2021北京通州高一（上）期末数学（教师版）

2021北京通州高一（上）期末

数    学

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列各角中与终边相同的角是（     ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知为第三象限角，则下列判断正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数：①，②，③，则其中最小正周期为的是（     ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

5. 已知函数，在下列区间中包含零点的区间是（    ）

A (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. ( 3，4)

6. “”是“”的（     ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知函数，则（     ）

A. 奇函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减

C. 是偶函数，且在上单调递增 D. 是偶函数，且在上单调递减

8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

9. 函数（且）在R上单调递减，则实数取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 如果是定义在上的函数，使得对任意的，均有，则称该函数是“- 函数”. 若函数是“- 函数”，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11. _____.

12. 已知某扇形的圆心角是，圆心角所对的弧长也是，则该扇形的半径为___；面积为_____.

13. 若，是第二象限的角，则=_____.

14. 果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为_______；的取值范围是________.

15. 已知是定义域为R的奇函数，对任意的实数恒成立，且当时，.则①当时，_________________；② ______________

16. 已知正n边形的边长为a，其外接圆的半径为R，内切圆的半径为r.给出下列四个结论：

①；②；

③；④.

其中正确结论的序号是______.

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17. 已知函数.

（1）写出函数的振幅、周期、初相；

（2）用“五点法”作出在一个周期内的图象（先列表，再画图）.

18. 已知锐角、的终边与单位圆的交点分别为，.

（Ⅰ）求及的值；

（Ⅱ）求.

19. （1）若，求的值；

（2）已知锐角满足，若，求的值.

20. 已知函数.

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.

21. 已知函数，再从①，；②，这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题.

（1）求；

（2）写出的最小正周期及一条对称轴方程（只写结果）；

（3）求函数在上的最大值和最小值.

22. 已知函数．

（1）证明：为偶函数；

（2）用定义证明：是上增函数；

（3）求满足不等式的的范围.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用交集的定义可求得集合.

【详解】已知集合，，则.

故选：C.

2. 下列各角中与终边相同的角是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.

【详解】，，，，

因此，只有A选项中的角与终边相同.

故选：A.

3. 已知为第三象限角，则下列判断正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据为第三象限角，由三角函数在象限的正负，判断选项.

【详解】是第三象限角，，，，故AB不正确；

，故C不正确；

，故D正确.

故选：D

4. 已知函数：①，②，③，则其中最小正周期为的是（     ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

【答案】B

【解析】

【分析】

②③可由图象分析最小正周期

【详解】①最小正周期为

②的图象，在轴右侧部分与一样，

又因为其为偶函数，图象关于轴对称，由图象可知它不是周期函数.

③的图象，可由的图象，保持轴上半部分不变，

轴下半部分图象向上翻折得到. 由图象可知，其最小正周期为

故选：B.

5. 已知函数，在下列区间中包含零点的区间是（    ）

A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. ( 3，4)

【答案】C

【解析】

【分析】

可判断函数单调性，将区间端点代入解析式，函数值为一正一负，该区间就必有零点.

【详解】为上增函数

由零点存在定理可知，在区间(2，3)存在零点.

故选：C

6. “”是“”的（     ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

解正弦方程，结合题意即可容易判断

【详解】“”是“”的

因为，故可得或，

则“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

7. 已知函数，则（     ）

A. 是奇函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减

C. 是偶函数，且在上单调递增 D. 是偶函数，且在上单调递减

【答案】D

【解析】

【分析】

求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性，利用复合函数的单调性可判断出函数在上的单调性.

【详解】对于函数，有，解得，

函数的定义域为，

因为，所以，函数为偶函数，

因为，内层函数在上为减函数，外层函数为增函数，

所以，函数在上为减函数.

故选：D.

【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：

（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；

（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；

（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；

（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.

8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

【答案】B

【解析】

【分析】

由，利用三角函数图象变换规律可得出结论.

【详解】，

所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左平移个单位长度，

故选：B.

9. 函数（且）在R上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数单调递减，得到每段都单调递减，并注意分界点左右的函数值大小，列出不等式组求解，即可得出结果.

【详解】因为函数（且）在R上单调递减，

所以，解得，

即实数取值范围是.

故选：D.

10. 如果是定义在上的函数，使得对任意的，均有，则称该函数是“- 函数”. 若函数是“- 函数”，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题中的新定义转化为，即，根据的值域求的取值范围.

【详解】， ，

函数是“- 函数”，

对任意的，均有，即，

，即，又，

或.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，关键是读懂新定义，并使用新定义，并能转化为函数值域解决问题.

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11. _____.

【答案】.

【解析】

【分析】

利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】.

故答案为：.

12. 已知某扇形的圆心角是，圆心角所对的弧长也是，则该扇形的半径为___；面积为_____.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

利用扇形的弧长公式可求得扇形的半径，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.

【详解】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，可得，

该扇形的面积为.

故答案为：；.

13. 若，是第二象限的角，则=_____.

【答案】

【解析】

【分析】

先由同角三角函数基本关系，求出，再由二倍角的正切公式，即可求出结果.

【详解】因为，是第二象限的角，

所以，则，

因此.

故答案为：

14. 果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为_______；的取值范围是________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

根据题意，直接列式，根据题意求的最小值和最大值，得到的取值范围.

【详解】由题意可知函数关系式是，

由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是.

故答案为：；

15. 已知是定义域为R的奇函数，对任意的实数恒成立，且当时，.则①当时，_________________；② ______________

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

当时，，根据已知区间的解析式，由函数的奇偶性及，即可求出时的解析式；再由题中条件，求出函数周期，进而可得出.

【详解】当时，，由题意，；

又是定义域为R的奇函数，，所以，则，

因此；

由可得，所以，

所以以为周期，则.

故答案为：；.

16. 已知正n边形的边长为a，其外接圆的半径为R，内切圆的半径为r.给出下列四个结论：

①；②；

③；④.

其中正确结论的序号是______.

【答案】①③

【解析】

【分析】

首先根据正边形的某个边，作出内切圆和外接圆的半径的图形，分析与角的关系，判断选项.

【详解】如图，是正边形的外接圆的半径，是内切圆的半径，

设，，，

在中，

，

，

综上可知正确的选项是①③.

故答案为：①③

【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，根据正边形的某个边，作出示意图，同时相邻的与的夹角是，下面的问题就迎刃而解.

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17. 已知函数.

（1）写出函数的振幅、周期、初相；

（2）用“五点法”作出在一个周期内的图象（先列表，再画图）.

【答案】（1）振幅为2，周期,初相为；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）由的解析式直接可得答案；

（2）令，则，令求出相应的x及对应的y值得到五个点的坐标，在坐标系下画出即可.

【详解】（1）由得振幅为2，周期,初相为；

（2）用“五点法”作出在一个周期内的图象，

令，则，列表，

图象如下

【点睛】

本题考查五点作图法画三角函数的图象，关键点是令求出相应的x及对应的y值找到五个点的坐标，考查了学生的对基础知识的掌握情况及作图的能力.

18. 已知锐角、的终边与单位圆的交点分别为，.

（Ⅰ）求及的值；

（Ⅱ）求.

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

根据任意角角概念，由角的终边上的点的坐标，得到角、的正弦和余弦值；

（Ⅰ）根据同角三角函数基本关系，以及诱导公式，即可求出结果；

（Ⅱ）根据两角差的正弦公式，即可求出结果.

【详解】因为锐角、的终边与单位圆的交点分别为，，

所以，，；

因此（Ⅰ）；；

（Ⅱ）.

19. （1）若，求的值；

（2）已知锐角满足，若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）原式可变形，上下同时除以，代入后，计算结果；（2）利用角的变换，先求，展开后代入三角函数值，化简求值，最后求的值.

【详解】（1）原式上下同时除以，

变形为；

（2），，，

，

 ，，

，

，，

【点睛】思路点睛：本题第一问是关于的齐次分式，上下都是一次形式，则上下同时除以，若上下都是二次形式，则上下同时除以，第二问是角的变换，将条件中的角看成一个整体，表示结论中的角，再求三角函数值.

20. 已知函数.

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）最小正周期为；（Ⅱ）单调递增区间为；单调递减区间为；（Ⅲ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先将函数化简整理，得到，由正弦函数的周期性，即可求出其最小正周期；

（Ⅱ）根据正弦函数的单调区间，列出对应不等式求解，即可求出结果；

（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得单调递增区间，可直接得出结果.

【详解】（Ⅰ）

，

因此f(x)的最小正周期为；

（Ⅱ）由可得，

即单调递增区间为；

由可得，

即的单调递减区间为；

（Ⅲ）因为函数在上单调递增，由（Ⅱ）可得，的单调递增区间为；

则是的子区间，

所以只需，

即实数的取值范围为.

21. 已知函数，再从①，；②，这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题.

（1）求；

（2）写出的最小正周期及一条对称轴方程（只写结果）；

（3）求函数在上的最大值和最小值.

【答案】选①：（1）；（2）函数的最小正周期为，该函数的一条对称轴方程为（答案不唯一）；（3），.

选②：（1）；（2）函数的最小正周期为，该函数的一条对称轴方程为（答案不唯一）；（3），.

【解析】

【分析】

选①：化简函数的解析式为.

（1）直接计算的值；

（2）根据正弦型函数的基本性质可求得结果；

（3）由可计算得出取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数在上的最大值和最小值；

选②：化简函数的解析式为.

（1）直接计算的值；

（2）利用正弦函数的基本性质可求得结果；

（3）由可得出，再利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值.

【详解】选①，，，则.

（1）；

（2）函数的最小正周期为，该函数的一条对称轴方程为（答案不唯一）；

（3）当时，，则，

，.

选②，，，.

（1）；

（2）函数的最小正周期为，该函数的一条对称轴方程为（答案不唯一）；

（3），则，.

当时，取最大值，即；

当时，取最小值，即.

【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：

第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；

第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；

第三步：求出所求函数的值域（或最值）.

22. 已知函数．

（1）证明：为偶函数；

（2）用定义证明：是上的增函数；

（3）求满足不等式的的范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或.

【解析】

【分析】

（1）求出函数的定义域，计算得出，由此可证得结论成立；

（2）化简函数在上的解析式，任取、且，计算得出，从而可证明出函数是上的增函数；

（3）由已知得出，结合函数的定义域可得出，解此不等式组即可得解.

【详解】（1）对于函数，，解得，所以，函数的定义域为，

，所以，函数为偶函数；

（2）当时，，

任取、且，即，

，

，，，，所以，，

即，所以，函数是上的增函数；

（3）由（2）可知，函数在上为增函数，

又因为函数为偶函数，所以，函数在上为减函数，

，，由可得，

所以，，即，即，

可得且，

解得或，

因此，满足不等式的的范围是或.

【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.