2023年上海市青浦区中考数学二模试卷（含解析）

2023年上海市青浦区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列关于的方程一定有实数解的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在学校举办的“诗词大赛”中，有名选手进入决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名选手想知道自己是否能进入前名，除了知道自己的成绩外，他还需要了解这名学生成绩的(    )

A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差

5.  已知平行四边形的对角线、相交于点下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征甲：函数图象经过点；乙：函数图象经过第四象限；丙：当时，随的增大而增大则这个函数表达式可能是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  函数的定义域是______ ．

8.  因式分解：______．

9.  方程的根是______．

10.  不等式组的解集是______ ．

11.  在、、这三个数中任取两个数作为点的横坐标和纵坐标，那么在平面直角坐标系内，点在第二象限的概率为______ ．

12.  若一个正多边形的每一个外角都等于，那么这个正多边形的中心角为______度．

13.  已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点的坐标为______ ．

14.  已知点为的重心，，，那么 ______ 用、表示

15.  如图，图中反映轿车剩余油量升与行驶路径千米的函数关系，那么与的函数解析式为______ ．

16.  水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图所示，如果该截面油的最大深度为分米，油面宽度为分米，那么该圆柱形油槽的内半径为______ 分米．

17.  如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，如果是以线段为直径的圆，那么点与的最短距离为______ ．

18.  如图，在中，，，，点是边的中点，点在边上，将沿所在的直线翻折，点落在点处，如果，那么 ______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19.  解方程组：

四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
如图，在中，已知，，．
求边的长；
已知点在边上，且，连接，试说明与相等．

22.  本小题分
某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图所示已知参加乒乓球运动的人数有人，请根据图中的信息解决下列问题．
求参加篮球和足球运动的总人数；
学校为本次活动购买了一些体育器材，其中购买的篮球和足球的数量是根据参加的人数每人一只配备的，购买篮球的费用是元，购买足球费用是元，并且篮球的单价比足球的单价便宜元请你帮助计算一下，参加篮球运动和足球运动的学生各有多少人？

23.  本小题分
如图，在平行四边形中，已知平分，点在边上，连接交于点，且．
求证：点在边的垂直平分线上；
求证：．

24.  本小题分
如图，已知抛物线经过点和，与轴的另一个交点为点．
求抛物线的解析式及点的坐标；
将该抛物线向右平移个单位，点移到点，点移到点，若，求的值；
在的条件下，设新抛物线的顶点为，新抛物线在对称轴右侧的部分与轴交于点，求点到直线的距离．

25.  本小题分
如图，半圆的直径，点在半圆上，，，垂足为点，点是弧上一点．
若点是弧的中点，求的值；
连接交半径于点，交于点，设．
用含的代数式表示线段的长；
分别以点为圆心为半径、点为圆心为半径作圆，当这两个圆相交时，求取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，掌握幂的乘方的法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，方程没有实数解，所以选项不符合题意；
B.，方程有两个不相等的实数解，所以选项符合题意；
C.方程两边平方得，整理得，，一元二次方程没有实数解，则原方程无解，所以选项不符合题意；
D.去分母得，解得，经检验原方程无解，所以选项不符合题意．
故选：．
利用一元二次方程根的判别式对选项、选项进行判断；通过解无理方程对选项进行判断；通过解分式方程对选项进行判断．
本题考查了无理方程：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．也考查了根的判别式和解分式方程．
 

4.【答案】 

【解析】解：由于总共有个人，且他们的分数互不相同，第名的成绩是中位数，要判断是否进入前名，故应知道中位数的多少．
故选：．
人成绩的中位数是第名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

5.【答案】 

【解析】解：、四边形是平行四边形，
，这是平行四边形的性质，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，，
，
，
平行四边形是矩形；故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；故选项C符合题意；
D、，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形；故选项D不符合题意；
故选：．
根据矩形的判定方法和菱形的判定方法分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
本题考查矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形和菱形的判定方法是解题的关键，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：函数的图象过二，四象限，经过点，当时，随的增大而减小，选项A不符合题意；
B.函数的图象过一、二、三象限，经过点，当时，随的增大而增大，选项B不符合题意；
C.函数的图象过一，三象限，经过点，当时，随的增大而增大，选项C不符合题意；
D.函数的图象过二，四象限，经过点，当时，随的增大而增大，选项D符合题意；
故选：．
结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，排除法是中考常用解题方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据分式有意义的条件，分母不等于，就可以求解．
本题考查函数自变量的取值范围，掌握分式有意义，分母不为是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接找出公因式再提取公因式分解即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
方程的两边都平方得，．
所以．
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
方程的两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解检验即可．
本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的一般步骤是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，构成的点的坐标分别为：，，，，，，
其中点在第二象限的结果有：，，共种，
点在第二象限的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及点在第二象限的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：正多边形的每一个外角都等于，
正多边形的边数，
这个正多边形的中心角，
故答案为：．
首先由多边形外角和定理求出正多边形的边数，再由正多边形的中心角，即可得出结果．
本题考查了正多边形的性质、多边形外角和定理、正多边形的中心角的计算方法；熟练掌握正多边形的性质，根据题意求出正多边形的边数是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
点和点都在抛物线上，且轴，
、关于直线对称，
点的坐标为．
故答案为：．
根据抛物线的对称性即可求得点的坐标．
本题考查了抛物线图形上点的坐标特征，平行线的性质，明确、关于抛物线的对称轴对称是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
由可得出答案．
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图象可知，该函数是一次函数，且过点，，
设函数解析式为，
，
解得．
函数的解析式为：．
故答案为：．
由图象可知，该函数是一次函数，且过点，，设函数解析式，并将两点代入，解方程组即可．
本题主要考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，连接，

由垂径定理知，点为的中点，
分米，
设半径为分米，
分米，
由勾股定理知，，
．
解得：，
该圆柱形油槽的内半径为分米．
故答案为：．
连接、，在直角中利用勾股定理即可求得，然后根据垂径定理即可求得的长．
此题考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用，圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般是通过垂径定理转化为解直角三角形的问题．
 

17.【答案】 

【解析】解：设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线：，
把代入得，
点在直径上，
点与的最短距离为，
，
点与的最短距离为．
故答案为：．
利用待定系数法求得直线的解析式，即可判断点在直径上，所以点与的最短距离为，利用勾股定理求得即可．
本题考查了点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，判断点在直径上是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于点，

在中，，，，
，
，
，
为的中点，
，
根据折叠的性质可得，，
，
，，，
四边形为矩形，
，
，，
，
在中，，
．
故答案为：．
连接，过点作于点，根据勾股定理先求出，利用等面积法求出斜边上的高，利用直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质可得，易得，于是可用勾股定理求出，进而算即可．
本题主要考查折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，理解题意，正确画出图形，利用数形结合思想解决问题是解题关键．
 

19.【答案】解：
由得：或，
由得：或，
由和组成方程组，，，，
解得：，
所以原方程组的解为：，． 

【解析】本题考查了二元二次方程组．先把二元二次方程组转化成二元一次方程组，求出二元一次方程组的解即可．
 

20.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了分数指数幂的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为点，
在中，，
，
，
在中，，
，
设，那么，，
，
，
解得，
，，
在中，，
即的长为；
过点作，垂足为点，
，
，
，
，
由得，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
． 

【解析】过点作，垂足为点，先证明，再根据证得，进而利用求出和，再利用勾股定理求出即可；
根据已知求出，进而证得点是的中点，直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质证得结论．
本题考查了解直角三角形以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是添加适当的辅助线构造直角三角形．
 

22.【答案】解：人，
人．
故参加篮球和足球运动的总人数为人；
设参加篮球运动的学生有人，也就是购买了只篮球．
根据题意，得，
整理，得，
解得，．
经检验，都是原方程的根，但不符合题意，舍去．
则参加足球运动的学生有：人．
答：参加篮球运动的学生有人，参加足球运动的学生有人． 

【解析】根据参加乒乓球运动的人数和所占的百分比求得本次调查的总人数，然后用总人数乘以参加篮球和足球运动的百分比即可；
设参加篮球运动的学生有人，也就是购买了只篮球．根据篮球的单价比足球的单价便宜元列出方程，即可求解．
本题考查了分式方程的应用以及扇形统计图，从统计图中获取有用信息是解答第小题的关键，理解题意找准等量关系列出方程是解答第小题的关键．
 

23.【答案】证明：在平行四边形中，，
，
平分，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
即点在边的垂直平分线上；
由上题可知，
又公共角，
∽，
，
，
，
，
，
，
即． 

【解析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义推，再根据证明∽，进而证明角相等，也就得到点在边的垂直平分线上；
证∽，推比例线段，与的比例线段结合得出，根据，得到，等量代换后得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线性质、平行四边形的性质，掌握这三个知识点的综合应用，其中找相似三角形是解题关键．
 

24.【答案】解：将、代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
令得，
解得：或，
点的坐标为；
如图：

由平移得，平移距离，
，
，，
，
，
在中，；
在中，，
，
解得，
，
；
过点作，垂足为点，过点作轴，垂足为点，设直线与轴交于点，如图：

，
将抛物线向右平移得到新抛物线，
，，
，
在中，令得或，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，，
，
点到直线的距离是． 

【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为；令可解得点的坐标为；
由平移得，平移距离，证明，可得，故，即可得；
过点作，垂足为点，过点作轴，垂足为点，设直线与轴交于点，将抛物线向右平移得到新抛物线，得，，令得，从而，是等腰直角三角形，可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，可求得，即点到直线的距离是．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平移变换，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造等腰直角三角形解决问题．
 

25.【答案】解：连接，
点是弧的中点，是直径，
．
，，
，
过点作，垂足为点．
由垂径定理，．
在中，，，，
，．
在中，，
，，
；
作交于点．
得，．
又
，
所以，
．
设，
由知，．
当两圆内切时，．
由于，，
所以两圆不可能内切．
当两圆外切时，．
解得．
所以当两圆相交时，． 

【解析】连接，证出，过点作，垂足为点解直角三角形可得出答案；
作交于点由平行线分线段成比例定理可得出答案；
分两种情况，当两圆内切时，当两圆外切时，列出不等式或方程可得出答案．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，两圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，需要利用参数解决问题，属于中考压轴题．