高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案及答案

2.4.2　圆的一般方程

【学习目标】

【自主学习】

一．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为：2＋2＝，

1.当D2＋E2－4F＞0时，方程表示圆，圆心为            ，半径为           ．

2.当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点          ．

3.当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．

思考1：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？

二．圆的一般方程

1.方程：当                时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．

2.本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．

思考2：如果点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，那么应满足什么关系式？圆外呢？

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(　 　)

(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(　 　)

(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　 　)

(4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(　 　)

2.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为(　　)

A．(4，－6)，16   B．(2，－3)，4

C．(－2，3)，4      D．(2，－3)，16

【经典例题】

题型一  圆的一般方程的认识

点拨：二元二次方程表示圆的判断方法

任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法：

1.计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形．

2.将该方程配方为2＋2＝，根据圆的标准方程来判断．

例1 若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．

【跟踪训练】1 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．

①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0.

题型二  求圆的一般方程

点拨：圆的方程的求法

1.求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；

2.如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F．

例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．

【跟踪训练】2 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．

题型三  与圆有关的轨迹问题

点拨：求涉及到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：

一是直接法，即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；

二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制．

例3 已知等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么图形．

【跟踪训练】3 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；

(2)求BP的中点E的轨迹方程．

【当堂达标】

1.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　)

A．m＜       B．m≤       C．m＜2    D．m≤2

2.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为(　　)

A.8π           B.4π          C.2π       D.π

4.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(　　)

A.x＋y－3＝0    B.x－y－3＝0    C.2x－y－6＝0    D.2x＋y－6＝0

5.（多选）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（    ）

A．2 B． C． D．0

5.已知点O(0,0)在圆x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0外，求k的取值范围．

6.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.

【参考答案】

【自主学习】

一．          

二．D2＋E2－4F＞0

思考1：A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0.

思考2：若点P在圆内，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＜0；若点P在圆外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0．

【小试牛刀】

1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2. C 解析　由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为(－2，3)，半径长为4.

【经典例题】

例1  (－∞，1)　解析：把方程配方得(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，由条件可知1－a＞0，即a＜1.

【跟踪训练】1解析：①方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2,0)，半径r＝2.

②方程可变形为2＋2(y＋1)2＝－，此方程无实数解．故方程不表示任何图形．

③原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.

当a＝0时，方程表示点(0,0)，不表示圆；

当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，|a|为半径的圆．

例2 解析：法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

∵A，B，C在圆上，

∴∴

∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.

∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.

法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.

∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴外心是线段BC的中点，

坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.

【跟踪训练】2 解析：圆心C，

∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2. ①

又∵半径长r＝＝，

∴D2＋E2＝20.②

由①②可得或

又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.则

故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

例3 解：设另一端点C的坐标为(x，y)．

依题意，得|AC|＝|AB|．由两点间距离公式，得＝＝，

整理，得(x－4)2＋(y－2)2＝10．

这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示．

又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，即点B，C不能重合．

所以点C的横坐标x≠3，且点B，C不能为一直径的两端点，所以≠4，即点C的横坐标x≠5．

故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，且x≠5)，

即另一个端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．

【跟踪训练】3 解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，

由中点公式得点P坐标为(2x－2,2y)．

∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，

故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

（2）设点E(x，y)，P(x0，y0)．

∵B(1,1)，∴ ,整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，

∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，

整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－＝0.

【当堂达标】

1. A解析：由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜，故选A.

2.C 解析：原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴半径r＝，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.

3.C解析：圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由k＝＝2，可知C正确.

4.AD 解析：因为圆的圆心为，所以圆心到直线的距离为，所以或.故选：AD

5.解：∵方程表示圆，∴k2＋(2k)2－4(2k2＋k－1)＞0，即3k2＋4k－4＜0，解得－2＜k＜．

又∵点O(0,0)在圆外，∴2k2＋k－1＞0，解得k＞或k＜－1．

综上所述，k的取值范围是(－2，－1)∪(，)．

6.解：设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝，3＝，

于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.①

因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，

所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋y＝4，②

把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.

所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.