2023年北京市西城区中考数学二模试卷(含解析）

2023年北京市西城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  右图是某几何体的视图，则该几何体是(    )

A. 长方体
B. 三棱柱
C. 圆锥
D. 正方体

2.  我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖人左右，将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  方程组的解是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  比大且比小的整数可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交点，若，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一个不透明的口袋中有个红球和个白球，这四个球除颜色外完全相同摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  实数在数轴上的位置如图所示，则，，，中最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下面的三个问题中都有两个变量：
京沪铁路全程为，某次列车的平均速度单位：与此次列车的全程运行时间单位：；
已知北京市的总面积为，人均占有面积单位：人与全市总人口单位：人；
某油箱容量是的汽车，加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了油箱中的剩油量与加满汽油后汽车行驶的路程．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若代数式有意义，则实数的取值范围是        ．

10.  已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______ ．

11.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，设线段与轴正方向的夹角为，则 ______ ．

12.  用一组、的值说明命题“若，则”是假命题，这组值可以是 ______ ， ______ ．

13.  某射击队要从甲、乙、丙三名队员中选出一人代表射击队参加市里举行的射击比赛，如表是这三名队员在相同条件下次射击成绩的数据：

如果要选出一个成绩好且又稳定的队员去参加比赛，这名队员应是______ ．

14.  如图，，，则 ______ ．

15.  如图，在中，，，，则的值是______ ．

16.  如表是某市本年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“”表示上升，“”表示下降，“一”则表示名次没有变化已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第的区县是______ ，上一年度排在第，，名的区县依次是______ 写出一种符合条件的排序

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组，并写出它的所有正整数解．

19.  本小题分
已知：如图，线段，．
求作：矩形，使得，．

作法：如图．
在直线上截取．
过点作直线，在直线上截取．
分别以点和点为圆心，，的长为半径画弧，两弧的交点为．
点与点在直线的同侧
连接，．
则四边形为所求的矩形．
根据上面设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，在图中补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明：
证明：，，
四边形是平行四边形______ 填推理的依据
直线，
______ ，
四边形是矩形______ 填推理的依据．

20.  本小题分
已知，求代数式的值．

21.  本小题分
关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根．

22.  本小题分
如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．
求证：；
连接，若，，求的长．

23.  本小题分
为增强居民的反诈骗意识，，两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动现从，小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取个数据，分别对这个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，；
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据在这一组的是：

小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据如表：

根据以上信息，解答下列问题：
补全中频数分布直方图；
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据的中位数是______ ；小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据的众数是______ ；
为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于分的居民颁发小奖品已知，两个小区各有名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．

24.  本小题分
如图，以菱形的边为直径作交于点，连接交于点，是上的一点，且，连接．
求证：；
求证：是的切线．

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象与一次函数的图象交于点．
求，的值；
横、纵坐标都是整数的点叫做整点点是射线上一点，过点分别作轴，轴的垂线交函数的图象于点，将线段，和函数的图象在点，之间的部分所围成的区域不含边界记为．
利用函数图象解决下列问题：
若点的横坐标是，直接写出区域内整点个数；
若区域内恰有个整点，直接写出点的横坐标的取值范围．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，点，都在抛物线上，且，．
当时，比较，的大小关系，并说明理由；
若存在，，满足，求的取值范围．

27.  本小题分
如图，在中，边绕点顺时针旋转得到线段，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是的中点．
以点为对称中心，作点关于点的对称点，连接，．
依题意补全图形，并证明；
求证：；
若，且于，直接写出用等式表示的与的数量关系．

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，给定圆和点，若过点最多可以作出条不同的直线，且这些直线被圆所截得的线段长度为正整数，则称点关于圆的特征值为已知圆的半径为，
若点的坐标为，则经过点的直线被圆截得的弦长的最小值为______ ，点关于圆的特征值为______ ；
直线分别与，轴交于点，，若线段上总存在关于圆的特征值为的点，求的取值范围；
点是轴正半轴上一点，圆的半径为，点，分别在圆与圆上，点关于圆的特征值记为，点关于圆的特征值记为当点在轴正轴上运动时，若存在点，，使得，直接写出点的横坐标的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体是三棱柱，
故选：．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
此题主要考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，可得，
解得，
把代入，可得，
解得，
原方程组的解是．
故选：．
应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

4.【答案】 

【解析】解：，而，
比大且比小的整数可以是、，
故选：．
根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：为的平分线，，
，
，
直线，
，
在中，，
，
，
故选：．
先利用角平分线的性质和平角的性质求出，再利用平行线的性质求出，最后根据三角形的内角和即可得出答案．
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质和平角的性质，熟练掌握性质的内容是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸出小球的颜色相同的结果有种，
两次摸出小球的颜色相同的概率是，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出小球的颜色相同的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据图示，可得，
，，，
，
，，，中最大的是．
故选：．
根据图示，可得，据此逐项判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
 

8.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知，图中的是的反比例函数，
由题意得，，即是的反比例函数，符合题意；
由题意得，，即是的反比例函数，符合题意；
由已知可得每升汽油行驶千米，
，即是的一次函数，不符合题意；
故选：．
分别求出对应的与的关系，再根据函数图象可知函数图象表示的是反比例函数，由此判断即可．
本题主要考查了函数的图象，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：要使代数式有意义，只需，
，
则实数的取值范围是，
故答案为：．
根据分式的分母不能为零求解即可．
本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解答的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
解得，
故答案为：．
根据反比例函数的图象位于第二、四象限，可以得到，然后求解即可．
本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，过作轴于，
，
，，则，
．
故答案为：．
过作轴于，根据点的坐标得出，，再根据锐角三角函数的定义得出即可．
本题考查了解直角三角形等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 

12.【答案】答案不唯一  答案不唯一 

【解析】解：当，时，满足，但．
故答案为答案不唯一，答案不唯一
通过取，取可说明命题“若，则”是错误的．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

13.【答案】乙 

【解析】解：，且，
选择乙参赛．
故答案为：乙．
选择平均数较大且方差较小的参加比赛即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了平均数．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形的内角和为，
，
而，
．
故答案为：．
首先根据四边形的内角和求出，然后利用邻补角的性质即可求解．
此题主要考查了多边形的内角与外角，同时也利用了邻补角的定义，比较简单．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
∽，
，即，
．
故答案为：．
根据题意可得，易证∽，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
 

16.【答案】  或 

【解析】解：的名次上升了，且最多上升了两位，同时的名次下降了，且最多下降位，
又的名次没有变化，
上一年度排在前三位分别是、、；
又的名次下降，且前四名已经确定，
上一年度排在第名；
同理：上一年度排在第名；
排在第名，则排在第名；排在第名；
或排在第名，则排在第名；排在第名；
所以上一年度排在第，，名的区县依次是或．
故答案为：，或．
结合图表及选项对年度的上升及下降情况进行分析，选出正确答案．
此题考查了推理与论证，难度稍大，锻炼了考生的逻辑思维和综合推断能力．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
解得：，
解得：，
不等式组的解集为：，
则它的所有正整数解为，． 

【解析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再确定所有正整数解．
此题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，关键是掌握不等式组确定解集的方法．
 

19.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形    有一个角是的平行四边形是矩形 

【解析】解：图形如图所示：

证明：，，
四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
直线，
，
四边形是矩形有一个角是的平行四边形是矩形．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，，有一个角是的平行四边形是矩形．
根据要求作出图形；
根据有一个角是的平行四边形是矩形证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】解：原式


，
，
，
则原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据已知等式可得答案．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】解：关于的方程有实数根，
，
，
解得：，
为正整数，
，
原方程可化为，
解得：，． 

【解析】直接利用根的判别式得出的取值范围，求得，进而解方程得出答案．
此题主要考查了根的判别式，正确得出的值是解题关键．
 

22.【答案】证明：在矩形中，，，
．
．
四边形是平行四边形．
．
在矩形中，，

解：作于，如图．

在矩形中，，且与交于点，
．
．，
，，
，．
在平行四边形中，．
．
．
在中，． 

【解析】根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证；
如图，过点作于点，欲求，只需在直角中求得、的值即可．结合三角形中位线求得，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形是平行四边形是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：由题意可知，小区“”的频数为：，
补全中频数分布直方图如下：

小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据的中位数是：；
小区参加有奖问答活动的名居民成绩的数据的众数是．
故答案为：；；
份，
答：估计这两个小区的居委会大约一共需要准备份小奖品．
用样本容量减去其他四组的频数，可得“”的频数，进而补全中频数分布直方图；
根据中位数和众数的定义解答即可；
用分别乘样本中，两个小区大于或等于分所占比例即可．
本题考查的是频数分布直方图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

24.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，
，
即．
四边形是菱形，
，
；
如图，连接，
是的直径，
，
四边形是菱形，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
．
是半径，
是的切线． 

【解析】根据圆周角定理，菱形的性质以及等腰三角形的性质可得结论；
利用菱形的性质，全等三角形的判定和性质以及圆周角定理得出，再根据平行线的性质可得即可．
本题考查切线的性质，圆周角定理，菱形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，圆周角定理、菱形的性质是正确解答的前提．
 

25.【答案】解：函数的图象与一次函数的图象交于点．
，
，
点，
反比例函数过点，
；

点为射线上一点，点的横坐标是，
，
将代入中，得，
将代入中，得，
，分别垂直于轴和轴，
，，
如图，

结合函数图象可知，区域内有个整点；
如图，

结合函数图象可知，当时，区域内有个整点． 

【解析】将点坐标代入解析式，可求，的值；
先求出点坐标，结合函数图象可求解；
结合函数图象可求解．
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象的性质，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，开口向下；
，
，即；
当时，，
，即；
；
，
，
，
存在，，满足，，
，
，
综上所述，的取值范围是． 

【解析】抛物线的对称轴为直线，开口向下；
由，得；当时，，可得；故；
由，得，根据存在，，满足，，知，，即可得的取值范围是．
本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．
 

27.【答案】证明：如图所示：

边绕点逆时针旋转得到线段，
，
点是的中点，
，
点与点关于点对称，
，
，
≌，
，
；
证明：边绕点顺时针旋转得到线段，
，
设，，
则，
在四边形中，
，
≌，
，
，
，
≌，
；
解：．
理由如下：
如图，连接，

由知：≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
即． 

【解析】按题意补全图形即可；
利用证明≌，利用全等三角形的性质即可证明；
设法证明，利用证明≌即可证明；
连接，利用的结论，证明是含角的直角三角形，再利用三角函数或含角直角三角形的三边关系，即探究出与的数量关系．
本题是一道三角形的综合题，涉及旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数定义，本题的难点在于和相等关系的确定．
 

28.【答案】   

【解析】解：设经过点的直线与交于、两点，
过点作于，连接、，

，
在中，
 ，
当最大时，最小，即此时最小，
点的坐标为，
，
，
当点与点重合时，
有最大值，
此时有最小值为，
的最小值为，
过点的直线被截得的弦长的最大值为直径，
被截得的弦长取值范围为，
被截得的弦长为正整数的只有是或，
被截得的弦长为的弦有条，被截得的弦长为的弦只有条，
点关于的特征值为，
故答案为：，；
 设点是的特征值为的点，
经过一点且弦长为最长弦的直线有条，弦长为的直线有条，弦长为的直线有且只有条，
经过点的直线被截得的弦长的最小值为，
，
关于的特征值为的所有点都在以为圆心，为半径的圆周上，

直线分别与，轴交于点、，
，，
，
，
 当时，线段与以为圆心，为半径的圆相切时，点特征值为，
设切点为为，连接，
则，
，
，
设以为圆心，为半径的圆与轴正半轴的交点记为，
则，
 当线段与以为圆心，为半径的圆相交，且过点时，可得，
，
 同理可求当时，，
 综上，的取值范围是；
 同一平面内，对于任意一点，
点关于圆的特征值不可能为，
，
，且、都是整数，
或，
 当时，经过点且弦长为最长弦的直线有条，
弦长为最短弦的直线有条，
点一定在以为圆心，以为半径的圆上，
同理当时，点一定在以为圆心，以为半径的圆上，
当满足以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有交点，
且同时满足以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有交点时的值符合题意，
如图所示，当以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆外切时，此时；

如图所示，当以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆内切时，此时；

综上所述，当时，存在点，，使得．
设经过点的直线与交于、两点，过点作于，连接、，利用垂径定理得到，由勾股定理可得当最大时，最小，即此时最小，求出，再由，得到当点与点重合时，有最大值，即可求出的最小值为，则被截得的弦长取值范围为，再由被截得的弦长为的弦有条，被截得的弦长为的弦只有条，可得点关于的特征值为；
根据题意得，关于的特征值为的所有点都在以为圆心，为半径的圆周上，分当时和当时，两种情况讨论即可求解；
由题得或，经过点且弦长为最长弦的直线有条，弦长为最短弦的直线有条，由可知点一定在以为圆心，以为半径的圆上，同理点一定在以为圆心，以为半径的圆上，则当满足以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有交点，且同时满足以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有交点时的值符合题意，由此求解即可．
本题主要考查了垂径定理，圆与圆的位置关系，切线的性质，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几同等等，正确理解题意找到对应点的轨迹是解题的关键．