北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 双曲线的简单几何性质教案

《双曲线的简单几何性质（2）》教案

1.掌握求双曲线离心率的方法；

2.会解决与渐近线有关的问题；

3.进一步熟悉求双曲线标准方程的方法．

教学重点：

双曲线几何性质，渐近线和离心率的求解．

教学难点：

双曲线的渐近线及离心率相关问题．

一、新课导入

我们学习了双曲线的部分几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的关键，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步学习双曲线的标准方程及其几何性质，并运用它们解决有关双曲线的简单问题．

二、新知探究

问题1：类比椭圆，给出双曲线离心率的定义，并比较双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同？

答案：我们把叫作双曲线的离心率，用表示．因为，所以双曲线的离心率．

追问：椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，那双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征呢？双曲线的离心率表达式还有其他形式吗？

答案：尝试作离心率不同的双曲线的图象，通过图象可以发现，双曲线的离心率越大双曲线开口就越开阔．

由等式，我们还可以记离心率e＝＝．因此也有，双曲线的开口就越开阔．

设计意图：让学生从图形中直接感受离心率对双曲线的影响，也可利用GeoGebra进行动态展示．

问题2：探究双曲线和直线的位置关系．

答案：取双曲线上的一点，当点P在第一象限时，，当时，且无限逼近于1，无限逼近于．

我们形象地称直线为双曲线的渐近线，根据双曲线的对称性可知，也是双曲线的渐近线．

追问：你能将类比上面的方法，找到双曲线的渐近线吗？

答案：一般地，对于双曲线，当双曲线上的点P在第一象限时，有，当时，且无限逼近于1，所以点在直线的下方，且无限逼近于，即当时，点P无限逼近于直线．

根据双曲线的对称性可知，双曲线的两支向外无限延伸时与直线和无限逼近．

定义：一般地，直线和称为双曲线的渐近线．

总结：①直线叫做双曲线的渐近线．

②画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线．

③时，双曲线为等轴双曲线．

设计意图：通过具体事例让学生理解“渐进”的含义，更直接、更容易被学生接受，再结合推广到双曲线上的点越来越接近于直线，反映“渐近”的特征．

问题３：你能发现双曲线的渐近线方程与双曲线方程之间的联系吗？尝试写出与－＝1(a>0，b>0)有相同渐近线的双曲线的方程．

答案：把－＝1(a>0，b>0)的右边1换为0，即得到渐近线方程－＝0，即y＝±x，与－＝1(a>0，b>0)同渐近线的双曲线的方程均可写成－＝λ(λ≠0)．

追问：等轴双曲线与共轭双曲线各有什么样的特征？

    答案：(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－＝1或－＝1(a＞0)；等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝．

(2)以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：有相同的渐近线；有相同的焦距；离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1．

【概念辨析】

思考辨析，判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(    )

所有等轴双曲线的渐近线方程是固定的，都是y＝±x．故错误．

(2)共渐近线的双曲线的离心率相同．(　　)

共轭双曲线有相同的渐近线，但是离心率不同．故错误．

(3)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　　)

的渐近线方程为y＝±x， 的渐近线方程为y＝±x ．故错误．

(4)双曲线－＝1的渐近线方程是3x±2y＝0．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

三、应用举例

例1  求双曲线9x2-16y2＝-144的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标，以及渐近线方程，并画出该双曲线．

解：将9x2-16y2＝-144化为标准方程＝1，

所以实轴长2a＝6，虚轴长2b＝8，焦点坐标为(0，)，(0，)，顶点坐标为(0，)，(0，)，渐近线方程为y＝x．

作图：首先画出，作出矩形；然后做出矩形的对角线，得到渐近线y＝x；

最后以渐近线为参照画出双曲线．

例2  求适合下列条件的双曲线的标准方程．

（1）顶点在轴上，虚轴长为12，离心率为；

（2）顶点间距离为6，渐近线方程为.

解：（1）设双曲线的标准方程为．

由题意知，且．

∴

∴所求双曲线方程为．

（2）当焦点在轴上时，由且，∴．

∴所求双曲线方程为

当焦点在轴上时，由且，∴．

∴所求双曲线方程为．

方法总结：首先观察条件能否确定焦点位置，再采用待定系数法设出所求双曲线的标准方程，在由条件求出即可．

设计意图:考查学生对双曲线的焦点、离心率、标准方程及之间关系的掌握情况，以及思维的灵活性与全面性．

例3  (1)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x   B．y＝±2x

C．y＝±x   D．y＝±x

(2)若双曲线－＝1的渐近线方程l为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线l的距离为(　　)

A．2   B． 

C．2   D．

答案　(1)C　(2)D

解析　(1)由题意得b＝1，c＝，所以a＝＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．

(2)该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故m＝5，所以c＝＝，所以F到l的距离为＝．

方法总结：求渐近线方程的两种方法

(1)当已知标准方程的焦点所在坐标轴时，用公式法y＝±x(焦点在x轴)或y＝±x(焦点在y轴)求解．

(2)把双曲线标准方程右端的“1”换为“0”即得渐近线方程．

四、课堂练习

1．已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　　)

A．    B．4

C．2    D．

2．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是(　　)

A．x2－＝1   B．－y2＝1

C．－x2＝1   D．y2－＝1

3．设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e＝____________．

4．焦点为(0，6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________________．

参考答案：

１.解析：由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴ c2＝a2＋1．∴ 5＝e2＝＝＝1＋．结合a>0，解得a＝．故选D．

２. 解析：从选项知，焦点在y轴上的双曲线有－x2＝1与y2－＝1，而－x2＝1的渐近线方程是y＝±2x，y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，可知D项正确．

３. 解析：当焦点在x轴上时，＝，

所以e2＝1＋＝1＋＝，

所以e＝；

当焦点在y轴上时，＝，

所以e2＝1＋＝1＋4＝5，

所以e＝．

４. 解析：由－y2＝1，

得双曲线的渐近线方程为y＝±x．

设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ<0)，

所以－＝1．所以－λ－2λ＝36，即λ＝－12．

故双曲线方程为－＝1．

五、课堂小结

1．知识点：

(1)离心率；(2)渐近线；(3)求双曲线方程．

2．思想方法：

待定系数法．

3．易错点：

设双曲线方程未考虑到参数的取值范围而致错．

六、布置作业

教材第65页练习题．