专题02 导数及其应用（知识点清单）——高二数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（人教B版2019）

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(1)定义：函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))__eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝l，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝f′(x0).
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0).
2.函数y＝f(x)的导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导.这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x).于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或yx′、y′).
3.导数公式表
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f(x),g(x))))′＝eq \f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.
【例题1】曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
由题意得：，
所以切线的斜率，又，
所以切线方程为：，即．
故选：D
【例题1】已知函数的图象如下所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知：，而，
故选：B.
【跟踪训练1】已知函数，若曲线在点处与直线相切，则（ ）
A．1B．0C．-1D．-1或1
【跟踪训练2】已知为二次函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【跟踪训练3】已知函数，当时，，若在区间内，函数有四个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
2.函数的极值与导数
3.函数的最值与导数
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
(3)求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【例题1】已知函数，且和是的两根.
（1），的值；
（2）的单调区间.
【详解】
（1），
又和为的两根，
，
故有，
解方程组得，.
（2），，
，
令得，，，
当时，；
当时，，
的单调递增区间为和，单调递减区间为和.
【例题2】已知函数．
（1）求曲线的斜率等于1的切线方程；
（2）求函数的极值．
【详解】
（1）设切点为，因为，
所以，，，
所以切线方程为，即．
（2）的定义域为．
令即，，
令，得，
令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以存在极小值， 无极大值．
【跟踪训练1】已知是实数，函数．
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）若恒成立，求的值．
【跟踪训练2】已知
（1）求的单调区间；
（2）求证曲线在上不存在斜率为-2的切线．
【跟踪训练3】已知函数，函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若对于任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
f(x)＝lgax (a＞0，a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
条件
f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0
x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0
图象
形如山峰
形如山谷
极值
f(x0)为极大值
f(x0)为极小值
极值点
x0为极大值点
x0为极小值点