2019年北京市西城区中考数学二模试卷

这是一份2019年北京市西城区中考数学二模试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图所示，用量角器度量 ∠AOB 和 ∠AOC 的度数．下列说法中，正确的是
A. ∠AOB=110∘B. ∠AOB=∠AOC
C. ∠AOB+∠AOC=90∘D. ∠AOB+∠AOC=180∘

2. 改革开放四十年来，北京市民的收入随着经济水平的发展而显著提高．从储蓄数据来看，2017 年北京市民的人民币储蓄存款余额约为 2980000000000 元，大致为 1978 年的 3200 倍．将 2980000000000 用科学记数法表示应为
A. 0.298×1013B. 2.98×1012C. 29.8×1011D. 2.98×1010

3. 下列图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 实数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示，则实数 a 可能是
A. 3B. 23C. 22D. 10

5. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是
A. B.
C. D.

6. 5G 网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020 年到 2030 年中国 5G 直接经济产出和间接经济产出的情况如下图所示．
根据上图提供的信息，下列推断不合理的是
A. 2030 年 5G 间接经济产出比 5G 直接经济产出多 4.2 万亿元
B. 2020 年到 2030 年，5G 直接经济产出和 5G 间接经济产出都是逐年增长
C. 2030 年 5G 直接经济产出约为 2020 年 5G 直接经济产出的 13 倍
D. 2022 年到 2023 年与 2023 年到 2024 年 5G 间接经济产出的增长率相同

7. 数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果 a>2，那么 a2>4．下列命题中，具有以上特征的命题是
A. 两直线平行，同位角相等B. 如果 a=1，那么 a=1
C. 全等三角形的对应角相等D. 如果 x>y，那么 mx>my

8. 平面直角坐标系 xOy 中，点 Pa,b 经过某种变换后得到的对应点为 Pʹ12a+1,12b−1．已知 A，B，C 是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为 Aʹ，Bʹ，Cʹ．若 △ABC 的面积为 S1，△AʹBʹCʹ 的面积为 S2，则用等式表示 S1 与 S2 的关系为
A. S1=12S2B. S1=14S2C. S1=2S2D. S1=4S2

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若代数式 2x+5 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

10. 若正多边形的一个内角是 150∘，则这个正多边形的边数是 ．

11. 有大小两种货车，1 辆大货车与 3 辆小货车额定载重量的总和为 23 吨，2 辆大货车与 5 辆小货车额定载重量的总和为 41 吨．1 辆大货车，1 辆小货车的额定载重量分别为多少吨?设 1 辆大货车的额定载重量为 x 吨，1 辆小货车的额定载重量为 y 吨，依题意，可以列方程组为 ．

12. 已知 y 是 x 的函数，其函数图象经过 1,2，并且当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小．请写出一个满足上述条件的函数表达式： ．

13. 如图，点 A，B，C，D 都在 ⊙O 上，C 是 BD 的中点，AB=CD．若 ∠ODC=50∘，则 ∠ABC 的度数为 ∘．

14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A0,3，B−1,0，菱形 ABCD 的顶点 C 在 x 轴的正半轴上，其对角线 BD 的长为 ．

15. 某水果公司新购进 10000 千克柑橘，每千克柑橘的成本为 9 元．柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如表：
柑橘总重量 n/千克50100150200250300350400450500损坏柑橘重量 m/千克柑橘损坏的频率
根据以上数据，估计柑橘损坏的概率为 （结果保留小数点后一位）；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为 元．

16. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设正实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 ba 和 dc（a，b，c，d 都为正整数），即 ba
三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−−5−2cs45∘+−32+14−1．

18. 解方程：xx+1=1+1x．

19. 下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．
已知：平行四边形 ABCD．
求作：点 M，使点 M 为边 AD 的中点．
作法：如图，
① 作射线 BA；
② 以点 A 为圆心，CD 长为半径画弧，交 BA 的延长线于点 E；
③ 连接 EC 交 AD 于点 M，
所以点 M 就是所求作的点．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）;
（2）完成下面的证明．
证明：连接 AC，ED，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥CD，
∵AE= ，
∴ 四边形 EACD 是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∴AM=MD（ ）（填推理的依据）．
∴ 点 M 为所求作的边 AD 的中点．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−k+5x+3k+6=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根大于 −2 且小于 0，k 为整数，求 k 的值．

21. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=DC，AD=BC，AD⊥CD．点 E 在对角线 CA 的延长线上，连接 BD，BE．
（1）求证：AC=BD；
（2）若 BC=2，BE=13，tan∠ABE=23，求 EC 的长．

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=ax+b 与双曲线 y=kx 交于点 A1,m 和点 B−2,−1，点 A 关于 x 轴的对称点为点 C．
（1）① 求 k 的值和点 C 的坐标；
② 求直线 l 的表达式；
（2）过点 B 作 y 轴的垂线与直线 AC 交于点 D，经过点 C 的直线与直线 BD 交于点 E．若 30∘≤∠CED≤45∘，直接写出点 E 的横坐标 t 的取值范围．

23. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，CA 与 ⊙O 相切于点 A，且 CA=BA．连接 OC，过点 A 作 AD⊥OC 于点 E，交 ⊙O 于点 D，连接 DB．
（1）求证：△ACE≌△BAD；
（2）连接 CB 交 ⊙O 于点 M，交 AD 于点 N．若 AD=4，求 MN 的长．

24. 某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量 y（单位：微克）与服药后的时间 t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系，下表是 y 与 t 的几组对应值，其部分图象如图所示．
t012346810⋯⋯
（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点 t,y，并补全该函数的图象；
（2）结合函数图象，解决下列问题：
① 某病人第一次服药后 5 小时，每毫升血液中的含药量约为 微克；若每毫升血液中含药量不少于 0.5 微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约 小时；
② 若某病人第一次服药后 8 小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量约为 微克．

25. 某年级共有 150 名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取 30 名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．实心球成绩的频数分布表如下：
分组6.2≤x<6.66.6≤x<7.07.0≤x<7.47.4≤x<7.87.8≤x<8.28.2≤x<8.6频数2m10621
b．实心球成绩在 7.0≤x<7.4 这一组的是：
7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3
c．一分钟仰卧起坐成绩如下图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）① 表中 m 的值为 ；
② 一分钟仰卧起坐成绩的中位数为 ；
（2）若实心球成绩达到 7.2 米及以上时，成绩记为优秀．
① 请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；
② 该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的 8 名女生的两项成绩的数据抄录如下：
女生代码ABCDEFGH实心球一分钟仰卧起坐*4247*4752*49
其中有 3 名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这 8 名女生中恰好有 4 人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生 E 的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗?并说明你的理由．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=ax2+bx+a−2 的对称轴是直线 x=1．
（1）用含 a 的式子表示 b，并求抛物线的顶点坐标；
（2）已知点 A0,−4，B2,−3，若抛物线与线段 AB 没有公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围；
（3）若抛物线与 x 轴的一个交点为 C3,0，且当 m≤x≤n 时，y 的取值范围是 m≤y≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的 m，n 的值．

27. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点，点 F 在边 BC 的延长线上，且 CF=AE，连接 DE，DF，EF．FH 平分 ∠EFB 交 BD 于点 H．
（1）求证：DE⊥DF；
（2）求证：DH=DF；
（3）过点 H 作 HM⊥EF 于点 M，用等式表示线段 AB，HM 与 EF 之间的数量关系，并证明．

28. 对于平面内的 ∠MAN 及其内部的一点 P，设点 P 到直线 AM，AN 的距离分别为 d1，d2，称 d1d2 和 d2d1 这两个数中较大的一个为点 P 关于 ∠MAN 的“偏率”．在平面直角坐标系 xOy 中，
（1）点 M，N 分别为 x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点．
①若点 P 的坐标为 1,5，则点 P 关于 ∠MON 的“偏率”为 ；
②若第一象限内点 Qa,b 关于 ∠MON 的“偏率”为 1，则 a，b 满足的关系为 ；
（2）已知点 A4,0，B2,23，连接 OB，AB，点 C 是线段 AB 上一动点（点 C 不与点 A，B 重合）．若点 C 关于 ∠AOB 的“偏率”为 2，求点 C 的坐标；
（3）点 E，F 分别为 x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点，动点 T 的坐标为 t,4，⊙T 是以点 T 为圆心，半径为 1 的圆．若 ⊙T 上的所有点都在第一象限，且关于 ∠EOF 的“偏率”都大于 3，直接写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. B
4. C
5. A
6. D
7. C
8. D
第二部分
9. x≠−5
10. 12
11. x+3y=23,2x+5y=41.
12. 答案不唯一，如：y=−x+3
13. 100
14. 23
15. 0.1，10
16. 227
第三部分
17. 原式=5−2×22+32+4=9+22.
18. 两边同乘 xx+1，得
x2=xx+1+x+1.
整理得
2x=−1.
解得
x=−12.
经检验，x=−12 是原方程的解．
19. （1） 补全的图形如图所示：
（2） CD；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分
20. （1） 依题意得 Δ=−k+52−43k+6=k2−2k+1=k−12，
∵k−12≥0，
∴ 此方程总有两个实数根．
（2） 解方程得 x=k+5±k−122．
∴ 方程的两个根为 x1=k+2，x2=3．
由题意可知，−2 ∵k 为整数，
∴k=−3．
21. （1） ∵AB=DC，AD=BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90∘，
∴ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AC=BD．
（2） 过点 E 作 EF⊥CB 交 CB 的延长线于点 F，如图，则 ∠EFB=90∘．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90∘，
∴∠ABC=∠EFB，
∴EF∥AB，
∴∠ABE=∠FEB，
∴tan∠FEB=tan∠ABE=23，
∴FBEF=23，
设 EB=2xx>0，则 EF=3x，
∵BE2=EF2+FB2，BE=13，
∴132=3x2+2x2，解得 x=1，
∴FB=2，EF=3，
∵BC=2，
∴FC=FB+BC=4，
∴FC=FB+BC=4，
∴EC=EF2+FC2=5．
22. （1） ①∵ 点 B−2,−1 在双曲线 y=kx 上，
∴k=2，
∵ 点 A1,m 在双曲线 y=2x 上，
∴m=2，
∵ 点 A 关于 x 轴的对称点为点 C，
∴ 点 C 的坐标为 1,−2．
②∵ 直线 l:y=ax+b 经过点 A1,2 和 B−2,−1，
∴2=a+b,−1=−2a+b,
解得 a=1,b=1,
∴ 直线 l 的表达式为 y=x+1．
（2） 1−3≤t≤0 或 2≤t≤1+3．
23. （1） ∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘．
∵AD⊥OC 于点 E，
∴∠AEC=90∘，
∴∠AEC=∠ADB，
∵CA 与 ⊙O 相切于点 A，
∴CA⊥BA．
∴∠CAB=90∘，即 ∠CAE+∠DAB=90∘，
∵∠CAE+∠ACE=90∘，
∴∠DAB=∠ACE，
∵CA=BA，
∴△ACE≌△BAD．
（2） 连接 AM，如图．
∵AD⊥OC 于点 E，AD=4，
∴AE=ED=12AD=2，
∵△ACE≌△BAD，
∴BD=AE=2，CE=AD=4，
在 Rt△ABD 中，AB=AD2+DB2=25，
在 Rt△ABC 中，BC=AB2+AC2=210．
∵∠CEN=∠BDN=90∘，∠CNE=∠BND，
∵△CEN∽△BDN，
∴CNBN=CEBD=2，
∴BN=13BC=2103，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠AMB=90∘，即 AM⊥CB，
∵CA=BA，∠CAB=90∘，
∴BM=12BC=10，
∴MN=BM−BN=103．
24. （1） 图象如图所示：
（2） ①1.41；7.75．
②4.25．
25. （1） ①9
②45
（2） ①1330×150=65（人）．
答：估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数约为 65 人．
② 同意，理由答案不唯一，如：如果女生 E 的仰卧起坐成绩未达到优秀，那么只有 A，D，F 有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有 4 人两项测试成绩都达到优秀矛盾，因此女生 E 的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀．
26. （1） ∵−b2a=1，
∴b=−2a．
∴ 抛物线为 y=ax2−2ax+a−2，当 x=1 时，y=a−2a+a−2=−2．
∴ 抛物线的顶点为 1,−2．
（2） 若 a>0，抛物线与线段 AB 没有公共点，
若 a<0，当抛物线经过点 B2,−3 时，它与线段 AB 恰有一个公共点，
此时 −3=4a−4a+a−2，解得 a=−1．
∵ 抛物线与线段 AB 没有公共点，
∴ 结合函数图象可知 −10．
（3） m=−2,n=5 或 m=2+7,n=5.
27. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=CD，∠EAD=∠BCD=∠ADC=90∘，
∴∠EAD=∠FCD=90∘，
∵CF=AE，
∴△AED≌△CFD．
∴∠ADE=∠CDF．
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90∘．
∴DE⊥DF．
（2） ∵△AED≌△CFD，
∴DE=DF．
∵∠EDF=90∘，
∴∠DEF=∠DFE=45∘．
∵∠ABC=90∘，BD 平分 ∠ABC，
∴∠DBF=45∘．
∵FH 平分 ∠EFB，
∴∠EFH=∠BFH．
∵∠DHF=∠DBF+∠BFH=45∘+∠BFH，∠DFH=∠DFE+∠EFH=45∘+∠EFH，
∴∠DHF=∠DFH．
∴DH=DF．
（3） EF=2AB−2HM．
证明：过点 H 作 HN⊥BC 于点 N，如图．
∵ 正方形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90∘，
∴BD=AB2+AD2=2AB．
∵FH 平分 ∠EFB，HM⊥EF，HN⊥BC，
∴HM=HN．
∵∠HBN=45∘，∠HNB=90∘，
∴BH=HNsin45∘=2HN=2HM．
∴DH=BD−BH=2AB−2HM．
∵EF=DFcs45∘=2DF=2DH，
∴EF=2AB−2HM．
28. （1） 5；a=b
（2） ∵ 点 A4,0，B2,23，
∴OA=4，OB=22+232=4，AB=4−22+232=4．
∴OA=OB=AB，
∴△OAB 是等边三角形．
∴∠OAB−∠OBA=60∘．
过点 C 作 CD⊥OA 于点 D，CH⊥OB 于点 H，如图，
则 ∠CDA=∠CHB=90∘．
∴△ACD∽△BCH．
∴CDCH=CACB．
∵ 点 C 关于 ∠AOB 的“偏率”为 2，
∴CDCH=2 或 CHCD=2．
当 CDCH=2 时，则 CACB=2．
∴CA=23AB=B3．
∴DA=CA⋅cs60∘=43，CD=CA⋅sin60∘=433．
∴OD=OA−DA=83．
∴ 点 C 的坐标为 83,433．
同理可求：当 CHCD=2 时，点 C 的坐标为 103,233．
∴ 点 C 的坐标为 83,433 或 103,233．
（3） 12+43．