2021北京一零一中学高一（上）期末数学（教师版）

2021北京一零一中学高一（上）期末

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则　　

A． B． C． D．

2．可化简为　　

A． B． C． D．

3．向量“，不共线”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．函数，，的值域为　　

A． B． C． D．

5．已知偶函数在上单调递减，若（1），（2），，则，，的大小关系为　　)

A． B． C． D．

6．甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得到根为，；乙写错了常数，得到根为，．那么原方程的根正确的是　　

A． B． C．或 D．或

7．已知，，，那么的值为　　

A．2 B． C． D．

8．如图是函数的图象，是图象上任意一点，过点作轴的平行线，交其图象于另一点，可重合）．设线段的长为，则函数的图象是　　

A． B． 

C． D．

9．已知，则的取值可以为　　

A． B． C． D．

10．如图，一个摩天轮的半径为，轮子的最低处距离地面．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于的时间大约是　　

A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

11．（5分）已知向量，，且，则实数　　．

12．（5分）若角与角的终边关于直线对称，则角的终边上的所有角的集合可以写为　　

13．（5分）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为　　

14．（5分）在如图所示的方格纸中，向量，，的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与，为非零实数）共线，则的值为　　．

15．（5分）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为为浓度单位，表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度与排气时间（分钟）之间存在函数关系为常数）．求得　　；若空气中一氧化碳浓度不高于为正常，那么至少需要排气　　分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．

16．（5分）已知，点是平面上任意一点，且，给出以下命题：

①若，，则为的内心；

②若，则直线经过的重心；

③若，且，则点在线段上；

④若，则点在外；

⑤若，则点在内．

其中真命题为　　．

三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．已知函数．

（1）求函数的值域：

（2）若函数的图象与函数的图象有交点，请直接写出实数的取值范围．

18．已知关于的方程的两根为和，．

（1）求实数的值；

（2）求的值．

19．已知函数，．

（1）①直接写出函数的奇偶性；

②写出函数的单调递增区间，并用定义证明；

（2）计算：　　；（4）（2）（2）　　；（9）（3）（3）　　；

（3）由（2）中的各式概括出和对所有不等于0的实数都成立的一个等式，并加以证明．

20．设是由个实数构成的一个有序数组，记作，，，，，．其中，2，，称为数组的“元”， 称为数组的“元” 的下标，如果数组，，，，中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的“子数组”．定义两个数组，，，，，，，的“关系数”为．

（1）若，，，，，且中的任意两个“元”互不相等，的含有两个“元”的不同“子数组”共有个，分别记为，，，．

①　　；

②若，，2，3，，记，求的最大值与最小值；

（2）若，，，，，且，为的含有三个“元”的“子数组”，求的最大值．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．【分析】可求出函数和的定义域，从而得出集合，，然后进行交集的运算即可．

【解答】解：根据题意得，，，

．

故选：．

【点评】本题考查了函数定义域及其求法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．【分析】直接利用诱导公式化简即可．

【解答】解：

．

故选：．

【点评】本题主要考查了诱导公式，属于基础题．

3．【分析】根据向量三角形的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：当向量“，不共线”时，由向量三角形性质得“”成立，即充分性成立，

反之当向量“，方向相反时，满足“”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，

即向量“，不共线”是“”的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量三角形的性质是解决本题的关键，是基础题、

4．【分析】利用诱导公式将函数化简，再由余弦函数的性质即可求值域．

【解答】解：，

因为，，

所以，，

即函数的值域为，．

故选：．

【点评】本题主要考查诱导公式、三角函数的最值，属于基础题．

5．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．

【解答】解：因为偶函数在上单调递减，

所以在上单调递增，

因为（1），（2），，

又，

则．

故选：．

【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质比较函数值的大小，属于基础题．

6．【分析】先将原方程进行变形得到，然后利用甲和乙写错后得到的根求出和，再求解对数方程即可．

【解答】解：原方程可变形为：，

因为甲写错了常数，得到根为，，

所以，

又因为乙写错了常数，得到根为，，

所以，

所以原方程为，

解得或3，

所以或8．

故选：．

【点评】本题考查了对数方程的求解，涉及了对数的运算性质和运算法则的运用，解题的关键是分别利用甲和乙先求出和．

7．【分析】利用同角三角函数间的基本关系即可求解．

【解答】解：因为，

可得，，

因为，，

所以，，可得．

故选：．

【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，属于基础题．

8．【分析】根据线段的长和之间的关系，通过取特殊点及某一段上的的值，得出相应的函数值，从而判断出正确选项即可．

【解答】解：当时，，两点重合，此时，故排除，；

当时，是关于的一次函数，其图象是一条线段，

故选：．

【点评】考查导函数的图象与图象变化，以及识图能力，体现了数形结合的思想，属基础题．

9．【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的值的应用求出结果．

【解答】解：因为，

所以，

整理得，

所以，

①当时，，则

②当时，，则

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，诱导公式，同角三角函数的关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

10．【分析】根据题意求出此人相对于地面的高度函数，利用，求出此人相对于地面的高度不小于17的时间即可．

【解答】解：由题意知，，解得，

所以在时摩天轮上某人所转过的角为，

所以在时此人相对于地面的高度为

，

由，

得，

解得，

所以，

且，

所以此人有10分钟相对于地面的高度不小于17 ．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

11．【分析】由向量的平行可得，解之即可．

【解答】解：由已知，且，

所以，解得，

故答案为：

【点评】本题考查向量平行的充要条件，属基础题．

12．【分析】由已知利用终边相同的角的概念即可求解．

【解答】解：角的取值集合是，，

角与角的终边关于直线对称，可得，，

可得角的取值集合是，，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．

13．【分析】根据幂函数的定义以及函数的单调性求出的值即可．

【解答】解：由题意得：，解得：或，

时，在递增，符合题意，

时，，是常函数，不合题意，

故答案为：0．

【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．

14．【分析】由题意易得每个向量的坐标，由向量共线可得和的关系式，变形可得答案．

【解答】解：设图中每个小正方形的边长为1，

则，，，

，

与共线，

，

，即

故答案为：

【点评】本题考查平行向量与共线向量，属基础题．

15．【分析】（1）直接把点代入，即可求得的值；

（2）由题意，构造不等式，求解得答案．

【解答】解：（1）函数为常数）经过点，

，解得；

（2）由（1）得，

由，

解得．

故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．

故答案为：（1）；（2）32．

【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，是基础题．

16．【分析】根据平面向量线性表示概念及对三角形内心、重心的理解，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案

【解答】解：对于①，，此时点在平分线上，但未必在的内心，则①错；

对于②，由知，，由向量加法法则知中点，经过的重心，则②对；

对于③，，当，点在延长线上，

不在边上，则③错；

对于④，令，，，由向量加法法则知，

点在外，则④对；

对于⑤，取，，，，但点在外，则⑤错；

故答案为：②④．

【点评】本题考查向量线性表示概念及对三角形内心、重心的理解，属于基础题和易错题．

三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．【分析】（1）分段去掉绝对值，即可求解值域；

（2）对进行讨论，根据图象有交点，可得实数的取值范围．

【解答】解：（1）函数．

则，

因为在单调递减，

可得值域为，．

（2）当，当时，的图象与函数的图象恒有交点，

当时，当时，是单调递增函数，则，可得．

则．

故得实数的取值范围是或．

【点评】本题考查函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题．

18．【分析】（1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出的值即可；

（2）由的值，利用完全平方公式求出的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出值．

【解答】解：（1）方程的两根为、，

，，

，

，，即，

，

解得：（负值舍去），

则；

（2），

，

，

．

【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．

19．【分析】（1）①由幂函数的奇偶性及奇偶性的性质可直接判断；②利用增函数的定义即可证明；

（2）代入计算即可得结论；

（3）由（2）归纳出等式，代入即可证明．

【解答】解：（1）①函数为奇函数．

②的单调递增区间为，，

证明：任取，，且，

则

因为，，且，

所以，所以，

所以，即，

所以在上单调递增，

由奇函数的性质可得在上单调递增，

故的单调递增区间为，．

（2）经过代入计算可得，（4）（2）（2），（9）（3）（3）．

（3）由（2）中的各式概括出和对所有不等于0的实数都成立的一个等式为

，

证明：．

【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于中档题．

20．【分析】（1）①根据“子数组”的定义可得；

②不妨设，则，根据，2，3，可得最值；

（2）分为中含0和不含0两种情况进行分类讨论，再结合不等式的性质，即可求出的最大值．

【解答】解：（1）①根据“子数组”的定义可得，的含有两个“元”的不同“子数组”有，，，，，，，，，，，共6个，；

②不妨设，

，

，2，3，，

则当，，，时，取得最大值为，

当，，，是连续的四个整数时，取得最小值为；

（2）由，，，，且可知，实数，，具有对称性，

故分为中含0和不含0两种情况进行分类讨论，

①当0是中的“元”时，由于中的三个“元”都相等

及中三个“元” ，，的对称性，可只计算的最大值，

，则，可得，

故当时达到最大值，故；

②当0不是中的“元”时，

，

又，，，

则，

当且仅当时，取到最大值，故，

综上，．

【点评】本题考查新定义问题，解题的关键是正确理解子数组的定义以及“关系数”的定义，巧妙利用不等式的性质求解，属难题．