2023年上海市青浦区中考数学一模试卷(含解析）

2023年上海市青浦区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知三个数、、，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  三角形的重心是(    )

A. 三角形三条角平分线的交点 B. 三角形三条中线的交点
C. 三角形三条边的垂直平分线的交点 D. 三角形三条高的交点

3.  如果把一个锐角的三边的长都扩大为原来的倍，那么锐角的正弦值(    )

A. 扩大为原来的倍 B. 缩小为原来的 C. 没有变化 D. 不能确定

4.  已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是(    )

A. ， B.
C. ， D.

5.  如图，四边形的对角线、相交于，且将这个四边形分成、、、四个三角形．若：：，则下列结论中一定正确的是(    )

A. 与相似
B. 与相似
C. 与相似
D. 与相似

6.  已知二次函数为常数．
命题：该函数的图像经过点；命题：该函数的图像经过点；命题：该函数的图像与轴的交点位于轴的下方；命题：该函数的图像的对称轴为直线如果这四个命题中只有一个命题是假命题，那么这个假命题是(    )

A. 命题 B. 命题 C. 命题 D. 命题

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  如果：：，那么：______．

8.  已知向量与单位向量方向相反，且，那么______用向量的式子表示．

9.  如果两个相似三角形的周长比为：，那么它们的对应中线的比为______ ．

10.  如果抛物线经过原点，那么的值等于        ．

11.  抛物线在轴右侧的部分是        填“上升”或“下降”

12.  将抛物线向左平移个单位后的抛物线表达式为______．

13.  在中，，如果，，那么        ．

14.  如图，在中，点、、分别在边、、上，，，如果，那么        ．

15.  如图，河堤横断面迎水坡的坡度是：，，则坡面的长度是______

16.  如图，在矩形中，，点、分别在边、上，点、在对角线上如果四边形是菱形，那么线段的长为        ．

17.  如图，点是正方形内一点，，，如果将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，射线交边于点，那么线段的长为        ．

18.  定义：如图，点，把线段分割成、和，如果以、、为边的三角形是一个直角三角形，那么称点、是线段的勾股分割点问题：如图，在中，已知点、是边的勾股分割点线段，射线、与射线分别交于点、如果，，，那么：的值为        ．
 

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
如图，在平行四边形中，点在边上，射线、相交于点，．
求：的值；
如果，，试用、表示向量．

21.  本小题分
如图，在中，，垂足为点，平分交于点，，，．
求的值；
求线段的长．

22.  本小题分
某校九年级数学兴趣小组在实践活动课中测量路灯的高度如图，在处测得路灯顶端的仰角为，再沿方向前行米到达点处，在处测得路灯顶端的仰角为，求路灯顶端到地面的距离点、、在一直线上的长精确到米
参考数据：，，，，，

23.  本小题分
已知：如图，在中，点、分别在边、上，、相交于点，，．
求证：∽；
求证：．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
求该抛物线的表达式及点的坐标；
已知点与点都是抛物线上的点．
求的值；
如果，求点的坐标．

25.  本小题分
如图，在中，，，，动点、分别在边、上，且，设过点作，与直线相交于点．
当时，求的值；
当时，求的值；
当与相似时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：：：，
故选：．
根据比例的性质分别判断即可．
此题主要考查了比例的性质，正确把握比例的性质是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
故选：．
根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．
考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．
 

3.【答案】 

【解析】解：一个锐角的三边的长都扩大为原来的倍，
扩大后的边上的高也扩大为原来的倍，
锐角的正弦值没有变化，
故选：．
根据一个锐角的三边的长都扩大为原来的倍，可知扩大后的边上的高也扩大为原来的倍，然后根据锐角的正弦的定义，可以判断是否变化．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
故A不符合题意；
不能确定与的方向，
不能判定向量与向量平行，
故B符合题意；
，，
与方向相同，
，
故C不符合题意；
，
与方向相反，
，
故D不符合题意，
故选：．
根据平面向量的性质逐一判断即可．
本题考查了平面向量的性质，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：：：，
对顶角相等，
与相似．
故选：．
由：：，利用两边对应成比例，夹角相等，可以证得两三角形相似，与相似，问题可求．
本题解答的关键是熟练记住所学的三角形相似的判定定理，此题难度不大，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：假设抛物线的对称轴为直线，
则，
解得，
，
函数的图象经过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，解得：或，
当时，．
抛物线与轴的交点为和，函数的图象与轴的交点位于轴的下方；
命题都是正确，错误，
故选：．
命题可以同时成立，由此即可判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握二次函数的对称轴公式，二次函数图象上点坐标的特征及抛物线与，轴的交点．
 

7.【答案】： 

【解析】解：：：，
：．
故答案为：：．
根据比例式的性质求解即可求得答案．
本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实数与向量相乘的运算，单位向量．根据单位向量的长度为，结合向量的方向性解答即可．
【解答】
解：向量与单位向量方向相反，且，
．
故答案为．  

9.【答案】： 

【解析】解：两个相似三角形的周长比为：，
两个相似三角形的相似比为：，
对应中线的比为：，
故答案为：：．
根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应中线的比等于相似比可得到答案．
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应中线比等于相似比是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将代入得，
解得，
故答案为：．
将代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

11.【答案】上升 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为轴，
轴右侧部分上升，
故答案为：上升．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位，所得函数解析式为：．
故答案为：．
直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
故答案为：．
利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
四边形为平行四边形，
，∽，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据题意可得，四边形为平行四边形，则，易证明∽，根据相似三角形的性质得，以此求出，由即可解答．
本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：迎水坡的坡度是：，
，
，
，

故答案为：．
根据坡度的定义可得，进而可得的值，再根据可得答案．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接交于，如图：

四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
中，，，
，
，
，，
∽，
，
即，
，
故答案为：．
连接交于，易证得≌，可得，由勾股定理求得的长，求得的长，证∽，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．准确作出辅助线是解此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：以为原点，以所在直线为轴建立直角坐标系，过作于，过作交延长线于，如图：

，，，
，
，
，
，
，
将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，
，，
，
，
≌，
，，
，
由，得直线解析式为，
在中，令得，
，
，
，
故答案为：．
以为原点，以所在直线为轴建立直角坐标系，过作于，过作交延长线于，由，，，可得，，即得，根据将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，可得≌，从而，即得直线解析式为，故E，从而．
本题考查正方形中的旋转问题，解题的关键是建立直角坐标系，求出点的坐标．
 

18.【答案】 

【解析】解：点、是边的勾股分割点线段，，，
，
，
，，
∽，
，
，
同理，
，
：：．
故答案为：．
由点、是边的勾股分割点线段，，，可得，而，即得，，，，从而可得答案．
本题考查勾股定理及应用，涉及新定义，相似三角形的判定与性质，解题的关键是读懂新定义，用含的式子表示和．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算、特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得，，易证∽，则，由即可求解；
先算出，再根据即可求解．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题关键．
 

21.【答案】解：，，，
，
解得，
在中，，
，
，
在中，，
；
，平分，
，，
，
又，
∽，
，
即．
解得． 

【解析】根据，，可以得到的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据的长，从而可以得到的长，再利用勾股定理可以得到的长，然后即可求得的值；
根据题意和等腰三角形的性质，可以得到∽，然后即可计算出的长．
本题考查解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：设的长为米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
解得米，
米，
路灯顶端到地面的距离的长约为米． 

【解析】设的长为米，分别根据三角函数值表示，，再列方程求解．
本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的意义是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，
∽，
，，
，
，
，即，
∽；
∽，
，，
，
∽，
，
，
． 

【解析】根据可得，，则∽，，根据相似三角形的性质结合题意可推出，由等角的补角相等得，以此即可证明；
由可知∽，由相似三角形的性质得，，易证明∽，由相似三角形的性质得，以此即可求解．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
 

24.【答案】解：将、代入得，
，解得，
该抛物线的表达式为．
当时，，
点的坐标为；
连接，过点作，垂足为点．

在上，
，，
，，
，，，
，
．
，
；
由题意可知，点在第二象限．过点作轴，垂足为点．

，
，
．
，
设，则，．
，
将代入，得，
解得或舍去，
点的坐标为 

【解析】将和点代入即可求解；
过点作，垂足为点求出，根据等腰直角三角形的性质可得，则，根据正切函数的定义即可求解；
过点作轴，垂足为点可证出，根据正切函数的定义以及二次函数图象上点的坐标特征即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、锐角三角函数、以及等腰直角三角形的性质等知识，由两个角相等，熟练掌握待定系数法以及锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：过作，垂足为点，
，
．
，
，
，
又，，
，；
当时，得，，．
，
点是射线与直线的交点，
过作，交于点，

则．
，．
，
，，
，
当点是射线与的交点时，
与相似，
又，
，即，
又，
∽．
，
即．
解得，
过作，垂足为点．

由，得，，．
，
．
．
，
．
解得，
，
当点是射线与的交点时，
，，
又与相似，
．
，，
∽，
即解得．
，
，
．
．
解得．
综上所述，当与相似时，的长为或． 

【解析】过作，垂足为点，根据平行线分线段成比例定理得，从而解决问题；
过作，交于点，则则，，可得答案；
分点是射线与的交点或点是射线与的交点两种情形，分别利用相似三角形的判定与性质可得答案．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，动点问题，用含的代数式表示各线段的长是解题的关键．