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专题04 相似三角形的四种基本模型-初中数学9年级下册同步压轴题（教师版含解析）
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这是一份初中数学人教版九年级下册本册综合当堂检测题，文件包含专题04相似三角形的四种基本模型-初中数学9年级下册同步压轴题教师版含解析docx、专题04相似三角形的四种基本模型-初中数学9年级下册同步压轴题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
专题04 相似三角形的四种基本模型
模型一、A字型(8字型)
例1．(基本模型)如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
【答案】
【详解】如图，过点D作BN的平行线交AC于点H．
在中，
因为M为AD的中点，，
所以N为AH的中点，即．
在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，
所以．
所以．
例2．(培优)如图，中，点D在边上，且．
(1)求证：；
(2)点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．
(3)在(2)的条件下，若，的周长等于30，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)＝60°；(3)AF＝11
【详解】(1)证明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，
∴ ∠A＝90°－∠ABD．
∵∠BDC＋∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．
∴ ∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．
∴DB＝AB．
解：(2)如图1，作CH＝BE，连接DH，
∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，
∴∠BAE＝∠DBC．
∵由(1)知，∠BAD＝∠BDA，
又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，
∴∠CAE＝∠C．
∴AE＝CE．
∵BE＝CH，
∴BE＋EH＝CH＋EH．
即BH＝CE＝AE．
∵AB＝BD，
∴△BDH≌△ABE．
∴BE＝DH．
∵BE＝CD，
∴CH＝DH＝CD．
∴△DCH为等边三角形．
∴∠ACB ＝60°．
(3)如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．
∵DH∥AE，
∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．
∴△ACE是等边三角形．
设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，
∵DH∥AE，
∴△BFE∽△BDH．
∴．
∴，
．
∵△ABF的周长等于30，
即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，
解得AB＝16－．
在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，
∴BO＝16－．
在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，
即．
解得(舍去)．
∴AC＝．
∴AF＝11．
【变式训练1】如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且＝m，＝n．
(1)若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
(2)若＝k(k≠0)求m，n之间的关系(用含k的代数式表示)．
【答案】(1)①证明见解析；②mn有最大值1；(2)n＝k﹣km+1．
【详解】解：设AM＝a，AN＝b.
∵＝m，＝n，
∴AB＝am，AC＝bn，
∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝(1﹣m)a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝(n﹣1)b.
(1)①若点O是线段BC中点，
如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，
∴∠OBH＝∠OCN.
在△OBH与△OCN中，
，
∴△OBH≌△OCN(ASA)，
∴BH＝CN＝(n﹣1)b.
∵BH∥AN，
∴＝，即＝，
∴1﹣m＝n﹣1，
∴m+n＝2；
②由①知，m+n＝2，
∴m＝2﹣n，
∴mn＝(2﹣n)n＝﹣n2+2n＝﹣(n﹣1)2+1，
∴当n＝1时，mn有最大值1；
(2)若＝k(k≠0)，
如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，
∴∠OBG＝∠OCN.
在△OBG与△OCN中，
，∴△OBG∽△OCN，
∴＝，即＝k，∴BG＝b.
∵BG∥AN，∴＝，即＝，∴1﹣m＝，∴n＝k﹣km+1.
【变式训练2】矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
(1)如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
(2)如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
【答案】(1)；(2)BF＝3．
【详解】解：(1)如图①中，取DE的中点M，连接PM．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，
∴，∴．
(2)如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，
∴，∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴(3x)2+(4+x)2＝122，
解得：x＝(负值已经舍弃)，
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△EGP中，GP＝，
∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，
∴，∴，∴BF＝3．
模型二、X(8)字型
X字型(平行) 反X字型(不平行)
例1．(基本模型)已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
(1)求证：DF•AB=BC•DG；
(2)当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【详解】证明：(1)∵BC2=BF•BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，∴，
∵DE∥BC，∴，∴，
∴DF：BC=DG：BA，∴DF•AB=BC•DG；
(2)作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，∵DE∥BC，∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，为的中位线，∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴，∴，∴，
即2DF•EG=AF•DG．
例2．(培优)如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．
(1)求证：∠BDE=∠ACD；
(2)若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；
(3)将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB·BE=AD·BC；
②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)①见解析；②．
【详解】(1)证明：∵AC=AB，
∴∠ACB=∠B，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，
∴∠BDE=∠ACD；
(2)证明：如图1，
∵EG∥AC，
∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB，
由(1)知：∠DCA=∠BDE，
∵DC=DE，
∴△DCA≌△EDG(AAS)，
∴AD=EG，
∵∠B=∠ACB=∠BEG，
∴EG=BG=AD，
∴DG=AB，
∵DE=2DF，AF∥EG，
∴，
∴DG=2AD=2AG，
∴AB=DG=2AG；
(3)解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，
则有∠A=∠G，
∵AB=AC，CD=DE，
∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，
∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC，
∴∠ACD=∠EDG，
在△DCA和△EDG中，
∵，
∴△DCA≌△EDG(AAS)．∴DA=EG，
∵AC∥EG，∴△ACB∽△GEB，
∴，
∵EG=AD，AC=AB，∴AB•BE=AD•BC；
②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD，
∵AF∥EG，
∴，
∵DE=4DF，
∴，
设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，
∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，
∵AH∥PD，
∴，
设PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，
∴，
设BE=y，BC=4y，
∴S△ABC=BC•AH===8yh，
S△DCE=CE•PD==yh，
∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15．
【变式训练1】 如图，正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处．
(1)当时，如图，延长，交于点，
①的长为________；
②求证：．
(2)当点恰好落在对角线上时，如图，此时的长为________；________；
(3)当时，求的正弦值．
【答案】(1)①12；②见解析；(2)，；(3)或．
【详解】解：①如图，由可得：，
∴，即，
∴的长为．
故答案为：．
②证明：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴．
(2)如图2，由折叠可得，∠BAE＝∠CAE，
由ABCD可得，∠BAE＝∠CFE，
∴∠CAE＝∠CFE，
∴FC＝AC，
又∵等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，
∴CF＝12，
即CF的长为12，
由折叠可得，BE＝B'E，
∴等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，
∴；
故答案为：；；
①当点在线段上时，如图3，的延长线交于点，
由可得：，
∴，即，
∴，
由②可知．
设，则，
则，
在中，，
即，
解得：，
则，
∴．
②当点在的延长线上时，如图4
由可得：，
∴，即，
∴，
则，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
则，
∴．
综上所述：当时，的正弦值为或．
【变式训练2】如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD相交于点F．
(1)求证：OE⊥CD；
(2)如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．
【答案】(1)见解析；(2)CH的长为6．
【详解】(1)∵四边形ABCO是矩形，
∴OA=BC=8，OC=AB=6，
在Rt△OCE中，CE=3，
∴OE=，
∵AB∥OC，即AD∥OC，且AD=2，
∴，
∴，
∴PA=4，
∴PO=PA+OA=12，
∴在Rt△OPC中，OC=6，
∴CP=，
∵OA∥BC，即OP∥CE，
∴，
∴，
∴EF=OE=，
CF=CP=，
∵()2+()2==9，
∴EF2+CF2=CE2，
∴△CEF是直角三角形，
∴∠CFE=90°，
∴OE⊥CD；
(2)在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB﹣AD=6﹣2=4，
根据勾股定理，得CD=，
∵点G是CD的中点，
∴CG=DG=2，
由(1)知：CP=6，
∴DP=CP﹣CD=2，
∴点G是CP的三等分点，
∵OA∥BC，即OP∥CH，
∴，
∴，
∴CH=6．
答：CH的长为6．
【变式训练3】已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段AD上一点，连接CP，点E在对角线AC上(不与点A，C重合)，∠CPE＝∠ACB，PE的延长线与BC交于点F．
(1)如图1，当AP＝2时，求CF的长；
(2)如图2，当PF⊥BC时，求AP的长；
(3)当△PFC是等腰三角形时，求AP的长．
【答案】(1)CF＝；(2)AP＝；(3)AP的长为6．
【详解】(1)如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
Rt△PDC中，∵AP＝2，
∴PD＝CD＝6，
∴PC＝＝6，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠CPE＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠CPE，
∵∠PCE＝∠PCA，
∴△CEP∽△CPA，
∴，即，
∴CE＝7.2，
∴AE＝10﹣7.2＝2.8，
∵AP∥CF，
∴，即，
∴CF＝；
(2)如图2，
∵AD∥BC，PF⊥BC，
∴AD⊥PF，
∴∠APE＝90°，
tan∠DAC＝
设EP＝3x，AP＝4x，则AE＝5x，BF＝AP＝4x，
∴CE＝10﹣5x，PD＝8﹣4x，
由(1)知：CP2＝CE•AC，
Rt△PCD中，PC2＝PD2+CD2，
∴PD2+CD2＝CE•AC，
∴62+(8﹣4x)2＝10(10﹣5x)，
解得：x＝0(舍)或x＝，
∴AP＝4x＝；
(3)分三种情况：
①当PF＝PC时，如图3，
设AP＝x，则PD＝8﹣x，CF＝2PD＝16﹣2x，
∵AP∥CF，
∴，即，
∴，
∴，
由(2)知：用CE•CA＝CP2＝CD2+DP2，
∴＝62+(8﹣x)2，
∵x≠0，
∴x2﹣32x+156＝0，
(x﹣6)(x﹣26)＝0，
x＝6或26(舍)，
∴AP＝6；
②当FC＝PC，如图4，连接AF，
∴∠CPE＝∠CFP＝∠APE＝∠ACB＝∠PAC，
∴AE＝EP，EF＝CE，
∵∠AEF＝∠PEC，
∴△AEF≌△PEC(SAS)，
∴AF＝PC＝CF，
设CF＝AF＝a，则BF＝8﹣a，
Rt△ABF中，由勾股定理得：62+(8﹣a)2＝a2，
解得：a＝，
∴CF＝CP＝，
设AP＝x，则PD＝8﹣x，
∵CP2＝CD2+DP2，
∴，
解得：x＝(舍)或；
当x＝时，AP＝CP＝CF＝AF，且AC＝PF
∴四边形AFCP是正方形，此种情况不存在；
③当FC＝FP，如图5，P与A重合，
该情况不符合题意；
综上：AP的长为6．
模型三、子母型
已知：∠ 1=∠2；结论：△ACD ∽△ABC
例1．(基本模型)如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．
(1)求证：△AED∽△ADC；
(2)若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
【答案】(1)见解析；(2)2
【详解】解：(1)证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．
又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．
(2)∵△AED∽△ADC，
∴，即，
∴AD＝2或AD＝﹣2(舍去)．
又∵AD＝AB，∴AB＝2
例2.(培优)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．
(1)如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；
(2)如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；
(3)如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【详解】(1)证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴∽，
∴，
∴；
(2)解：∵，
∴设，则()，
∵，，
同(1)得：，
∴，
在中，，
过作于，如图2所示：
则，
在中，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴；
(3)解：过点作于，如图3所示：
∵，∴设，则()，∴，
∵，，∴，∴
又∵，∴∽，
∴，，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
∴，
∴；故答案为：．
【变式训练1】在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点．
(1)如图，当点与点重合时，求的长．
(2)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域．
(3)连接，当与相似时，求线段的长．
【答案】(1)3；(2)；(3)或1
【详解】(1)∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
(2)过点作，垂足为点，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴2x-y=4,
当点在线段上时，
∴．
(3)∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当与相似时，
①若，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵设，，，
∴．
②若，设与交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AB=4，BC=3，则AC=5，
设，
由EO∥BC
∴△AEO∽△ABC
∴即
则，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
综上所述，线段的长为或1时与相似．
【变式训练2】如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．
(1)求证：△ACD∽△ABE；
(2)若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由．
【答案】(1)见详解；(2)相似，理由见详解；
【详解】证明：(1)∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°．
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABE
(2)连接DE，
∵△ACD∽△ABE,
∴AD：AE＝AC：AB．
∴AD：AC＝AE：AB．
∵∠A＝∠A．
∴△AED∽△ABC，
【变式训练3】已知正方形的边长为4，点在边上，点在边上，且，和交于点．
(1)如图，求证：
①
②
(2)连接并延长交于点，
①若点为的中点(如图)，求的长．
②若点在边上滑动(不与点重合)，当取得最小值时，求的长．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)①；②
【详解】(1)证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴AE=BF；
②由①得：△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AE⊥BF；
(2)解：①如图2所示：
∵E为BC的中点，
∴CF=BE=BC=2，
∴BF=，
由(1)得：AE⊥BF，
∴∠BGE=∠ABE=90°，
∵∠BEG=∠AEB，
∴△BEG∽△AEB，
∴，
设GE=x，则BG=2x，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+(2x)2=22，
解得：x=，
∴BG=2×=，
∵AB∥CD，
∴，即，
解得：BH=；
②由(1)得：∠AGB=90°，
∴点G在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为M，
由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴GM=AB=BM=2，
∵AB∥CD，
∴=1，
∴CF=CG，
∵CF=BE，
∴CF=CG=BE，
设CF=CG=BE=a，则CM=a+2，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=(a+2)2，
解得：a=2-2，即当CG取得最小值时，BE的长为2-2．
模型四、旋转型
例1．(基本模型)在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．
【探究】求证：．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1)的值为______．
(2)若，则MN的长为______．
【答案】(1)8
(2)
【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论；
【应用】(1)首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由，得，则；
(2)由，得，由(1)知，得，从而得出答案．
(1)
∵△ABC为等腰直角三角形，，
∴，同理，，
∵，
，
∴，∴；
(2)
(1)∵等腰直角三角形的斜边长为4，
∴，∵，
∴，∴，∴，
故答案为：8；
(2)∵，∴，∵，
∴，∴，
故答案为：．
例2．(培优)【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______；
【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由；
【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为(0°＜＜360°)，当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度．
【答案】BD＝CE，BD⊥CE； BD⊥CE，理由见解析；图见解析，
【详解】解：(1)BD＝CE，BD⊥CE；
(2)BD⊥CE．理由如下：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△CEA≌△BDA，
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴BD⊥CE．
(3)如图所示，过点A作AF⊥CE，垂足为点F．
根据题意可知，Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD，
∴，∴．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，∠BEC＋∠DEA＝∠DEA＋90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．
在旋转前，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，∴，∵AC⊥BD，
∴，∴．∴，
在Rt△ACD中，CD边上的高，旋转后，得，，∴．
【变式训练1】如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．
(1)如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE＝______；
(2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：AD⊥CD；
(3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程．
【答案】(1)22.5°；(2)见解析(3)∠DAE+2∠ADM=180°，详见解析
【解析】(1)解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，
由三角形外角性质知，∠ADE=∠ACE+∠DAC，∠AED=∠ECB+∠B，
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ACE+∠DAC=∠ECB+∠B，
∵AF⊥BC，∴∠BAF=∠CAD=45°，∴∠ACE=∠BCE，
又∠ACB=45°，∴∠ACE=22.5°，故答案为：22.5°．
(2)解：连接AF，过A作AH⊥EF于H，如图所示，
∵∠BAC=∠DAE，AD=AE，AB=AC，
∴∠CAF=∠BAF=∠DAH=∠EAH，
∴∠CAD=∠HAF，
由△ACF∽△ADH知，
∴，∴△ACD∽△AFH，∴∠ACD=∠AFH，∴∠CDF=∠CAF，
∵∠ADE=∠AED=90°－∠DAE，∴∠ADE+∠CDF=90°，
故∠ADC=90°，即AD⊥CD．
(3)解：将AN绕A逆时针旋转∠BAC的度数，交MD延长线于Q，
∵∠BAC=∠QAN，∴∠QAC=∠BAN，
∵∠ABM+∠ACM=180°，∠ACM+∠ACQ=180°，∴∠ABM=∠ACQ，
∵AB=AC，∴△ACQ≌△ABN，∴AN=AQ，
∵∠BAC=2∠NAD=∠NAQ，∴∠QAD=∠NAD，
又AD=AD，∴△AND≌△ADQ，∴∠AND=∠ADQ，
即∠ADM+∠MDN=∠ADE+∠EDQ，∴∠ADM=∠ADE，
∵AD=AE，
∴∠DAE+2∠ADE=180°，
即∠DAE+2∠ADM=180°．
【变式训练2】［问题发现］
(1)如图1，在Rt△ABC中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，已知．请直接写出线段与的数量关系；
［实验研究］
(2)在(1)的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论；
［结论运用］
(3)在(1)(2)的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到，，三点共线时，请求出线段的长．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)线段的长为或
【解析】(1)
解：，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，，
点与点重合，
，，，
；
，
，
，
；
(2)
解：．
证明：由(1)得，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
(3)
解：如图1，，，点为的中点，
，，
，
的面积为8，
，
，
，
，
点与点重合，四边形是正方形，
；
如图2，、、三点共线且点在线段上，
，
，
，
．
，
；
如图3，、、三点共线且点在线段上，
则，
．
，
，
综上所述，线段的长为或．
模型五、一线三垂直型
例1．(模型探究)【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上(点P不与点A、B重合)，．易证．(不需要证明)
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上(点P不与点A、B重合)，．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上(点P不与点A、B重合)，连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【答案】【探究】3；【拓展】4或．
【详解】探究：证明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
当PC=PE时，△ACP≌△BPE，
则PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，
即，
解得：，
∴AP=ABPB=，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
例2．(培优)问题提出
(1)如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________．
问题探究
(2)如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
(3)某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．
【答案】(1)；(2)存在，或；(3)①；②963.3元．
【详解】解：(1)∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵点E为的中点，
∴
故答案为：；
(2)存在，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴．
∵Q是的中点，∴．
由折叠的性质得：，
当点P、、三点在同一条直线上时，，
∴．
∵，
∴．
∵∵，
∴，
∴，即，
解得：或；
(3)①根据题意做出辅助线，如图所示．
由题意得：．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
由，则．
∵，
∴，
∴，
∴
；
②由①知，，
当时，四边形的面积取得最小值为，
∴最低造价为(元)，
∴四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元．
【变式训练1】问题提出：
(1)如图①，矩形ABCD中，AD＝6．点E为AD的中点．点F在AB上，过点E作EGAB交FC于点G．若EG＝7．则S△EFC＝ ．
问题探究：
(2)如图②．已知矩形ABCD纸片中．AB＝9，AD＝6，点P是CD边上一动点．点Q是BC的中点．将△ADP沿着AP折叠，在纸片上点D的对应点是，将△QCP沿着PQ折叠．在纸片上点C的对应点是．请问是否存在这样的点P．使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时DP的长度．若不存在，请说明理由．
问题解决：
(3)某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务．部件要求：如图③，四边形ABCD中，AB＝4厘米，点C到AB的距离为5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问这种四边形金属部件每个的造价最低是多少元？(≈1.73)
【答案】(1)21；(2)存在，6或3；(3)802.75元
【详解】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，BC＝AD＝6，
∵EG∥AB，
∴CD∥EG∥AB，
∵点E为AD的中点，
∴S△EFC＝S△EGC+S△EGF＝×EG×BC+×EG×BC＝×EG×BC＝×7×6＝21，
故答案为：21；
(2)存在，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AB＝CD＝9，AD＝BC＝6，
∵Q是BC的中点，
∴CQ＝3，
由折叠的性质得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，
当点P、D′、C′三点在同一条直线上时，∠DPA+∠D′PA+∠CPQ+∠C′PQ＝180°，
∴∠DPA+∠CPQ＝90°，
∵∠DPA+∠DAP＝90°，
∴∠DAP＝∠CPQ，
∵∠ADP＝∠PCQ＝90°，
∴△ADP∽△PCQ，
∴，
即，
解得：DP＝6或DP＝3；
(3)如图，过点C作MN∥AB，过点D作MN的垂线，交MN于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥MN于点F，连接BD，如图③所示：
则BF＝EH＝5cm，
∵DC⊥BC，
∴∠ECD+∠BCF＝90°，
∵BF⊥MN，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ECD＝∠CBF，
又∵∠DEC＝∠CFB＝90°，
∴△DEC∽△CFB，
∴，
设DE＝x，则DH＝5﹣x，
∵BF＝5，BC＝CD，
∴，
∴，，
∴S四边形ABCD＝S四边形EDBF﹣S△CED﹣S△CFB+S△DAB
当x＝cm时，四边形ABCD的面积取得最小值(10+)cm2，
∴最低造价为(10+)×50≈802.75(元)，
∴四边形金属部件每个的造价最低约为802.75元．
【变式训练2】如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E是边BC上一个动点(不与点B、C重合)，AE的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FG∶GE＝1∶2，设BE＝x．
(1)求证：；
(2)当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；
(3)当∠FGD＝∠AFE时，求线段BE的长．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)．
【详解】(1)如图，因为AF⊥AE，
∴∠EAF＝∠BAD＝∠ADF＝90°．
∵同角的余角相等，
∴∠DAF＝∠BAE．
∵∠ABE＝∠ADF＝90°．
∴△ADF∽△ABE．
∴．
(2)由，得DF＝3BE＝3x．
如图，作GH⊥CF于H，那么GH//BC//AD．
根据题意结合平行线分线段成比例得：．
∵，，
∴．即GH＝，FH＝．
在Rt△GHD中，HD＝DF－FH＝＝＝，
∵∠ADG＝∠DGH，
∴cot∠ADG＝cot∠DGH＝＝=．
(3)当点G在△ADF内部时，很明显∠FGD和∠AFE不相等．所以点G在△ADF外部．
如图，作EM//GD交DC于点M，那么．
∴DM＝6x，
∴MC＝1－6x．
如果∠FGD＝∠AFE，那么AF//GD//EM．
∴∠AEM＋∠EAF＝180°．
∴∠AEM＝90°．
∴△ABE∽△ECM．
∴．即．
整理，得x2－9x＋1＝0．
解得，(不符合题意，舍去)．所以BE＝．
【变式训练3】如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(0，4)，A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．
(1)求证：△AOC∽△BEA；
(2)若m=3，则点B的坐标为 ；若m=﹣3，则点B的坐标为 ；
(3)若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？
(4)是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，，(3)，，(4)，，
【详解】解：(1)证明：由题意得：∠MAB=90°
∴∠CAO+∠BAE=90°
又∵∠CAO+∠ACO=90°
∴∠BAE=∠ACO
又∵∠COA=∠AEB=90°
∴△AOC∽△BEA
(2)的坐标为，或，
由勾股定理得：，
且相似比为，，
，
点的坐标为或，，
故答案为：，，；
(3)①当时，如图(1)
且相似比为，
求得点的坐标为，
，
解得 或4，
②当时，如图(2)
，
解得 或(舍去)
，，，
(4)①当时，如图(1)
若
即：
无解，
若，同理，解得或(不合题意舍去)，
②当时，如图(2)
若，
即：，
解得，取，
若，同理，解得无解，
③当时，如图(3)，
若，
即：，
解得(不合题意舍去)或，
若，同理，解得无解，
④当时，如图(4)
若，
，即：，
则无解，
若，同理，解得(不合题意舍去)或(不合题意舍去)；
则，，．
专题04 相似三角形的四种基本模型
模型一、A字型(8字型)
例1．(基本模型)如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
【答案】
【详解】如图，过点D作BN的平行线交AC于点H．
在中，
因为M为AD的中点，，
所以N为AH的中点，即．
在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，
所以．
所以．
例2．(培优)如图，中，点D在边上，且．
(1)求证：；
(2)点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．
(3)在(2)的条件下，若，的周长等于30，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)＝60°；(3)AF＝11
【详解】(1)证明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，
∴ ∠A＝90°－∠ABD．
∵∠BDC＋∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．
∴ ∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．
∴DB＝AB．
解：(2)如图1，作CH＝BE，连接DH，
∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，
∴∠BAE＝∠DBC．
∵由(1)知，∠BAD＝∠BDA，
又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，
∴∠CAE＝∠C．
∴AE＝CE．
∵BE＝CH，
∴BE＋EH＝CH＋EH．
即BH＝CE＝AE．
∵AB＝BD，
∴△BDH≌△ABE．
∴BE＝DH．
∵BE＝CD，
∴CH＝DH＝CD．
∴△DCH为等边三角形．
∴∠ACB ＝60°．
(3)如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．
∵DH∥AE，
∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．
∴△ACE是等边三角形．
设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，
∵DH∥AE，
∴△BFE∽△BDH．
∴．
∴，
．
∵△ABF的周长等于30，
即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，
解得AB＝16－．
在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，
∴BO＝16－．
在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，
即．
解得(舍去)．
∴AC＝．
∴AF＝11．
【变式训练1】如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且＝m，＝n．
(1)若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
(2)若＝k(k≠0)求m，n之间的关系(用含k的代数式表示)．
【答案】(1)①证明见解析；②mn有最大值1；(2)n＝k﹣km+1．
【详解】解：设AM＝a，AN＝b.
∵＝m，＝n，
∴AB＝am，AC＝bn，
∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝(1﹣m)a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝(n﹣1)b.
(1)①若点O是线段BC中点，
如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，
∴∠OBH＝∠OCN.
在△OBH与△OCN中，
，
∴△OBH≌△OCN(ASA)，
∴BH＝CN＝(n﹣1)b.
∵BH∥AN，
∴＝，即＝，
∴1﹣m＝n﹣1，
∴m+n＝2；
②由①知，m+n＝2，
∴m＝2﹣n，
∴mn＝(2﹣n)n＝﹣n2+2n＝﹣(n﹣1)2+1，
∴当n＝1时，mn有最大值1；
(2)若＝k(k≠0)，
如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，
∴∠OBG＝∠OCN.
在△OBG与△OCN中，
，∴△OBG∽△OCN，
∴＝，即＝k，∴BG＝b.
∵BG∥AN，∴＝，即＝，∴1﹣m＝，∴n＝k﹣km+1.
【变式训练2】矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
(1)如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
(2)如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
【答案】(1)；(2)BF＝3．
【详解】解：(1)如图①中，取DE的中点M，连接PM．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，
∴，∴．
(2)如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，
∴，∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴(3x)2+(4+x)2＝122，
解得：x＝(负值已经舍弃)，
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△EGP中，GP＝，
∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，
∴，∴，∴BF＝3．
模型二、X(8)字型
X字型(平行) 反X字型(不平行)
例1．(基本模型)已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
(1)求证：DF•AB=BC•DG；
(2)当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【详解】证明：(1)∵BC2=BF•BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，∴，
∵DE∥BC，∴，∴，
∴DF：BC=DG：BA，∴DF•AB=BC•DG；
(2)作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，∵DE∥BC，∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，为的中位线，∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴，∴，∴，
即2DF•EG=AF•DG．
例2．(培优)如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．
(1)求证：∠BDE=∠ACD；
(2)若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；
(3)将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB·BE=AD·BC；
②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)①见解析；②．
【详解】(1)证明：∵AC=AB，
∴∠ACB=∠B，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，
∴∠BDE=∠ACD；
(2)证明：如图1，
∵EG∥AC，
∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB，
由(1)知：∠DCA=∠BDE，
∵DC=DE，
∴△DCA≌△EDG(AAS)，
∴AD=EG，
∵∠B=∠ACB=∠BEG，
∴EG=BG=AD，
∴DG=AB，
∵DE=2DF，AF∥EG，
∴，
∴DG=2AD=2AG，
∴AB=DG=2AG；
(3)解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，
则有∠A=∠G，
∵AB=AC，CD=DE，
∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，
∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC，
∴∠ACD=∠EDG，
在△DCA和△EDG中，
∵，
∴△DCA≌△EDG(AAS)．∴DA=EG，
∵AC∥EG，∴△ACB∽△GEB，
∴，
∵EG=AD，AC=AB，∴AB•BE=AD•BC；
②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD，
∵AF∥EG，
∴，
∵DE=4DF，
∴，
设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，
∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，
∵AH∥PD，
∴，
设PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，
∴，
设BE=y，BC=4y，
∴S△ABC=BC•AH===8yh，
S△DCE=CE•PD==yh，
∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15．
【变式训练1】 如图，正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处．
(1)当时，如图，延长，交于点，
①的长为________；
②求证：．
(2)当点恰好落在对角线上时，如图，此时的长为________；________；
(3)当时，求的正弦值．
【答案】(1)①12；②见解析；(2)，；(3)或．
【详解】解：①如图，由可得：，
∴，即，
∴的长为．
故答案为：．
②证明：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴．
(2)如图2，由折叠可得，∠BAE＝∠CAE，
由ABCD可得，∠BAE＝∠CFE，
∴∠CAE＝∠CFE，
∴FC＝AC，
又∵等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，
∴CF＝12，
即CF的长为12，
由折叠可得，BE＝B'E，
∴等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，
∴；
故答案为：；；
①当点在线段上时，如图3，的延长线交于点，
由可得：，
∴，即，
∴，
由②可知．
设，则，
则，
在中，，
即，
解得：，
则，
∴．
②当点在的延长线上时，如图4
由可得：，
∴，即，
∴，
则，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
则，
∴．
综上所述：当时，的正弦值为或．
【变式训练2】如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD相交于点F．
(1)求证：OE⊥CD；
(2)如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．
【答案】(1)见解析；(2)CH的长为6．
【详解】(1)∵四边形ABCO是矩形，
∴OA=BC=8，OC=AB=6，
在Rt△OCE中，CE=3，
∴OE=，
∵AB∥OC，即AD∥OC，且AD=2，
∴，
∴，
∴PA=4，
∴PO=PA+OA=12，
∴在Rt△OPC中，OC=6，
∴CP=，
∵OA∥BC，即OP∥CE，
∴，
∴，
∴EF=OE=，
CF=CP=，
∵()2+()2==9，
∴EF2+CF2=CE2，
∴△CEF是直角三角形，
∴∠CFE=90°，
∴OE⊥CD；
(2)在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB﹣AD=6﹣2=4，
根据勾股定理，得CD=，
∵点G是CD的中点，
∴CG=DG=2，
由(1)知：CP=6，
∴DP=CP﹣CD=2，
∴点G是CP的三等分点，
∵OA∥BC，即OP∥CH，
∴，
∴，
∴CH=6．
答：CH的长为6．
【变式训练3】已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段AD上一点，连接CP，点E在对角线AC上(不与点A，C重合)，∠CPE＝∠ACB，PE的延长线与BC交于点F．
(1)如图1，当AP＝2时，求CF的长；
(2)如图2，当PF⊥BC时，求AP的长；
(3)当△PFC是等腰三角形时，求AP的长．
【答案】(1)CF＝；(2)AP＝；(3)AP的长为6．
【详解】(1)如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
Rt△PDC中，∵AP＝2，
∴PD＝CD＝6，
∴PC＝＝6，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠CPE＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠CPE，
∵∠PCE＝∠PCA，
∴△CEP∽△CPA，
∴，即，
∴CE＝7.2，
∴AE＝10﹣7.2＝2.8，
∵AP∥CF，
∴，即，
∴CF＝；
(2)如图2，
∵AD∥BC，PF⊥BC，
∴AD⊥PF，
∴∠APE＝90°，
tan∠DAC＝
设EP＝3x，AP＝4x，则AE＝5x，BF＝AP＝4x，
∴CE＝10﹣5x，PD＝8﹣4x，
由(1)知：CP2＝CE•AC，
Rt△PCD中，PC2＝PD2+CD2，
∴PD2+CD2＝CE•AC，
∴62+(8﹣4x)2＝10(10﹣5x)，
解得：x＝0(舍)或x＝，
∴AP＝4x＝；
(3)分三种情况：
①当PF＝PC时，如图3，
设AP＝x，则PD＝8﹣x，CF＝2PD＝16﹣2x，
∵AP∥CF，
∴，即，
∴，
∴，
由(2)知：用CE•CA＝CP2＝CD2+DP2，
∴＝62+(8﹣x)2，
∵x≠0，
∴x2﹣32x+156＝0，
(x﹣6)(x﹣26)＝0，
x＝6或26(舍)，
∴AP＝6；
②当FC＝PC，如图4，连接AF，
∴∠CPE＝∠CFP＝∠APE＝∠ACB＝∠PAC，
∴AE＝EP，EF＝CE，
∵∠AEF＝∠PEC，
∴△AEF≌△PEC(SAS)，
∴AF＝PC＝CF，
设CF＝AF＝a，则BF＝8﹣a，
Rt△ABF中，由勾股定理得：62+(8﹣a)2＝a2，
解得：a＝，
∴CF＝CP＝，
设AP＝x，则PD＝8﹣x，
∵CP2＝CD2+DP2，
∴，
解得：x＝(舍)或；
当x＝时，AP＝CP＝CF＝AF，且AC＝PF
∴四边形AFCP是正方形，此种情况不存在；
③当FC＝FP，如图5，P与A重合，
该情况不符合题意；
综上：AP的长为6．
模型三、子母型
已知：∠ 1=∠2；结论：△ACD ∽△ABC
例1．(基本模型)如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．
(1)求证：△AED∽△ADC；
(2)若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
【答案】(1)见解析；(2)2
【详解】解：(1)证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．
又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．
(2)∵△AED∽△ADC，
∴，即，
∴AD＝2或AD＝﹣2(舍去)．
又∵AD＝AB，∴AB＝2
例2.(培优)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．
(1)如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；
(2)如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；
(3)如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【详解】(1)证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴∽，
∴，
∴；
(2)解：∵，
∴设，则()，
∵，，
同(1)得：，
∴，
在中，，
过作于，如图2所示：
则，
在中，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴；
(3)解：过点作于，如图3所示：
∵，∴设，则()，∴，
∵，，∴，∴
又∵，∴∽，
∴，，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
∴，
∴；故答案为：．
【变式训练1】在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点．
(1)如图，当点与点重合时，求的长．
(2)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域．
(3)连接，当与相似时，求线段的长．
【答案】(1)3；(2)；(3)或1
【详解】(1)∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
(2)过点作，垂足为点，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴2x-y=4,
当点在线段上时，
∴．
(3)∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当与相似时，
①若，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵设，，，
∴．
②若，设与交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AB=4，BC=3，则AC=5，
设，
由EO∥BC
∴△AEO∽△ABC
∴即
则，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
综上所述，线段的长为或1时与相似．
【变式训练2】如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．
(1)求证：△ACD∽△ABE；
(2)若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由．
【答案】(1)见详解；(2)相似，理由见详解；
【详解】证明：(1)∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°．
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABE
(2)连接DE，
∵△ACD∽△ABE,
∴AD：AE＝AC：AB．
∴AD：AC＝AE：AB．
∵∠A＝∠A．
∴△AED∽△ABC，
【变式训练3】已知正方形的边长为4，点在边上，点在边上，且，和交于点．
(1)如图，求证：
①
②
(2)连接并延长交于点，
①若点为的中点(如图)，求的长．
②若点在边上滑动(不与点重合)，当取得最小值时，求的长．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)①；②
【详解】(1)证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴AE=BF；
②由①得：△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AE⊥BF；
(2)解：①如图2所示：
∵E为BC的中点，
∴CF=BE=BC=2，
∴BF=，
由(1)得：AE⊥BF，
∴∠BGE=∠ABE=90°，
∵∠BEG=∠AEB，
∴△BEG∽△AEB，
∴，
设GE=x，则BG=2x，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+(2x)2=22，
解得：x=，
∴BG=2×=，
∵AB∥CD，
∴，即，
解得：BH=；
②由(1)得：∠AGB=90°，
∴点G在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为M，
由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴GM=AB=BM=2，
∵AB∥CD，
∴=1，
∴CF=CG，
∵CF=BE，
∴CF=CG=BE，
设CF=CG=BE=a，则CM=a+2，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=(a+2)2，
解得：a=2-2，即当CG取得最小值时，BE的长为2-2．
模型四、旋转型
例1．(基本模型)在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．
【探究】求证：．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1)的值为______．
(2)若，则MN的长为______．
【答案】(1)8
(2)
【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论；
【应用】(1)首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由，得，则；
(2)由，得，由(1)知，得，从而得出答案．
(1)
∵△ABC为等腰直角三角形，，
∴，同理，，
∵，
，
∴，∴；
(2)
(1)∵等腰直角三角形的斜边长为4，
∴，∵，
∴，∴，∴，
故答案为：8；
(2)∵，∴，∵，
∴，∴，
故答案为：．
例2．(培优)【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______；
【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由；
【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为(0°＜＜360°)，当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度．
【答案】BD＝CE，BD⊥CE； BD⊥CE，理由见解析；图见解析，
【详解】解：(1)BD＝CE，BD⊥CE；
(2)BD⊥CE．理由如下：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△CEA≌△BDA，
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴BD⊥CE．
(3)如图所示，过点A作AF⊥CE，垂足为点F．
根据题意可知，Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD，
∴，∴．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，∠BEC＋∠DEA＝∠DEA＋90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．
在旋转前，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，∴，∵AC⊥BD，
∴，∴．∴，
在Rt△ACD中，CD边上的高，旋转后，得，，∴．
【变式训练1】如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．
(1)如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE＝______；
(2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：AD⊥CD；
(3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程．
【答案】(1)22.5°；(2)见解析(3)∠DAE+2∠ADM=180°，详见解析
【解析】(1)解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，
由三角形外角性质知，∠ADE=∠ACE+∠DAC，∠AED=∠ECB+∠B，
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ACE+∠DAC=∠ECB+∠B，
∵AF⊥BC，∴∠BAF=∠CAD=45°，∴∠ACE=∠BCE，
又∠ACB=45°，∴∠ACE=22.5°，故答案为：22.5°．
(2)解：连接AF，过A作AH⊥EF于H，如图所示，
∵∠BAC=∠DAE，AD=AE，AB=AC，
∴∠CAF=∠BAF=∠DAH=∠EAH，
∴∠CAD=∠HAF，
由△ACF∽△ADH知，
∴，∴△ACD∽△AFH，∴∠ACD=∠AFH，∴∠CDF=∠CAF，
∵∠ADE=∠AED=90°－∠DAE，∴∠ADE+∠CDF=90°，
故∠ADC=90°，即AD⊥CD．
(3)解：将AN绕A逆时针旋转∠BAC的度数，交MD延长线于Q，
∵∠BAC=∠QAN，∴∠QAC=∠BAN，
∵∠ABM+∠ACM=180°，∠ACM+∠ACQ=180°，∴∠ABM=∠ACQ，
∵AB=AC，∴△ACQ≌△ABN，∴AN=AQ，
∵∠BAC=2∠NAD=∠NAQ，∴∠QAD=∠NAD，
又AD=AD，∴△AND≌△ADQ，∴∠AND=∠ADQ，
即∠ADM+∠MDN=∠ADE+∠EDQ，∴∠ADM=∠ADE，
∵AD=AE，
∴∠DAE+2∠ADE=180°，
即∠DAE+2∠ADM=180°．
【变式训练2】［问题发现］
(1)如图1，在Rt△ABC中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，已知．请直接写出线段与的数量关系；
［实验研究］
(2)在(1)的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论；
［结论运用］
(3)在(1)(2)的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到，，三点共线时，请求出线段的长．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)线段的长为或
【解析】(1)
解：，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，，
点与点重合，
，，，
；
，
，
，
；
(2)
解：．
证明：由(1)得，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
(3)
解：如图1，，，点为的中点，
，，
，
的面积为8，
，
，
，
，
点与点重合，四边形是正方形，
；
如图2，、、三点共线且点在线段上，
，
，
，
．
，
；
如图3，、、三点共线且点在线段上，
则，
．
，
，
综上所述，线段的长为或．
模型五、一线三垂直型
例1．(模型探究)【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上(点P不与点A、B重合)，．易证．(不需要证明)
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上(点P不与点A、B重合)，．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上(点P不与点A、B重合)，连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【答案】【探究】3；【拓展】4或．
【详解】探究：证明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
当PC=PE时，△ACP≌△BPE，
则PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，
即，
解得：，
∴AP=ABPB=，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
例2．(培优)问题提出
(1)如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________．
问题探究
(2)如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
(3)某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．
【答案】(1)；(2)存在，或；(3)①；②963.3元．
【详解】解：(1)∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵点E为的中点，
∴
故答案为：；
(2)存在，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴．
∵Q是的中点，∴．
由折叠的性质得：，
当点P、、三点在同一条直线上时，，
∴．
∵，
∴．
∵∵，
∴，
∴，即，
解得：或；
(3)①根据题意做出辅助线，如图所示．
由题意得：．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
由，则．
∵，
∴，
∴，
∴
；
②由①知，，
当时，四边形的面积取得最小值为，
∴最低造价为(元)，
∴四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元．
【变式训练1】问题提出：
(1)如图①，矩形ABCD中，AD＝6．点E为AD的中点．点F在AB上，过点E作EGAB交FC于点G．若EG＝7．则S△EFC＝ ．
问题探究：
(2)如图②．已知矩形ABCD纸片中．AB＝9，AD＝6，点P是CD边上一动点．点Q是BC的中点．将△ADP沿着AP折叠，在纸片上点D的对应点是，将△QCP沿着PQ折叠．在纸片上点C的对应点是．请问是否存在这样的点P．使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时DP的长度．若不存在，请说明理由．
问题解决：
(3)某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务．部件要求：如图③，四边形ABCD中，AB＝4厘米，点C到AB的距离为5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问这种四边形金属部件每个的造价最低是多少元？(≈1.73)
【答案】(1)21；(2)存在，6或3；(3)802.75元
【详解】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，BC＝AD＝6，
∵EG∥AB，
∴CD∥EG∥AB，
∵点E为AD的中点，
∴S△EFC＝S△EGC+S△EGF＝×EG×BC+×EG×BC＝×EG×BC＝×7×6＝21，
故答案为：21；
(2)存在，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AB＝CD＝9，AD＝BC＝6，
∵Q是BC的中点，
∴CQ＝3，
由折叠的性质得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，
当点P、D′、C′三点在同一条直线上时，∠DPA+∠D′PA+∠CPQ+∠C′PQ＝180°，
∴∠DPA+∠CPQ＝90°，
∵∠DPA+∠DAP＝90°，
∴∠DAP＝∠CPQ，
∵∠ADP＝∠PCQ＝90°，
∴△ADP∽△PCQ，
∴，
即，
解得：DP＝6或DP＝3；
(3)如图，过点C作MN∥AB，过点D作MN的垂线，交MN于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥MN于点F，连接BD，如图③所示：
则BF＝EH＝5cm，
∵DC⊥BC，
∴∠ECD+∠BCF＝90°，
∵BF⊥MN，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ECD＝∠CBF，
又∵∠DEC＝∠CFB＝90°，
∴△DEC∽△CFB，
∴，
设DE＝x，则DH＝5﹣x，
∵BF＝5，BC＝CD，
∴，
∴，，
∴S四边形ABCD＝S四边形EDBF﹣S△CED﹣S△CFB+S△DAB
当x＝cm时，四边形ABCD的面积取得最小值(10+)cm2，
∴最低造价为(10+)×50≈802.75(元)，
∴四边形金属部件每个的造价最低约为802.75元．
【变式训练2】如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E是边BC上一个动点(不与点B、C重合)，AE的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FG∶GE＝1∶2，设BE＝x．
(1)求证：；
(2)当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；
(3)当∠FGD＝∠AFE时，求线段BE的长．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)．
【详解】(1)如图，因为AF⊥AE，
∴∠EAF＝∠BAD＝∠ADF＝90°．
∵同角的余角相等，
∴∠DAF＝∠BAE．
∵∠ABE＝∠ADF＝90°．
∴△ADF∽△ABE．
∴．
(2)由，得DF＝3BE＝3x．
如图，作GH⊥CF于H，那么GH//BC//AD．
根据题意结合平行线分线段成比例得：．
∵，，
∴．即GH＝，FH＝．
在Rt△GHD中，HD＝DF－FH＝＝＝，
∵∠ADG＝∠DGH，
∴cot∠ADG＝cot∠DGH＝＝=．
(3)当点G在△ADF内部时，很明显∠FGD和∠AFE不相等．所以点G在△ADF外部．
如图，作EM//GD交DC于点M，那么．
∴DM＝6x，
∴MC＝1－6x．
如果∠FGD＝∠AFE，那么AF//GD//EM．
∴∠AEM＋∠EAF＝180°．
∴∠AEM＝90°．
∴△ABE∽△ECM．
∴．即．
整理，得x2－9x＋1＝0．
解得，(不符合题意，舍去)．所以BE＝．
【变式训练3】如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(0，4)，A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．
(1)求证：△AOC∽△BEA；
(2)若m=3，则点B的坐标为 ；若m=﹣3，则点B的坐标为 ；
(3)若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？
(4)是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，，(3)，，(4)，，
【详解】解：(1)证明：由题意得：∠MAB=90°
∴∠CAO+∠BAE=90°
又∵∠CAO+∠ACO=90°
∴∠BAE=∠ACO
又∵∠COA=∠AEB=90°
∴△AOC∽△BEA
(2)的坐标为，或，
由勾股定理得：，
且相似比为，，
，
点的坐标为或，，
故答案为：，，；
(3)①当时，如图(1)
且相似比为，
求得点的坐标为，
，
解得 或4，
②当时，如图(2)
，
解得 或(舍去)
，，，
(4)①当时，如图(1)
若
即：
无解，
若，同理，解得或(不合题意舍去)，
②当时，如图(2)
若，
即：，
解得，取，
若，同理，解得无解，
③当时，如图(3)，
若，
即：，
解得(不合题意舍去)或，
若，同理，解得无解，
④当时，如图(4)
若，
，即：，
则无解，
若，同理，解得(不合题意舍去)或(不合题意舍去)；
则，，．
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