2023年广东省惠州市惠东县吉隆实验学校中考数学三模试卷(含解析）

2023年广东省惠州市惠东县吉隆实验学校中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知关于的方程有两个不相等实数根，则可以取以下哪个数值(    )

A.  B.  C.  D.

3.  经文旅部数据中心测算，年“五一”假期，北京市接待旅游总人数万人次，比年增长，恢复到年的，旅游总收入亿元，比年增长倍，恢复到年的将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  九章算术中第七章盈不足记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出钱，则多出钱；若每人出钱，则还差钱．问人数、物品价格各是多少？”设有个人，物品价格为钱，则下列方程组中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是(    )

A. 七边形 B. 六边形 C. 五边形 D. 四边形

7.  某公司本月信誉评分为分，比上个月的信誉评分提高了设该公司上个月的信誉评分为则(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，直线，平分，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  不等式的解集表示在数轴上正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，，，使得，则的取值不可能为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  从张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这个字的卡片大小、形状完全相同中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是______．

13.  甲、乙两同学近期次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差，乙同学成绩的方差，则他们的数学测试成绩较稳定的是______ 填“甲”或“乙”．

14.  如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点与点在同一个反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，那么矩形的面积等于______．

15.  如图，在中，，，为的中点，点是射线上的一个动点，当为直角三角形时，则的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）

16.  一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为米、宽为米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：将背水坡的坡度由：改为：；用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．
求整修后背水坡面的面积；
如果栽花的成本是每平方米元，种草的成本是每平方米元，那么种植花草至少需要多少元？

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：

18.  本小题分
解分式方程：．

19.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
若这个方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
当时，求方程的两个根．

20.  本小题分
为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动该校从全校名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动每人必选且只选一种”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
参加问卷调查的学生共有______ 人；
条形统计图中的值为______ ，扇形统计图中的度数为______ ；
现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．

21.  本小题分
如图，已知直线经过点，，交轴于点．
直线的解析式为______，______；
若直线与直线相交于点，求点的坐标；
根据图象，直接写出关于的不等式的解集．

22.  本小题分
已知四边形内接于，．
如图：求证：；
如图，四边形的外角平分线交于点，连接并延长交的延长线于点，求证：；
如图，在的条件下，连接，，若是的直径，，，求的长．

 

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点．

求，，三点的坐标；
如图，连接，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作于点，轴交直线于点，求面积的最大值；
如图，点在线段上点不与点重合，点、关于原点对称，射线、分别与抛物线交于、两点，连接、，若的面积为，四边形的面积为，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
要使方程有两不相等实数根，则有，
；
可以取，
故选：．
方程有两个不相等的实数根，则有，据此即可得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围．
本题主要考查了一元二次方程的相关知识，解题的关键是明确一元二次方程的根与判别式之间的关系．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据每人出钱，则多出钱，可得，根据每人出钱，则还差钱，可得，从而可以列出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

6.【答案】 

【解析】解：外角是，
，则这个多边形是六边形．
故选：．
一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是度，利用除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数．
本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：设该公司上个月的信誉评分为，根据题意得，
．
故选：．
设该公司上个月的信誉评分为，等量关系是：上月信誉评分本月信誉评分，依此列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
故选：．
根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

故选：．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，
则在该函数图象上个不同的点，，，也都在函数的图象上，
即：正比例函数的图象与如图所示的图象的交点，
由图象可知，正比例函数的图象与如图所示的图象的交点可能有个或个或个或个或个．
故选：．
设，则在该函数图象上个不同的点，，，也都在函数的图象上，根据正比例函数的图象与如图所示的图象的交点的个数即可得出答案．
本题主要考查了函数图象，数形结合是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案是：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
由在“加”“油”“向”“未”“来”这个字的卡片中只有张写有“加”字，利用概率公式计算可得．
本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：在“加”“油”“向”“未”“来”这个字的卡片中只有张写有“加”字，
这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是，
故答案为：．  

13.【答案】乙 

【解析】解：甲同学成绩的方差，乙同学成绩的方差，
，
它们的数学测试成绩较稳定的是乙．
故答案为：乙．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象和性质，矩形的性质的有关知识，关键是根据点的坐标可得出的值．根据点的坐标可得出的值，进而得出矩形的面积．
【解答】
解：设点在反比例函数的图象上，可得：，
解得：，
因为第一象限内的点与点在同一个反比例函数的图象上，
所以矩形的面积等于，
故答案为．  

15.【答案】或或或 

【解析】解：在中，，，为的中点，
，，
若时，

，，，
≌，
，
；
若，且点在延长线上时，

为的中点，
，
；
若，且点在线段上时，

为的中点，
，
，
若，则点与重合，此时，
综上所述，线段的长为：或或或．
故答案为：或或或．
分或或三种情形，分别画出符合题意的图形，从而解决问题．，
本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
 

16.【答案】解：作于．
原来的坡度是：，，
设，，，
又米，，则米，
设整修后的斜坡为，由整修后坡度为：，有，
，
米，整修后背水坡面面积为米．

要依次相间地种植花草，则必然有一种是块，有一种是块，而栽花的成本是每平方米元，种草的成本是每平方米元，
两种方案中，选择种草块、种花块的方案花费较少．
整修后背水坡面面积为米，
每一小块的面积是米，
需要花费元． 

【解析】本题可通过构建直角三角形来解，过作于，直角三角形中根据的坡度，设出、的长，然后根据勾股定理求出未知数的值，也就求出了、的长，直角三角形中，有坡度，有的长，就能求出的长，有了的长，坡的面积便可求出了；
可通过不同种植方法的成本来得出最佳种植方案．
两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边是解决此类题目的基本出发点．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
方程两边同乘以，得
，
解得，
当时，，
所以分式方程的解为． 

【解析】根据解分式方程的步骤解答即可，去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．
本题考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为，所以应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原分式方程的解．将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．
 

19.【答案】解：方程有两个不相等的实数根，
，
整理得：，
解得：，
，
的取值范围是：且；
方程的两个解满足，
，
解得，
而且，
的值为． 

【解析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，求出的范围即可；
利用根与系数的关系得到，解得，然后利用中的范围确定满足条件的的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

20.【答案】     

【解析】解：人，
参加问卷调查的学生共有人．
故答案为：．

，
，
故答案为：；．

画树状图如图：

共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
利用即可求出参加问卷调查的学生人数；
根据，即可得出答案．
画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式可得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，熟练掌握条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：直线经过点，，
，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
点坐标为，
．
故答案为：，；
解方程组，
解得，
则点的坐标为；
由图象可知，关于的不等式的解集为．
利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点坐标，然后利用勾股定理求出；
将两条直线的解析式联立组成方程组，解方程组求出点的坐标；
利用数形结合思想解答．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，

四边形内接于，
，
，
，
；
证明：如图，连接，，

由知，
，
四边形内接于，
，，
，
，，
≌，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
，

；
解：如图，连接、，延长交于点，连接，

、是的半径，
，
点在的中垂线上，
由可知，
点在的中垂线上，
垂直平分，
，，
 在中．，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
为的直径，
，
，
平分，
，
，
为的直径，
，
在中，，
，
 由可知≌，
，
的长为． 

【解析】如图，连接，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论；
如图，连接，，由知，求得根据圆内接四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论；
如图，连接、，延长交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，推出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据勾股定理得到，设，则，求得，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，角平分线的定义，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：令，则，
解得或，
，，
令，则，
；
，，
，
，
轴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，则，
，
，
当时，面积的最大值为；
设，则，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
，
同理可求直线的解析式为，
联立方程组，
解得或，
，
，
，，
． 

【解析】令，求点、的坐标，令，求点的坐标即可；
先判断是等腰直角三角形，设，则，则，当时，面积的最大值为；
设，则，由用待定系数法求直线、的解析式，再通过联立方程组的方法求出点、的坐标，分别求出，，即可求．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键．