2023年上海市长宁区中考数学二模试卷（含解析）

2023年上海市长宁区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，比大的有理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，已知及其所在平面内的个点如果半径为，那么到圆心距离为的点可能是(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

4.  下列命题中，假命题的是(    )

A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D. 对角线平分一组对角的矩形是正方形

5.  某抖音卖货小店专门营销一类货品，以八种型号销售，一段时间内的销售数据如表所示：

如果每件货品销售利润都相同，该小店决定多进一些型号货品，那么影响店主决策的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 标准差 D. 众数

6.  已知抛物线经过点，，，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  计算： ______ ．

8.  函数的定义域是______ ．

9.  已知，那么 ______ ．

10.  如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是______ ．

11.  不等式组的正整数解是______ ．

12.  已知线段，，从，，，，，，，这八个数中任意选取一个数作为线段的长度，那么，，不能组成三角形的概率是______ ．

13.  为了解某区九年级名学生中“分钟跳绳”能获得满分的学生人数，区体测中心随机调查了其中的名学生，结果仅有名学生未获满分，那么估计该区九年级“分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为______ ．

14.  已知点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点恰好在直线上，那么的值为______ ．

15.  如图，在梯形中，，，对角线与交于点，设，，那么 ______ 结果用、表示

16.  如图，在菱形中，对角线与交于点，已知，，如果点是边的中点，那么 ______ ．

17.  如图，的直径与弦交于点，已知，，，那么的值为______ ．

18.  如图，将平行四边形沿着对角线翻折，点的对应点为，交于点，如果，，且，那么平行四边形的周长为______ 参考数据：，

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
解方程组：

21.  本小题分
已知点在双曲线上，将点向右平移个单位得到点．
当点在直线上时，求直线的表达式；
当线段被直线分成两部分，且这两部分长度的比为：时，求的值．

22.  本小题分
为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端在同一水平线的点出发，沿着坡比为：的斜坡行走一段路程至坡顶处，此时测得建筑物顶端的仰角为，再从处沿水平方向继续行走米后至点处，此时测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，如图，已知点、、、、在同一平面内，求建筑物的高度与的长参考数据：

23.  本小题分
如图，点、分别在正方形的边、上，与交于点已知．
求证：；
以点为圆心，为半径的圆与线段交于点，点为线段的中点，联结，如图所示，求证：．
 

24.  本小题分
已知抛物线与轴交于点、点点在点的左侧，点在原点右侧，与轴交于点，且．
求抛物线的表达式．
如图，点是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点的坐标；
如图，点坐标为，在抛物线上存在点，满足，请直接写出直线的表达式．
 

25.  本小题分
如图，在中，，以点为圆心、为半径的交边于点，点在边上，满足，过点作交于点，垂足为点．
求证：∽；
延长与的延长线交于点，如图所示，求的值；
以点为圆心、为半径作，当，时，请判断与的位置关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
各数中，比大的数是，
故选：．
根据，，，，即可得出比大的数．
本题主要考查了实数大小的比较，解题时注意：利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：设，
方程化为，
整理得：．
故选：．
由设出的，将方程左边两项代换，得到关于的方程，整理后即可得到结果．
此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
 

3.【答案】 

【解析】解：若半径为，那么到圆心距离为的点在圆外．观察选项，只有选项C符合题意．
故选：．
根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径．
此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
B、对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项说法是假命题，符合题意；
C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
D、对角线平分一组对角的矩形是正方形，是真命题，不符合题意；
故选：．
根据菱形、等腰梯形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响店主决策的统计量是众数．
故选：．
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的型号就是这组数据的众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、标准差的意义．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的对称轴是直线，
对称点坐标为，
当时，，
即，
故选：．
根据抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，即可得到关于对称轴对称的点为，故当时可求得值为，即可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求得点在其图象上是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．
本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得．
故答案为：．
让为非负数列式求值即可．
本题考查了函数自变量的取值范围，用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，．
故答案为：．
将的值代入解析式求值．
本题主要考查求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据方程没有实数根，得到，
解得：．
实数的取值范围是：．
故答案为：．
根据方程没有实数根，得到根的判别式列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
此题考查了根的判别式，根的判别式大于，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于，方程没有实数根．
 

11.【答案】、． 

【解析】解：解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
所以不等式组的解集为：，
所以的正整数解为：、，
故答案为：、．
先解不等组，再找出正整数解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的解法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由三角形的三边关系得：，
即，
，
，，不能组成三角形的概率是，
故答案为：．
由三角形的三边关系得，再由概率公式即可得出结论．
本题考查了概率公式以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】名 

【解析】解：名，
答：估计该区九年级“分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为名．
故答案为：名．
根据名学生，结果仅有名学生未获满分求得九年级“分钟跳绳”能获得满分的学生人数所占总数的百分比，即可得到结论．
本题考查了用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴的对称，点，
，
点恰好在直线上，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
由点与点关于轴的对称，可得到，代入即可求得的值，从而求得，进而即可求出的值．
本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，一次函数图象上点的坐标特征，关于轴对称的点的坐标的特征，掌握方程思想是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
，，


，
故答案为：．
由，即可证得∽，又由，即可求得与，即可求得．
本题考查向量的知识与相似三角形的判定与性质，掌握数形结合思想的应用，还要注意向量是有方向的是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
点是边的中点，
．
故答案为：．
根据菱形的性质得到，，，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：作于，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，，
作于，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
故答案为：．

作于，连接，根据勾股定理求出，再求出，再用勾股定理求出圆的半径，作，再利用勾股定理求出、，用三角函数解答即可．
本题考查了三角函数的应用，正确的辅助线及勾股定理的运用是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
在等腰中，
，
，
，
平行四边形的周长．
故答案为：．
首先利用平行四边形的性质可说明，再利用等腰三角形的性质可得，进而解决问题．
本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，等腰三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握各知识是解题的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】根据实数的混合运算法则，先计算分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根，再计算乘法，最后计算加减．
本题主要考查实数的混合运算、分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根，熟练掌握实数的混合运算法则、分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：由  得，
，
或，
当时，，
把代入得，
，
，
，
，
当时，，
把代入得，
，
，
，
，
综上所述原方程组的解为 或 ． 

【解析】先将  左边因式分解，得出或然后分类讨论即可．
本题考查二先二次方程组的解法，关键将  左边因式分解，转化为二元一次方程求解．
 

21.【答案】解：点在双曲线上，
，
，
将点向右平移个单位得到点，则，
点在直线上，
，
，
直线的表达式为；
设直线交于，
当时，即：，
，
代入得，，
；
当时，即：，
，
代入得，，
；
故的值为或． 

【解析】由反比例函数解析式求得点的坐标，然后根据坐标平移的特点是左减右加、上加下减可以求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得；

当线段被直线分成两部分，且这两部分长度的比为：时，且交点为，分两种情况：或计算即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的变化平移，分类讨论思想的运用是解题的关键．
 

22.【答案】解：过点作，垂足为，延长交于点，

由题意得：，米，，，，
是的一个外角，
，
，
米，
在中，米，
米，
在中，米，
米，
米，
斜坡的坡比为：，
，
米，
在中，米，
建筑物的高度约为米，的长为米． 

【解析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，米，，，，先利用三角形的外角性质进行计算可得，从而可得米，再在中，利用含度角的直角三角形的性质求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后根据斜坡的坡比为：，可求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
≌，
，
，
，
，
；
由知，
，
垂直平分，
，
，
，
，
为线段的中点，
，
，
． 

【解析】由四边形是正方形，得到，由，，得到，即可证明≌，得到，由余角的性质得到，因此；
由等腰三角形的性质，得到，，得到，因此．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由正方形的性质证明≌，由等腰三角形的性质得到，．
 

24.【答案】解：由题意可知，
，
，
，
解得，
；
由知抛物线的表达式为，
故令得：，
解得：，，
点的坐标为．
即，
记直线交于点，由直线恰好平分的面积，那么点为的中点，
过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、，

在中，，
故由三角形中位线定理可得：，，
故在中，，
设，故D，，
在中，，
，
，
解得：，舍，
；
当点在轴上方时，
在轴上取点，连接，则，过点作直线交抛物线于点，交轴于点，使，

则，
过点作，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
故，
，
点，
将点、的坐标代入一次函数表达式，
，
解得：，
直线的表达式为：；
当点在轴下方时，
作点关于轴的对称点，
求得直线的解析式为，
综上所述，直线的表达式为或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
记直线交于点，由直线恰好平分的面积，那么点为的中点，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、，设，故D，，得出，解方程求出的值即可；
分点在轴上方、点在轴下方两种情况，分别求解即可．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
 

25.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：如图，

延长交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：与外切，理由如下：
设，设，
在中，由勾股定理得，
；
∽，
，
，
，
，
由得，
，
，，
，
与外切． 

【解析】可证得，，，从而，进而证得结论；
延长交于，可得出，，从而，进而得出，从而得出，进一步得出结果；
设，设，可得出；由∽得出，从而得出，从而求得，进一步得出结论．
本题考查了圆的有关的性质，圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是设未知数，找出相等关系列出方程组．