2021北京丰台高一（上）期末数学（教师版）

2021北京丰台高一（上）期末

数    学

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中合题目要求的一项.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若，，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知命题，，则命题p的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

4. 下列函数是奇函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 函数在区间上的最大值为（    ）

A  B. 1 C.  D. 2

8. 已知函数则的零点个数为（    ）

A 0 B. 1 C. 2 D. 3

9. 已知指数函数是减函数，若，，，则m，n，p的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数，，，，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数和的图象有且只有一个公共点

B. ，当时，恒有

C. 当时，，

D. 当时，方程有解

二､填空题共6小题，每小题4分，共24分.

11. ______.

12. 函数的定义域为______.

13. ______.

14. 若函数的一个零点为，则______.

15. 一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，设经过x小时后，药在病人血液中的量为.

（1）y关于x的函数解析式为______；

（2）要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过______小时.(精确到0.1)(参考数据：，，，)

16. 函数的定义域为，其图象如图所示.函数是定义域为R的偶函数，满足，且当时，.给出下列三个结论：

①；

②不等式解集为R；

③函数的单调递增区间为，.

其中所有正确结论的序号是______.

三､解答题共4小题，共36分.

17. 记不等式的解集为A，不等式的解集为B.

（1）当时，求；

（2）若，求实数a的取值范围.

18. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆的交点为.

（1）求，值；

（2）若，求函数的最小正周期和单调递增区间.

19. 已知函数的图象过原点，且.

（1）求实数a，b的值：

（2）若，，请写出m最大值；

（3）判断并证明函数在区间上的单调性.

20. 设函数的定义域为I，如果存在区间，使得在区间上是单调函数且值域为，那么称在区间上具有性质P.

（1）分别判断函数和在区间上是否具有性质P；(不需要解答过程)

（2）若函数在区间上具有性质P，

（i）求实数a的取值范围；

（ii）求的最大值.

参考答案

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中合题目要求的一项.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用集合的交集运算直接求解.

【详解】，

故选：B

2. 若，，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据不等式的性质求解

【详解】对于A. ，，则，成立

对于B.  ，，；

对于C. ，；

对于D 若，则不成立

故选A.

3. 已知命题，，则命题p的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

分析】

根据全称命题的否定为存在性命题，准确改写，即可求解.

【详解】根据全称命题的否定为存在性命题知，命题“，”，

其命题p的否定为“，”.

故选：A.

4. 下列函数是奇函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用函数奇偶性定义依次判断

【详解】对于A，指数函数是非奇非偶函数；

对于B，对数函数是非奇非偶函数；

对于C，幂函数是偶函数；

对于D，幂函数是奇函数.

5. 已知，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用同角三角函数间的基本关系求出的值，即可确定出的值．

【详解】，，，则.

故选：B.

6. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

结合基本不等式，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】当时，，当且仅当时，即时，等号成立，

所以当时，是成立，即充分性成立；

反之：时，是成立的，但此时不成立，即必要不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

7. 函数在区间上的最大值为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

由时，，再利用三角函数性质可得答案

【详解】当时，

，所以

所以函数在区间上的最大值为

故选：C

【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：

（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；

（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.

8. 已知函数则的零点个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

令，对分类讨论求出方程的解，即可得出结论.

【详解】，令，

当时，，解得：或（舍去）；

当时，，解得：

所以有2个实数解，即函数的零点个数为2个.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点个数问题，转化为方程的解是解题的关键，属于基础题.

9. 已知指数函数是减函数，若，，，则m，n，p的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知可知，再利用指对幂函数的性质，比较m，n，p与0，1的大小，即可得解.

【详解】由指数函数是减函数，可知，

结合幂函数的性质可知，即

结合指数函数的性质可知，即

结合对数函数的性质可知，即，

故选：B.

【点睛】方法点睛：本题考查比较大小，比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法，解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.

10. 已知函数，，，，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数和的图象有且只有一个公共点

B. ，当时，恒有

C. 当时，，

D. 当时，方程有解

【答案】D

【解析】

【分析】

对于A，易知两个函数都过，又指数函数是爆炸式增长，还会出现一个交点，可知函数和的图像有两个公共点；对于B，取特殊点，此时；对于C，当时，作图可知，有恒成立；对于D，当时，易知两个函数都过点，即方程有解；

【详解】对于A，指数函数与一次函数都过，但在x增大时时爆炸式增长，故还会出现一个交点，如图所示，所以函数和的图像有两个公共点，故A错误；

对于B，取，，当时，，此时，故B错误；

对于C，当时，指数函数与对数函数互为反函数，两函数图像关于直线对称，如图所示，

由图可知，，有恒成立，故C错误；

对于D，当时，，，由知，，且两个函数都过点，即方程有解，故D正确；

故选：D

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解

二､填空题共6小题，每小题4分，共24分.

11. ______.

【答案】1

【解析】

【分析】

直接利用诱导公式可得答案.

【详解】

故答案为：1.

12. 函数的定义域为______.

【答案】

【解析】

【分析】

求定义域时，满足真数大于

【详解】得

故答案为：.

13. ______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用指数幂和对数的运算性质求解即可.

【详解】

故答案为：

14. 若函数的一个零点为，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用零点定义可知，将代入，结合，求解即可

【详解】因为函数的一个零点为，故

即，

解得，又，所以，，

故答案为：

15. 一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，设经过x小时后，药在病人血液中的量为.

（1）y关于x的函数解析式为______；

（2）要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过______小时.(精确到0.1)(参考数据：，，，)

【答案】    (1).     (2). 7.2

【解析】

【分析】

（1）利用指数函数模型求得y关于x的函数解析式；

（2）根据题意利用指数函数的单调性列不等式，求得再次注射该药的时间不能超过的时间.

【详解】（1）由题意，该种药在血液中以每小时20%的比例衰减，给病人注射了该药，经过x小时后，药在病人血液中的量为.

即y关于x的函数解析式为

（2）该药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，低于时病人就有危险，

令，即

又，且指数函数为减函数，

所以要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过7.2小时.

16. 函数的定义域为，其图象如图所示.函数是定义域为R的偶函数，满足，且当时，.给出下列三个结论：

①；

②不等式的解集为R；

③函数的单调递增区间为，.

其中所有正确结论的序号是______.

【答案】①③

【解析】

【分析】

由可知是周期为2的周期函数，又当时，，由此作出函数图像，利用数形结合思想依次判断；

【详解】满足，可知函数是周期为2的周期函数，

又函数是R上的偶函数，且当时，，作出图像如图所示，

由图可知，故①正确；不等式的解集为，故②错误；函数的单调递增区间为，，故③正确；

故答案为：①③

【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的周期性，奇偶性，抽象函数在高考中常考到，在做题时，利用函数的性质作出函数的图像是解题的关键，考查学生的逻辑推理与数形结合思想，属于一般题.

三､解答题共4小题，共36分.

17. 记不等式的解集为A，不等式的解集为B.

（1）当时，求；

（2）若，求实数a的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】

（1）分别求出集合，再求并集即可.

（2）分别求出集合和的补集，它们的交集不为空集，列出不等式求解.

【详解】（1）当时，

的解为或

（2）

a的取值范围为

18. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆的交点为.

（1）求，的值；

（2）若，求函数的最小正周期和单调递增区间.

【答案】（1），；（2）最小正周期，递增区间

【解析】

【分析】

（1）由三角函数的定义结合诱导公式直接求解；

（2）结合（1）可知，整理得，可求得函数周期与单调增区间.

【详解】（1）角的终边与单位圆的交点为，

，

（2），且，可知

，，即最小正周期为

由，得

所以函数的单调递增区间为

【点睛】方法点睛：函数的性质：

(1) .

(2)周期

(3)由 求对称轴

(4)由求增区间；由求减区间.

19. 已知函数的图象过原点，且.

（1）求实数a，b的值：

（2）若，，请写出m的最大值；

（3）判断并证明函数在区间上的单调性.

【答案】（1）；（2）；（3）单调递减，证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由已知可知，，代入即可求解；

（2）由，转化为，即可求解；

（3）利用单调性定义证明即可.

【详解】（1）函数的图像过原点，即，且， 

，解得：

（2）由（1）知，

由指数函数性质知：，，即

因为，，，所以m的最大值为

（3）函数在区间上单调递减，证明如下：

由（1）知，任取，且

，，，

，即，故

所以函数在区间上单调递减

【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合( 图像在 上方即可)；

③讨论最值或恒成立.

20. 设函数的定义域为I，如果存在区间，使得在区间上是单调函数且值域为，那么称在区间上具有性质P.

（1）分别判断函数和在区间上是否具有性质P；(不需要解答过程)

（2）若函数在区间上具有性质P，

（i）求实数a的取值范围；

（ii）求的最大值.

【答案】（1）不具有性质P，具有性质P；（2）（i）；（ii）1.

【解析】

【分析】

（1）根据余弦函数和幂函数性质可求解；

（2）（i）由已知可知，，即方程有2个根，转化，利用换元法结合图象可求解；（ii）结合图象求解.

【详解】（1）不具有性质P，具有性质P；

（2）（i）定义域为，函数单调递增，具有性质P，故定义域，值域都为，

，，

即方程有2个根，即，

令，则，对称轴，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；

故当时，函数取得最小值为，作出图象如下：

由图可知，实数a的取值范围为；

（ii）由，，则

又，，即

故，当时，取得最大值为1.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解