2022-2023学年山东省青岛市九校联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市九校联盟高二（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若名教师报名参加乡村志愿支教活动，可以从，，这个学校中选报个，则不同的报名方式有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

3.  质点按规律做直线运动位移单位：，时间单位：，则质点在时的瞬时速度为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  抛物线上一点的纵坐标为，则点与抛物线焦点的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  圆上的点到直线的最大距离是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  从名女生和名男生中，抽取名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若函数存在增区间，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是(    )

A. 焦点为 B. 渐近线方程为
C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为

10.  已知，则(    )

A.  B.
C.  D.

11.  我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究则下列结论正确的是(    )

A.
B. 第行的第个和第个数最大
C. 第行、第行、第行的第个数之和为第行的第个数
D. 第行中从左到右第个数与第个数之比为：

12.  已知函数，则下列结论错误的是(    )

A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数只有极大值没有极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则的最小值为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若，则曲线在处的切线方程为______ ．

14.  正项等比数列中，，是方程的两个根，则 ______ ．

15.  盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是______ ．

16.  已知函数，其导函数记为，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
设数列是公差为的等差数列，已知，．
求数列的通项公式；
若，且的前项和为，求．

18.  本小题分
设函数．
求的单调区间；
当时，求的取值范围．

19.  本小题分
年月日名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后名宇航员与名航天科学家从左到右排成一排合影留念求：
名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；
名宇航员互不相邻的概率；
名航天科学家之间至少有名宇航员的概率．

20.  本小题分
设椭圆：的离心率为，且短轴长为．
求椭圆的方程；
若在轴上的截距为的直线与椭圆分别交于，两点，为坐标原点，且直线，的斜率之和等于，求直线的方程．

21.  本小题分
如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，．
求证：平面；
在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
已知函数．
判断在上的单调性；
若，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

直接根据对称点的求解规律，直接求解即可．
本题主要考查对称点的求解问题，属于基础题．

【解答】

解：因为，
故点关于平面的对称点的坐标为．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，每一位教师可以从，，这个学校中选报个，即每位教师报名都有种选择，
则名教师报名方式有种．
故选：．
根据题意，分析可得每位教师报名都有种选择，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查分步计数原理的应用，注意题目的限制条件，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
则，
故．
故选：．
先对求导，再将代入，即可求解．
本题主要考查导数的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于抛物线，，
准线方程为，
点到焦点的距离为；
故选：．
先求出准线方程，再根据抛物线的定义求解．
本题主要考查了抛物线的性质的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：圆，即，
则圆心坐标为，半径为，
圆上的点到直线的最大距离为．
故选：．
圆心到直线的距离加上半径为圆上的点到直线的最大距离．
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据分层抽样的总体个数和样本容量，做出女生和男生各应抽取的人数，得到女生要抽取人，男生要抽取人，根据分步计数原理得到需要抽取的方法数．
本题考查分步计数问题，及考查分层抽样，解题的关键是根据分层抽样计算出男生和女生要抽取得人数，再由计数原理得到结果，本题是一个基础题．
【解答】
解：名女生，名男生中选出名学生组成课外小组，
每个个体被抽到的概率是，
根据分层抽样要求，
应选出名女生，名男生，
有．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
令，
则，
由得，即在上单调递减，
又，则，即，
．
故选：．
由题意得，，，构造函数，可得在上单调递减，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对函数求导数，得，，
依题意，得在上有解．
即在上有解．
当时，不等式在上有解；
当时，要使不等式在上有解，
对称轴，只需，即．
综上，实数的取值范围为．
故选：．
由题意可得，在上有解，可得在上有解，结合根的判别式列式即可求得的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
利用双曲线方程求出渐近线方程，离心率，焦点坐标，结合点到直线的距离判断选项的正误即可．

【解答】

解：双曲线的方程为：，
可知，，，所以双曲线的焦点坐标，所以不正确；
渐近线方程：，所以B正确；
离心率为：，所以C正确；
焦点到渐近线的距离，所以不正确；
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：令，可得，故A正确；
B.含的项为，故，故B错误；
C.令，，
即，C正确；
D.令，，
，，D正确．
故选：．
利用赋值法进行计算求解即可．
本题主要考查二项式定理的应用，利用赋值法结合多项式系数的性质进行求解是解决本题的关键，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，，，故，故A正确；
对于，由图可知：第行有个数字，
如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；
如果是偶数，则第个数字最大，
故第行的第个和第个数最大，故B正确；
对于，第行，第行，第行的第个数字分别为：，，，其和为；
第行第个数字是，故C错误；
对于，依题意：第行第个数字是，第行第个数字是，
所以，故D正确．
故选：．
根据组合数，即可判断；根据杨辉三角的性质即可判断．
本题考查组合数的计算，杨辉三角的应用，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：项，，则，，则方程有两个实根，所以A正确；
项，，当时，，
当时，或，
则函数的单调递减区间是，，
单调递增区间是则是函数的极小值，是函数的极大值，所以B错误．

项，当时，，根据可知，函数的最小值是，
画直线，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
项，，也符合要求，所以D错误．
故选：．
项，令即可；，，项根据函数的单调性画出函数图象，数形结合即可．
本题考查导数的综合应用，零点问题，单调性问题，极值问题，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得 ，则．
又，
曲线在处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：正项等比数列中，，是方程的两个根，
依题意，
又，
所以．
故答案为：．
利用韦达定理、等比数列通项公式、对数运算法则能求出结果．
本题考查韦达定理、等比数列通项公式、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：记事件：第一次抽取的是黑球，事件：第二次抽取的是黑球，
则，
，，，，
．
故答案为：．
根据，由全概率公式计算可得结果．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：已知函数，
可得，
易得为偶函数，
不妨设，
易得为奇函数，
所以，
，
则．
故答案为：．
由题意，先对函数的解析式进行整理，对函数进行求导，得到为偶函数，令，得到函数为奇函数，利用函数奇偶性的性质再进行求解即可．
本题考查导数的运算以及函数奇偶性的应用，考查运算能力．
 

17.【答案】解：因为数列是公差为的等差数列，且，
所以，则或．
又，，所以．
由可得，，
所以． 

【解析】根据等差数列的通项公式求出公差，进而求解；
结合的结论得到，利用裂项相消法即可求解．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：因为定义域为，
所以，
因为，所以，
所以当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
由可得在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，所以，
又，，
又，所以，
所以 

【解析】求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
由可得函数在上的单调性，即可求出函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的值域．
本题考查导数的综合应用，化归转化思想，属中档题．
 

19.【答案】解：根据题意，分步进行分析：
先排名航天科学家，
再排名宇航员，
所以总共有种排法；
根据题意，名宇航员互不相邻，先排名航天科学家，然后再插入名宇航员，所以总共有种排法，
而人排成一排一共种排法，所以所求的概率为．
根据题意，分种情况讨论：
当名航天科学家之间有名宇航员时，其概率；
当名航天科学家之间有名宇航员时，其概率，
故要求的概率． 

【解析】根据题意，分步依次分析航天科学家和航天员的排法，由分步计数原理计算可得答案；
根据题意，分别计算“名宇航员互不相邻”和“人排成一排”的排法，由古典概型公式计算可得答案；
根据题意，分“当名航天科学家之间有名宇航员”和“当名航天科学家之间有名宇航员”两种情况讨论，求出对应的概率，将其相加即可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用和古典概型的计算，属于基础题．
 

20.【答案】解：：由题可得，由有，，
解得，．
故所求椭圆方程为：．
设：，，，
联立，整理可得：，
，解得或，
，，
所以，解得，
故直线的方程为． 

【解析】根据已知条件，结合离心率公式，以及椭圆的性质，即可求解．
设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线，的斜率之和，由题意可得直线的斜率，进而求出直线的方程．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，直线与椭圆相切的性质的应用，属于中档题．
 

21.【答案】证明：连接交于，，
，，，
，，
又平面，平面，
平面；
设线段上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，设，
取中点，连接，，，，侧面底面，
底面，，，，，
以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
又，，又，
，
设与平面所成角，
则，，解得或，
当时，，
当时，，
故线段上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，或． 

【解析】本题考查空间中线与面的平行关系、线面角的求法，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，属于中档题．
由，可证，可得，可证平面；
取中点，连接，，，侧面底面，可证底面，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量，设，求的方向向量，用向量法表示与平面所成角的正弦值得的方程，求解即可．
 

22.【答案】解：由题意得，
，设，则在上是增函数，
，
由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增；
证明：由得，
，即，
在上是增函数，且，，
存在，使得，即，
且当时，，，递增，当时，，递减，
当时，，
设，则，
在上单调递增，即，
即． 

【解析】由题意得，设，再对求导，可得在上是增函数，则，即可得出答案；
用导数法判断在上的单调性，从而得到在处有最大值，构造函数，再用导数法求出在处的最大值为，即可证明结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．