2023年北京市平谷区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年北京市平谷区中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市平谷区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列几何体中，是圆锥的为(    )
A. B. C. D.
2. 党的二十大报告中指出，2022年中国的科技实力实现了从跟跑到领跑的历史性跨越，研发经费持续增长，研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位.将2800000000000用科学记数法表示为(    )
A. 0.28×1013 B. 2.8×1011 C. 2.8×1012 D. 28×1011
3. 如图，直角三角板的直角顶点落在直线AB上的点C处，∠1=20°，则∠2的大小为(    )


A. 50° B. 60° C. 70° D. 160°
4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A. b0 D. −a>b
5. 袋子里有2个红球1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸取两个，恰好为一个红球一个白球的概率是(    )
A. 12 B. 13 C. 23 D. 34
6. 若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则实数m的取值范围为(    )
A. m<1 B. m≤1 C. m>1 D. m≥1
7. 如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则∠BAD的度数为(    )
A. 50°
B. 60°
C. 100°
D. 120°


8. 如图，一款旅行保温水壶，拧开瓶盖即为自带的小水杯，若满满一水壶水可以装满4水杯.现在水壶中还有一半的水，拧开瓶盖向小水杯中匀速的倒水，设水壶中剩余的水量为y1(毫升)，水杯中的水量为y2(毫升)，倒水的时间为x(秒)，则从开始倒水到水杯注满水的过程中，y1，y2均是x的函数，它们随着x的变化而变化的过程可以描述为(    )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若 x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为______．
10. 分解因式：mx2−my2=______．
11. 计算：(1−3x)÷x2−9x2的值为______ ．
12. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示.若管内有积水(阴影部分)，水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为______ 分米．


13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,1)，B(2,2)，双曲线y=kx与线段AB有公共点，请写出一个满足条件的k的值______．


14. 某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级200名学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如表：根据统计表中的数据估计八年级四月份读书册数不少于3本的人数约有______ 人.
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2

15. 已知：如图，△ABC的两条中线AF与CE相交于点G，连接EF，则EGGC= ______ ．


16. 如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A绣球花)、B祥云)两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为______ 元；若王先生选定了一个造型1作为中心图形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用n个造型3填补空缺，若整个画面中，图案B个数不多于图案A数的2倍，且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的n值______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 解不等式组：2+x>7−4x,x<4+x2.．
四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
计算：(12)−1+4sin45°− 8+|−3|．
19. (本小题5.0分)
已知2x2−x−7=0，求代数式x(x−3)+(x+1)2的值．
20. (本小题5.0分)
下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，△ABC，点D是BC延长线上一点．
求证：∠ACD=∠A+∠B．

方法一：利用三角形的内角和定理进行证明
证明：
方法二：构造平行线进行证明
证明：


21. (本小题6.0分)
如图，直线AB//CD，E是AB上一点，F是CD上一点，连接EF，以F为圆心EF长为半径画弧，在点F的右侧交直线CD于点G，再分别以点E和点G为圆心，大于12EG长为半径画弧，两弧交于点H，连接FH交AB于点M，连接MG．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形，判断四边形EFGM的形状；
(2)证明(1)中的结论．

22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+1与x轴交于A，与y轴交于B．
(1)求A、B点坐标；
(2)点A关于y轴的对称点为点C，将直线BC沿y轴向上平移t(t>0)个单位，得到直线l，当x>−2时都有直线l的值大于直线y=−x+1的值，求t的取值范围．
23. (本小题5.0分)
快递使我们的生活更加便捷，可以说，快递改变了我们的生活.为了解我国的快递业务情况，我们收集了2022年11月全国31个省的快递业务数量(单位：亿件)的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息：
a.2022年11月快递业务量排在前3位的省的数据分别为：275.2，225，74.8，
b.其余28个省份2022年11月的快递业务数量的数据的频数分布图如图：
c.2022年11月的快递业务数量的数据在10≤x<20这一组的是：10.3，11，15.5，16.3，17.8，根据以上信息，回答下列问题：

(1)补全条形统计图；
(2)2022年11月的31个省的快递业务数量的中位数为______ ；
(3)若设图中28个省份平均数为x1−，方差为s12；设31个省份的平均数为x−，方差为s2，则x1− ______ x−，s12 ______ s2(填“>”“=”或“<”)．
24. (本小题6.0分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点E，F为AE的中点，连接BF并延长交⊙O于点D，连接CD．
(1)求证：∠D=∠EBC；
(2)若tan∠D=12，BC=2，求BF的长．

25. (本小题6.0分)
某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞L1与两组副桥洞分别位于y轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看做抛物线，主桥洞L1上，y与x近似满足函数关系y=ax2+c(a≠0).经测量在主桥洞L1上得到x与y的几组数据：

x(米)
−1.4
−1
0
1
1.4
y(米)
1.02
1.5
2
1.5
1.02
根据以上数据回答下列问题：
(1)求主桥洞L1的函数表达式；
(2)若L2的表达式：y2=−0.5(x−h1)2+0.98，L3的表达式：y3=−0.5(x−h2)2+0.5，求五个桥洞的总跨度AB的长．
26. (本小题6.0分)
已知抛物线y=−x2+2tx，若点P(−1,y1)，Q(t2,y2)，M(m,y3)在抛物线上．
(1)该抛物线的对称轴为______ (用含t的式子表示)；
(2)若当m=2时，y3=0，则t的值为______ ；
(3)若对于2≤m≤3时，都有y1 27. (本小题7.0分)
在△ABC中，∠ACB=90°，点D为BC边上一点，E为AC延长线上的一点，CE=CD，F为CB边上一点，EF⊥射线AD于点K，过点D作直线DG⊥AB于G，交EF于点H，作∠AGD的角平分线交AD于M，过点M作AB的平行线，交DG于点O，交BC于点Q，交EF于点N，MO=NO．
(1)找出图中和∠DHK相等的一个角，并证明；
(2)判断EH、FN、MD的数量关系，并证明．

28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于△OAB，其中A(1, 3)，B(2,0)，给出如下定义：将OA边绕点O逆时针旋转60°得到线段OC，连接BC，BC与△OAB的过点A的高线交于点P，将点P关于直线y=kx+b(k≠0)对称得到点Q，我们称Q为△OAB的留缘点．
(1)若k=1，b=0，请在图中画出△OAB的留缘点Q，并求出点Q的坐标；
(2)已知M(−3,0)，N(−3,5)，若线段MN上存在△OAB的留缘点，求b的取值范围．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查了立体图形，解决问题的关键是掌握圆锥的特征．
依据圆锥的特征进行判断即可，圆锥有2个面，一个曲面和一个平面．
【解答】
解：A.属于长方体(四棱柱)，不合题意；
B.属于三棱锥，不合题意；
C.属于圆柱，不合题意；
D.属于圆锥，符合题意；
故选D．  
2.【答案】C 
【解析】解：将2800000000000用科学记数法表示应为2.8×1012．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】C 
【解析】解：由题意可得∠1+∠2=90°，
∵∠1=20°，
∴∠2=70°，
故选：C．
结合图形可得∠1+∠2=90°，根据已知条件计算即可求得答案．
本题考查余角的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

4.【答案】D 
【解析】解：由数轴可得−2 则A，B均不符合题意，
∵|a|>|b|，
∴a+b<0，
即−a>b，
则C不符合题意，D符合题意，
故选：D．
由数轴可得−2|b|，再利用实数的加法法则进行判断即可．
本题考查实数与数轴的关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

5.【答案】C 
【解析】解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中恰好为一个红球一个白球的结果有4种，
∴恰好为一个红球一个白球的概率为46=23
故选：C．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中恰好为一个红球一个白球的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

6.【答案】B 
【解析】解：根据题意得Δ=22−4m≥0，
解得m≤1，
故选：B．
根据判别式的意义得到Δ=22−4m≥0，然后解关于m的不等式即可．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：正六边形内角和(6−2)×180°=720°，
所以每个内角度数720°÷6=120°，
∴∠BAD=180°−120°=60°．
故选：B．
根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数，然后根据邻补角求出答案．
本题考查了平面镶嵌(密铺)，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

8.【答案】A 
【解析】解：∵水壶中还有一半的水，可以装满2水杯，
∴从开始倒水到水杯注满水的过程中，y1，y2均是x的函数，它们随着x的变化而变化的过程可以描述为：．
故选：A．
根据水壶中还有一半的水，可以装满2水杯，可以得出y1，y2随着x的变化而变化的函数图象．
本题考查了函数图象，正确理解题意是解题的关键．

9.【答案】x≥3 
【解析】解：∵x−3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

10.【答案】m(x+y)(x−y) 
【解析】解：mx2−my2=m(x2−y2)
=m(x+y)(x−y)．
故答案为：m(x+y)(x−y)．
直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

11.【答案】xx+3 
【解析】解：(1−3x)÷x2−9x2
=x−3x⋅x2(x+3)(x−3)
=xx+3，
故答案为：xx+3．
先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法是解答本题的关键．

12.【答案】2 
【解析】解：连接OA，如图所示：

∵⊙O的直径为10分米，
∴OA=5分米，
由题意得：OD⊥AB，AB=8分米，
∴AC=BC=12AB=4分米，
∴OC= OA2−AC2= 52−42=3(分米)，
∴积水的最大深度CD=OD−OC=5−3=2(分米)，
故答案为：2．
连接OA，先由垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．
本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．

13.【答案】2 
【解析】解：当(1,1)在y=kx上时，k=1，
当(2,2)在y=kx的图象上时，k=4．
若双曲线y=kx与线段AB有公共点，则k的取值范围是1≤k≤4．
故答案为：2(答案不唯一)．
求得A和B分别在双曲线上时对应的k的值，根据双曲线y=kx与线段AB有公共点，即可得出k的范围．
本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，确定出双曲线的两个特殊位置时k的值是解题的关键．

14.【答案】130 
【解析】解：200×7+4+220=130(人)，
即估计八年级四月份读书册数不少于3本的人数约有130人．
故答案为：130．
用总人数乘样本中读书册数不少于3本的人数所占比例可得答案．
本题考查了用样本估计总体以及统计表，解题的关键是掌握用样本估计总体的方法．

15.【答案】12 
【解析】解：∵△ABC的两条中线AF与CE相交于点G，
∴CG=2EG，
∴EGGC=12．
故答案为：12．
直接根据三角形重心的性质解答即可．
本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．

16.【答案】22  6 
【解析】解：设A种图案成本为了x元，B种图案成本为了y元，根据题意，得
2x+4y=64x+3y=42，
解得：x=12y=10，
∴x+y=12+10=22(元)，
即造型3的成本为22元；
根据题意得：4+6×3+n≤2(2+6+n)64+42×6+22n≤500，
解得：6≤n≤8411，
∵n为整数，
∴n=6，7，8，
故答案为：22，6(答案不唯一，6，7，8均可)．
设A种图案成本为了x元，B种图案成本为了y元，根据造型1的成本64元，造型2的成本42元，列方程组2x+4y=64x+3y=42，出x、y的值，则由造型3的成本为(x+y)元；再根据图案B的个数不多于图案A个数的2倍，且整体设计费用不超过500元，列不等式组4+6×3+n≤2(2+6+n)64+42×6+22n≤500，求得6≤n≤8411，然后由n为整数，得出n的值即可．
本题考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，理解题意，列出方程组与不等式组是解题的关键．

17.【答案】解：由2+x>7−4x，得：x>1，
由x<4+x2，得：x<4，
则不等式组的解集为1 【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

18.【答案】解：(12)−1+4sin45°− 8+|−3|
=2+4× 22−2 2+3
=2+2 2−2 2+3
=5． 
【解析】分别计算负整数指数幂，三角函数值，算术平方根，绝对值，最后合并同类二次根式即可．
本题考查实数混合运算，熟练掌握负整数指数幂、二次根式化简、特殊角三角函数值是解题的关键．

19.【答案】解：x(x−3)+(x+1)2
=x2−3x+x2+2x+1
=2x2−x+1，
∵2x2−x−7=0，
∴2x2−x=7，
则原式=7+1=8． 
【解析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，熟记单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式是解题的关键．

20.【答案】证明：
方法一：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°−(∠A+∠B)．
又∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACB=180°−∠ACD．
∴180°−(∠A+∠B)=180°−∠ACD，
∴∠ACD=∠A+∠B．
方法二：

过点C作CE//AB．
∴∠ACE=∠A，∠ECD=∠B，
∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B． 
【解析】分别利用三角形内角和定理与平行线的性质即可证明．
本题考查三角形内角和定理与平行线的性质，比较简单，要牢牢掌握该知识点，并能灵活运用．

21.【答案】(1)解：如图即为补全的图形，四边形EFGM是菱形；
(2)证明：根据作图过程可知：FE=FG，FM平分∠EFG，
∴∠EFM=∠GFM，
∵AB//CD，
∴∠EMF=∠GFM，
∴∠EFM=∠EMF，
∴EF=EM，
∴FG=EM，
∴四边形EFGM是平行四边形，
∵EF=EM，
∴四边形EFGM是菱形； 
【解析】(1)根据作法即可补全图形，进而利用菱形的判定即可判断四边形EFGM的形状；
(2)根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明(1)中的结论．
此题考查了作图−基本作图，平行线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．

22.【答案】解：(1)∵直线y=−x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B．
将x=0代入y=−x+1，得到：y=1，
∴B(0,1)，
将y=0代入y=−x+1，得到−x+1=0，
解得：x=1，
∴A(1,0)；
(2)∵点A关于y轴的对称点为C，
∴C(−1,0)，
∴直线BC为y=x+1，
将直线BC都沿y轴向上平移t(t>0)个单位，得到直线l：y=x+1+t，
把x=−2代入y=−x+1得，y=3，
把(−2,3)代入y=x+1+t得，3=−2+1+t，
解得t=4，
∴当x>−2时都有直线l的值大于直线y=−x+1的值，则t的取值范围是t≥4． 
【解析】(1)令x=0和y=0时，代入解析式得出坐标即可；
(2)求得直线BC的解析式为y=x+1，根据平移的规律得到y=x+1+t，求得x=−2时函数y=−x+1的值为3，把(−2,3)代入y=x+1+t求得t=4，结合图象得出当x>−2时都有直线l的值大于直线y=−x+1的值，t的取值范围是t≥4．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，图象上点的坐标适合解析式是解答此题的关键．

23.【答案】15.9  <  < 
【解析】解：(1)20≤x<30这一组数的频数为：28−14−5−2−2−1=4，
补全条形统计图如下：

(2)2022年11月的31个省的快递业务数量的中位数为：15.5+16.32=15.9，
故答案为：15.9；
(3)若设图中28个省份平均数为x1−，方差为s12；设31个省份的平均数为x−，方差为s2，则x1− 故答案为：<；<．
(1)用28分别减去其他五组的频数可得20≤x<30这一组数的频数，进而补全条形统计图；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)根据平均数和方差的意义解答即可．
本题考查频数分布直方图、加权平均数，方差、中位数，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．

24.【答案】(1)证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠CBE=90°，
∴∠A=∠CBE，
∵∠A=∠D，
∴∠D=∠EBC；
(2)解：∵∠tan∠D=12，
∴tanA=tan∠CBE=BCAC=CEBC=12，
∴2AC=CE2=12，
∴AC=4，CE=1，
∴AE=AC+CE=5，
∵F为AE的中点，
∴BF=12AE=52． 
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，根据切线的性质得到∠ABE=90°，得到∠ABC+∠CBE=90°，等量代换即可得到结论；
(2)解根据三角函数的定义和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，三角函数的定义，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

25.【答案】解：(1)将(0,2)，(1,1.5)代入y=ax2+c(a≠0)，
2=c1.5=a+c，
解得a=0.5c=2，
∴y=05x2+2；

(2)在L1上，令y=0，有0=05x2+2，
解得x1=2，x2=−2，
∴C1(2,0)，
∵C1也在L2上，将C1(2,0)代入y2=−0.5(x−h1)2+0.98，
解得h1=3.4，h2=0.6(舍去)，
∴y2=−0.5(x−3.4)2+0.98，
∴y2称轴为x=3.4，
∴y2一个根为2，根据对称性，另一个根为4.8，即C2(4.8,0)，
故C 2(4.8,0)也在L3上，将C1(2,0)代入y3=−0.5(x−h3)2+0.5，
0=0.5(4.8−h2)2+0.5，
解得h21=5.8，h22=3.8(舍去)，
∴y3=05(x−5.8)2+0.5，
∴y3称轴为x=5.8，
∴y3一个根为4.8，根据对称性，另一个根为6.8，即B(6.8,0)，
∴AB=6.8×2=13.6； 
【解析】(1)将(0,2)，(1,1.5)代入y=ax2+c(a≠0)，即可求出L1的函数表达式；(2)分别求出C1，C2，B的值，在解答即可．
本题考查的是二次函数的应用，解题关键求出函数的解析式．

26.【答案】直线x=t  1 
【解析】解：(1)∵抛物线y=−x2+2tx，
∴抛物线的对称轴为直线x=−2t2×(−1)=t；
故答案为：直线x=t；
(2)当m=2时，y3=0，则M(2,0)，
∵抛物线y=−x2+2tx经过原点，
∴对称轴为直线x=t=0+22=1，
∴t=1．
故答案为：1；
(3)点P(−1,y1)，Q(t2,y2)，M(m,y3)在抛物线上，对称轴为直线x=t，
∴点P(−1,y1)关于对称轴的对称点为(2t+1,y1)，Q(t2,y2)于对称轴的对称点为(3t2,y2)，
∵抛物线开口向下，对于2≤m≤3时，都有y1 ∴点P(−1,y1)，Q(t2,y2)在对称轴的左侧，M(m,y3)在对称轴的右侧或都在对称轴的左侧，
∴3t2m，
∴3t2<22t+1>3或t2>3，
∴16．
(1)利用对称轴公式求得即可；
(2)根据抛物线的对称性求得对称轴为直线x=t=1；
(3)根据题意点P(−1,y1)，Q(t2,y2)在对称轴的左侧，M(m,y3)在对称轴的右侧或都在对称轴的左侧，求得点P(−1,y1)关于对称轴的对称点为(2t+1,y1)，Q(t2,y2)于对称轴的对称点为(3t2,y2)，由y1m，从而得出3t2<22t+1>3或t2>3，解得16．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性和增减性是解题的关键．

27.【答案】解：(1)∠DHK=∠BAK，
证明：如图，∵AK⊥EF，
∴∠AKE=90°，
∴∠3+∠DHK=90°，
∵HG⊥AB，
∴∠2+∠BAK=90°，
∵∠2=∠3，
∴∠DHK=∠BAK；
(2)解：MD=EH+FN，
证明：连接GN，
∵∠ACB=∠AKF=90°，
∴∠4+∠5=90°，∠6+∠7=90°，
∵∠5=∠6，
∴∠4=∠7，
∵∠ACB=∠ECF=90°，CD=CE，
∴△ACD≌△ECF(AAS)，
∴EF=AD，
∵MN//AB，
∴∠MOD=∠AHD=90°，
∵OM=ON，
∴DG垂直平分MN，
∴MG=NG，
∵∠AGH=90°，MG平分∠AGH，
∴∠AGM=∠GMN=45°，
∴∠AGM=∠HGN=45°，
∵∠DHK=∠BAK，MG=NG，
∴△AMG≌△HNG(AAS)，
∴AM=HN，
∵AD=EF，
∴MD=EH+NF． 
【解析】(1)根据垂直的定义得到∠AKE=90°，于是得到∠3+∠DHK=90°，同理得到∠2+∠BAK=90°，等量代换得到结论；
(2)连接GN，根据全等三角形的性质得到EF=AD，根据全等三角形的判定定理证得△AMG≌△HNG，根据全等三角形的性质得到AM=NH，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．

28.【答案】解：(1)如图，点Q即为△OAB的留缘点，连接AC，

∵B(2,0)，A(1, 3)，
∴OB=2，OA= 12+( 3)2=2，AB= (2−1)2+( 3)2=2，
∴△OAB是正三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵将OA边绕点O逆时针旋转60°得到线段OC，
∴OA=OC=2，∠AOC=60°，
∴△OAC是正三角形，
∴AC=OC=2，
∴四边形COBA是菱形，
∴∠PBH=12∠ABO=30°，
∵HB=1，
∴PH=tan∠PBH⋅HB= 33，
∴P(1, 33)，
∵点P与点Q关于直线y=x对称，
∴Q( 33,1)．
(2)如图所示，连接PN、PM，作PN、PM的中垂线DH，GE交y轴与点D、E，设D(0,d)、E(0,e)，
∵点D、E分别在PN、PM的中垂线上，
∴ND=PD，EM=EP，
∴ 32+(5−d)2= 12+( 33−d)2， 32+e2= 12+( 33−e)2，
∴d=49(15+ 3)222，e=−23 36，
∵线段MN上存在△OAB的留缘点，
∴b≥49(15+ 3)222或b≤−23 36．
 
【解析】(1)先根据题意画出图形，然后再说明四边形COBA是菱形，再确定点P的坐标，最后根据点P关于直线y=x对称求出点Q的坐标；
(2)直线y=kx+b是点P和留缘点的中垂线，判断线段MN上的点与点P组成线段的中垂线位置变化，判断直线y=kx+b与y轴交点的范围，即可求出b的取值范围．
本题考查了正三角形，菱形等知识点，解题的关键是掌握正三角形、菱形、垂直平分线的性质．