数学选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程教学设计

《椭圆及其标准方程（2）》教案

1．由椭圆定义，学会推导椭圆的标准方程．

2．进一步理解坐标法，感悟数形结合思想，发展数学抽象、直观想象、数学运算等素养．

重点：椭圆的定义和标准方程．

难点：椭圆的标准方程的推导．

一、新课导入

上节课，我们学习了椭圆的定义：平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的集合（或轨迹）叫作椭圆，那么椭圆的方程是怎样的呢？

二、新知探究

问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式简单？

答案：观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴．

我们以经过椭圆两焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，

设椭圆的焦距||(c>0)，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为．则焦点的坐标分别为．

设是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知点满足

||＋||a．

因为||=，||=，所以

＋=2a，

即

两边平方、整理，得

上式两边再平方、整理，得((

即,令,

将 代入上式，得①

这说明椭圆上任意一点的坐标都满足方程①．我们还可以证明，以方程①的每一组解为坐标的点都在椭圆上．

总结概括：椭圆上任意一点的坐标都是方程的解；以方程的解为坐标的点都在椭圆上．我们将方程

叫作椭圆的标准方程，它的焦点在x轴上，两个焦点分别是，，其中．

追问:椭圆方程中的具有怎样的几何意义?

答案:如图，椭圆与直线相交于点，与线段的垂直平分线相交于点，根据椭圆的定义和椭圆的对称性，得+，且=所以=．

于是有．

问题2 当椭圆的焦点在y轴上时，它的方程是什么样的？请总结椭圆的标准方程．

答案：如果椭圆的焦点在y轴上，如图，其焦点分别为，，用同样的方法也可推出它的标准方程为

其中．

椭圆的标准方程及其图象：

注意:(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a．

(2)椭圆的标准方程中,项和项谁的分母大,焦点就在谁的轴上．

三、应用举例

例1 已知椭圆的两个焦点分别为，，并且经过点．求椭圆的标准方程．

解法1 因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为

．

根据椭圆的定义知

＋

从而．

又，所以．

所以椭圆的标准方程为

其图形如右图．

解法2因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为

．

因为点在椭圆上，又，所以

解或(舍)，

则．

所以椭圆的标准方程为

．

总结：确定椭圆的标准方程，需要定位和定量：

(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．

（2）“定量”是指确定，的具体数值，常根据条件列方程（组）求解．

例2求证:点M(0)在椭圆上．

证明  将点M的坐标代入，得

所以点M(0)在椭圆上．

四、课堂练习

1．求下列椭圆的焦点坐标:（1）；（2）；（3）．

2．判断下列各点是否在椭圆上，并画出椭圆和点:

(1)A()；(2)B(4，2)；(3) C(1，1)．

3．计算第2题中的不在椭圆上的点到两个焦点的距离之和，并比较这个和与之间的大小关系，探索点在椭圆内、外与这个数量大小关系有何联系．

4．椭圆上一点P到该椭圆的一个焦点的距离为6，则点Р到另一个焦点的距离为  ．

5．写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)焦点在x轴上，焦距为2．椭圆上的点到两焦点的距离之和为4；

(2)经过点M(3，0)，N(0，2)；

(3)经过点(1，2)，焦点坐标分别为(0，)，(0，) ；

(4)经过点(2，1)，焦距为．

参考答案：1．（1）根据椭圆的标准方程知：椭圆的焦点在x轴上，100，64，6，所以椭圆的焦点坐标为，．

（2）根据椭圆的标准方程知：椭圆的焦点在y轴上，16，9，，所以椭圆的焦点坐标为，．

（3）先将方程化为椭圆的标准方程：，则椭圆的焦点在y轴上，2，1，，所以椭圆的焦点坐标为，．

2．判断点是否在椭圆上只需看点坐标是否满足椭圆方程．

（1）将A点坐标代入椭圆方程，，A点在椭圆上；

（2）将B点坐标代入椭圆方程，，B点不在椭圆上；

（3）将C点坐标代入椭圆方程，，C点不在椭圆上．

图象如右图．

3．B点：||＋||a，

C点||＋||a．

可以发现：到两焦点距离之和大于2a的点在椭圆外﹔到两焦点距离之和小于2a的点在椭圆内．

4．由题意得，根据定义，椭圆上的点到椭圆两个焦点之和为a=10，所以点P到另一个焦点的距离为10-6=4．

5．(1)依题意，22，4，则，椭圆方程为．

(2)依题意，，，椭圆方程为．

(3)依题意，，设椭圆方程为，代入点(1，2)，，解得，椭圆方程为

(4)依题意，2，椭圆方程有两种可能，设椭圆方程为或，

代入点(2，1)，，解得，，椭圆方程为

或者，解得，，椭圆方程为

五、课堂小结

椭圆的标准方程：

六、布置作业

教材第55页习题2-1A 组第2-3题．