2023年广东省惠州市小金茂峰学校中考数学模拟试卷（含解析）

2023年广东省惠州市小金茂峰学校中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个几何体如图水平放置，它的俯视图是(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  春暖花开，城市按下快进键，天津地铁客流持续增长，年月日客运量达到人次，截止当天该客运量创近年新高将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在一个不透明的袋中装有个只有颜色不同的球，其中红球个、黄球个和白球个，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知点与点都在反比例函数的图象上，那么与的关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

7.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在直径为的中，点，在圆上，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，某校劳动实践课程试验园地是长为，宽为的矩形，为方便活动，需要在园地中间开辟一横两纵共三条等宽的小道如果园地余下的面积为，则小道的宽为多少？设小道的宽为，根据题意，可列方程为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  图是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点的压强单位：与其离水面的深度单位：的函数解析式为，其图象如图所示，其中为青海湖水面大气压强，为常数且计算结果保留一位小数根据图中信息分析，下列结论正确的是(    )
 

A. 青海湖水深处的压强为
B. 青海湖水面大气压强为
C. 函数解析式中自变量的取值范围是
D. 与的函数解析式为

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  如图，直线，的直角顶点在直线上，若，则的度数为______ ．

13.  五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是        ．

14.  已知，是方程的两个根，则代数式的值等于______．

15.  如图，已知为等边三角形，，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接，点为上一点，且连接，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解不等式：．

17.  本小题分
我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机采访了______ 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______ 度；
若该校有名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率．

18.  本小题分
如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼的高度进行测量，从小敏家阳台测得点的仰角为，测得点的俯角为，已知观测点到地面的高度，求居民楼的高度结果保留整数．参考数据：，，．

19.  本小题分
在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
求证：≌；
证明四边形是菱形．

20.  本小题分
某餐饮公司推出甲、乙两种外卖菜品，已知售出份甲菜品和份乙菜品可获利元，售出份甲菜品和份乙菜品可获利元．
求每份甲、乙菜品的利润各是多少元？
根据营销情况，该餐饮公司每日都可以销售完甲、乙两种外卖菜品份，且甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，应该如何设计两种菜品的数量才能使获得的利润最高？最高利润是多少？

21.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，点是外一点，平分，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，点是的中点，连接．
求证：是的切线；
若的直径为，，求的长．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
求一次函数和反比例函数的解析式；
点是平面直角坐标系内一点，轴，于点，连接，若，求点的坐标．

23.  本小题分
已知抛物线为常数，的顶点为．
Ⅰ当时，求该抛物线顶点的坐标；
Ⅱ若该抛物线与轴交于点，点在点左侧，与轴交于点．
点是该抛物线对称轴上一个动点，当的最小值为时，求该抛物线的解析式和点的坐标．
连接，与抛物线的对称轴交于点，过点作，垂足为，若，求该抛物线的解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有两条纵向的虚线．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的棱用虚线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：从袋中任意摸出一个球，共有种等可能结果，其中是黄球的有种结果，
从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为，
故选：．
从袋中任意摸出一个球，共有种等可能结果，其中是黄球的有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数的性质熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数图象的增减性来比较与的大小．
【解答】
解：，
反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小．
又点与点都位于第一象限，且，
．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：


．
故选：．
利用分式的加法的法则进行运算即可．
本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
是的直径，
，
，
故选：．
利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，然后根据圆内接四边形对角互补求出，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而求出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：小道的宽为米，
种植部分可合成长为米，宽为米的矩形．
依题意得：．
故选：．
由小道的宽为米，可得出种植部分可合成长为米，宽为米的矩形，根据种植面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，直线过点和，
，
解得．
直线解析式为：故D错误，不符合题意；
青海湖水面大气压强为，故B错误，不符合题意；
根据实际意义，，故C错误，不符合题意；
将代入解析式，
，即青海湖水深处的压强为，故A正确，符合题意．
故选：．
由图象可知，直线过点和由此可得出和的值，进而可判断，；根据实际情况可得出的取值范围，进而可判断；将代入解析式，可求出的值，进而可判断．
本题主要考查一次函数的实际应用，涉及一次函数的图象和性质，待定系数法等知识．关键是计算过程中需要结合实际意义．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
由平行线的性质可得，然后根据平角的性质可得即可求得．
本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质、平角的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于，交于，
，
，
故答案为：．
过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个根，
，，
则原式


，
故答案为：
由，是方程的两个根知，，代入到原式计算可得．
本题主要考查根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过作，交于，

为等边三角形，
，
将边绕点顺时针旋转，得到线段，
，
，
，
，，
，
，
取的中点，连接，则，
点在以为圆心，为直径的圆上运动，
为定值，
当、、三点共线时，的长最小，
过点作于，
则，
，
．
故答案为：．
如图，过作，交于，根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，求得，取的中点，连接，则，推出点在以为圆心，为直径的圆上运动，当、、三点共线时，的长最小，过点作于，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
去分母得：，
移项、合并同类项得：，
化系数为得：． 

【解析】根据实数的运算解答即可；
根据一元一次不等式的解法解答即可．
此题考查一元一次不等式的解法，关键是根据一元一次不等式的解法和实数的运算解答．
 

17.【答案】   

【解析】解：由题意可得，
此次调查一共随机采访了：名，
“灰”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：，；
由题意可得，名，
答：估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数有名；
由题意可得，

根据上图可得，总共有种情况，恰好抽中，两人的情况的有种，
．
利用两图均有的蓝即可得到随机采访的学生人数，再用乘以灰的比例即可得到答案；
用学校总人数乘以红色收集桶的比例；
利用树状图列出所有情况及恰好抽中，两人的情况，根据即可得到答案．
本题考查求样本容量，求扇形图中圆心角，利用样本估算全体的情况，用树状图法求概率，解题的关键是利用两图共有的量求出样本量．
 

18.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
由题意得，，，，
在中，，
，
在中，，，
，
，
答：居民楼的高度约为． 

【解析】通过作高，构造直角三角形，在两个直角三角形中用直角三角形的边角关系可求出、即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

19.【答案】证明：，
，
是的中点，是边上的中线，
，，
在和中，
，
≌；
由知，≌，则．
，
．
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，是的中点，
，
四边形是菱形． 

【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定，主要考查学生的推理能力．
根据证≌；
利用中全等三角形的对应边相等得到结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到，从而得出结论．
 

20.【答案】解：设每份菜品的利润为元，每份菜品的利润为元，
根据题意得，
解得，
答：每份菜品甲的利润为元，每份菜品乙的利润为元；
设购进甲菜品份，总利润为元，
根据题意得，
解得，
，
，
随着的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为元，
份，
答：购进甲菜品份，乙菜品份，所获利润最大，最大利润为元． 

【解析】设每份菜品甲的利润为元，每份菜品乙的利润为元，根据售出份甲菜品和份乙菜品可获利元，售出份甲菜品和份乙菜品可获利元，列二元一次方程组，求解即可；
设购进甲菜品份，总利润为元，根据甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，求出的取值范围，再表示出与的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时进货方案，进一步求出最大利润即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键．
 

21.【答案】证明：如图所示，连接，

平分，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；

解：是直径，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，，
∽，
，即，
． 

【解析】如图所示，连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角推出，则，即可证明，则是的切线；
先由直径所对的圆周角是直角得到，再证明是的中位线，得到，进一步证明∽，利用相似三角形的性质即可求出．
本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，平行线的性质与判定，等边对等角，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

22.【答案】解：将代入反比例解析式得：，
则反比例解析式为，
将代入反比例解析式得：，即．
将与坐标代入得：，
解得：，
则一次函数解析式为；

轴，于点，且，，
，，
，．
，
在中，，
，
即，
解得，，
点的坐标为或． 

【解析】把点的坐标代入反比例函数解析式中，确定出反比例函数的解析式，再把点的横坐标代入反比例函数解析式中得到点的坐标，最后把点和点的坐标分别代入一次函数解析式中即可确定出一次函数解析式；
由轴，于点，且，，得出，，，，然后在中利用勾股定理列出方程，解方程即可．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，勾股定理，平行于轴的直线上任意两点的纵坐标相同，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

23.【答案】解：当时，，
顶点的坐标为；
，
当时，，则，
当时，，
或，
，，
，
如图，连接交对称轴于，此时值最小，

，
，即，
该抛物线的解析式为：；
抛物线的对称轴是：直线，
，，
设的解析式为：，
，解得：，
的解析式为：，
当时，，
；
如图，

，
，
由知：，
，
，
，
，
，
，
解得：舍，，
该抛物线的解析式为：． 

【解析】将代入并配方后可得结论；
令和可得点，，的坐标，确定的最小时点的位置，根据，列方程可得的值，从而得抛物线的解析式，确定的解析式可得点的坐标；
根据三角形面积公式和面积和列方程可解答．
本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形的面积和四边形的面积等知识，数形结合和方程思想的运用是解题的关键．