高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 直线的方程教学设计

《直线的方程（第二课时）》教案

1.掌握直线方程的两点式、截距式的形式特点和适用范围；

2.能正确利用直线的两点式、截距式公式求直线方程；

3.通过对两点式、截距式方程的学习培养数学抽象的核心素养；

4.通过对方程形式美的发现,培养学生感受数学美和求简的数学精神．

教学重点：利用直线的两点式、截距式公式求直线方程.

教学难点：结合具体实例，明确直线的方程和方程的直线的概念.

一、新课导入

情境：我们知道,两点可以确定一条直线,因此,直线上其他的任意一点的位置都可以由已知两点确定,即直线上任意其他点的坐标和已知两点的坐标都存在着恒定的数量关系.如图1-14,已知直线上的两点 ,(其中 ),对于直线l上其他的任意一点 三点坐标间的数量关系是怎样的呢?

二、新知探究

由直线斜率的概念,可知对于倾斜角不为的直线,直线上任意两点算出的斜率是一个恒定的常数,因此即

定义概念

已知直线 ,(其中 )方程:

称为直线方程的两点式.

问题1：任意给出一条直线上的两点,都可以写出这条直线的两点式方程？

答：不是,与坐标轴平行的直线没有两点式方程.

问题2：若点中有或,此时过这两点的直线    方程是什么？

答：当时方程为:;当时方程为:

问题3：若点中有 ,求经过AB两点的直线点斜式方程?与两点式有何联系?

答：由两点斜率公式可得,故点斜式为在 前提下，两点式方程是点斜式方程的一种变式表达.

 问题4：若点，经过AB两点的直线方程都可以表示为吗?

答：可以.

三、应用举例

例1 已知直线l过和,求直线l的方程.

分析：已知直线上两点的坐标,可以运用直线方程两点式求解，也可以求出斜率再用直线方程的点斜式，也可以用待定系数法求直线方程.

解: (法一)由直线方程两点式可知,

直线l的方程为

化简可得.

（(方法二)直线AB的斜率为

,

由直线方程的点斜式可知,

直线l的方程为,

化简可得.

(方法三)设直线l的方程为,

由于直线过点和,

即，解得,

直线l为.

归纳总结：利用两点式求直线方程的步骤：

(1)确定直线要经过的两个点;

(2)由两点式直接写出直线方程.

注意:两点式使用的前提条件是直线不平行x轴或y轴.

已知直线上两点和,由直线方程两点式得,整理,得 .

定义概念

已知直线方程:称为直线方程的截距式.其中为直线在轴上的截距,为直线在轴上的截距.

问题5：直线方程的截距式适合什么样的直线？                   

答：直线不能平行于x轴和y轴，也不能过原点.

例2 已知ABC 的三个顶点,求边、边所在直线的方程，以及边上的中线AM所在直线的方程.

分析：已知直线上两点的坐标,可以运用直线方程两点式求解，如果两点是坐标轴截距，可以用直线方程的截距式.

解: 解:边所在直线的方程:

过的两点式方程为 ,

整理得.

边所在直线的方程:

过 的截距式方程为，

整理得 .

解：边上中线AM所在直线的方程：

边上的中线是顶点与边中点所连线段，由中点坐标公式,可得点的坐标为,过 两点的直线方程为

        ,

整理可得:

归纳总结：利用截距式求直线方程的步骤：

(1)确定直线在x轴和y轴的截距;

(2)由截距式直接写出直线方程.

注意:截距式使用的前提条件是直线不平行轴或轴，不过坐标原点.

设计意图：从学生的认知出发，通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出直线方程的两点式和截距式，发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

四、课堂练习

1. 求经过下列两点的直线的方程：

(1);    (2)   (3)

2．已知的三个顶点分别为

(1)求的三边所在直线方程；

(2)求的三条中线所在直线方程.

3. 求过点(3,-2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

参考答案：

1. 解：(1)

(2)

(3)

2. 解： (1)直线的方程为 ；

直线的方程为；

直线的方程为.

:(2)由AB 中点为,可得AB边上的中线所在直线方程为x+20y-35=0;

由AC中点为(1,3)，可得AC边上的中线所在直线方程为2x+y-5=0.

由BC中点为,可得BC边上的中线所在直线方程为7x-16y+15=0;

3. 解 设直线l在两坐标轴上的截距均为a，

①若,则直线l过原点,满足题设条件,此时l的方程为2x+3y=0;

②若,则直线l的方程可设为 .因为直线l过点(3,-2),所以即a=1,所以直线方程为x+y=1,即x+y-1=0.

综上所述,直线l的方程为2x+3y=0或x+y-1=0.

五、课堂小结

直线方程：已知直线方向和一个点

六、布置作业

教材第13页练习3.