方程为：；合乎题意，
故答案为：（答案不唯一）
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.
【答案】
【解析】因为函数，
所以，
又因为曲线在处的切线与直线平行，
所以，
解得，
故答案为：
7、最值问题
变式31．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是曲线上任意的一点，则点P到直线的距离的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，即，
所以，
故选：D．
变式32．（2023·全国·高三专题练习）若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为_______
【答案】
【解析】设与直线平行且与曲线相切于点时，
此时两点距离的最小值为点到直线的距离，

因为，所以，即得，
，所以点到直线的距离为，
所以两点距离的最小值为．
故答案为：
变式33．（2023·全国·高三专题练习）若点P是曲线上一动点，则点P到直线的最小距离为________.
【答案】
【解析】设，，
设直线与曲线相切，切点为，且直线与直线平行，
则有，得，，即
如图所示：

此时到直线的距离最小，.
故答案为：
【过关测试】
一、单选题
1．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，所以，又，
所以切线方程为，即．
故选：A．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像在点处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对函数求导，得，
所以，即函数的图像在点处的切线斜率为2，
所以函数的图像在点处的切线方程为，即.
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）在曲线的所有切线中，与直线平行的共有（    ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】由，
令，得或，
当时，曲线在点处的切线与直线重合，
故在曲线的所有切线中，与直线平行的共有3条．
故选:C.
4．（2023·全国·高三专题练习）函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数存在与直线平行的切线，即在上有解，
而，所以，因为，所以，所以．
所以的取值范围是．
当直线就是的切线时，设切点坐标，
可得，解得．
所以实数的取值范围是：．
故选：B．
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线斜率为（    ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【解析】因为为奇函数，
所以，
所以，
所以，
所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为1．
故选：C．
6．（2023·全国·高三专题练习）曲线在处的切线方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，则，
当时，，，
所以切线方程为，即．
故选：D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是曲线上任意的一点，则点P到直线的距离的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，即，
所以，
故选：D．
8．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，
所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，
所以a的取值范围是．
故选：D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，是可导函数，直线 l：是曲线在处的切线，令，其中是的导函数，则(    )

A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由图可知，f(3)＝1，故A正确；
(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B错误；
，则，故C正确；
，，故D正确.
故选：ACD.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（   ）
A．曲线的切线斜率可以是1
B．曲线的切线斜率可以是
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
【答案】AC
【解析】因为函数，所以
A.令，得 ，所以曲线的切线斜率可以是1，故正确；
B.令无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故错误；
C. 因为在曲线上，所以点是切点，则，
所以切线方程为，即，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故正确；
D.设切点，则切线方程为，因为点在切线上，所以，解得，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故错误；
故选：AC
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含（   ）
A．             B．             C．             D．
【答案】CD
【解析】，，
依题意：，，
∵倾斜角的取值范围是，∴，
故选：CD.
12．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）过点的直线与函数的图象相切于点，则的值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为，所以，
由题意得直线的斜率，
即，解得或
故选:AD.
三、填空题
13．（2023·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程是______．
【答案】
【解析】 ，
，则，
又，切点为，
函数的图象在点处的切线方程是 即.
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）若直线是曲线的一条切线，则实数__________.
【答案】
【解析】因为，所以，令，得，
所以切点为，代入，得.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象在处切线的倾斜角为______．
【答案】
【解析】由求导得：，则，
所以函数的图象在处切线斜率为-1，倾斜角为.
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数（且）的图象过定点，若曲线在处的切线经过点，则实数的值为______．
【答案】
【解析】函数（且）的图象恒过点，
因为，
则在处的切线的斜率为，又，
所以切线方程为，因为切线经过点，
所以，解得．
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在平行于轴的切线，则实数取值范围是______.
【答案】
【解析】函数定义域为，导函数为，
使得存在垂直于轴的切线，即有正解，可得有解，
因为，所以，当且仅当“，即”时等号成立，
所以实数的取值范围是
故答案为：
四、解答题
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的导数；
(2)求曲线在处切线的方程.
【解析】（1）函数定义域为，．
（2）由（1）知，，而，于是得函数的图象在点处的切线方程是，即．
19．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数
（1）；
（2）
（3）；
（4）
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；
【解析】（1）两函数和的导数分别为：
和，
由题意，
解得；
（2）由（1）知公切线方程为，
即，
令得，令得，
所以所求面积为；
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在点处切线的倾斜角为，求的值；
【解析】由，
得，
因为在点处切线的倾斜角为，
所以，
即，
解得.
22．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若直线与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点，求的值；
【解析】，
则切线：.
因为与图象相切，所以，
即有唯一解.
当时，方程无解；
当时，由，解得
综上：