2023年上海市松江区中考数学二模试卷（含解析）

2023年上海市松江区中考数学二模试卷

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4.  下列方程中，有实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列命题正确的是(    )

A. 三点确定一个圆 B. 圆的任意一条直径都是它的对称轴
C. 等弧所对的圆心角相等 D. 平分弦的直径垂直于这条弦

6.  如图，点是的重心，四边形与面积的比值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  计算：______．

8.  因式分解：______．

9.  不等式组的解集是______ ．

10.  已知一个多边形的每个外角都是，这个多边形是______边形．

11.  在一副扑克牌中拿出张红桃、张黑桃共张牌，从中任取张是红桃的概率是______ ．

12.  已知点、在反比例函数的图象上，如果，那么          ．

13.  将抛物线向左平移个单位后的抛物线表达式为______．

14.  如图，已知在矩形中，点在边上，且设，，
那么 ______ 用、的式子表示．

15.  已知相交两圆的半径长分别为和，如果两圆的圆心距为，且，试写出一个符合条件的的值：______ ．

16.  一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地两车之间的距离千米与行驶的时间小时之间的函数关系如图所示，已知私家车的速度是千米时，客车的速度是千米时，那么点的坐标是______ ．

17.  已知▱中，，与的角平分线交边于点，，且，则边的长为______ ．

18.  我们定义：二次项系数之和为，图象都经过原点且对称轴相同的两个二次函数称作互为友好函数那么
的友好函数是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
解方程组：．

21.  本小题分
如图四边形中，，，，．
如果，求的值；
如果，求四边形的面积．

22.  本小题分
某校对六年级学生进行了一次安全知识测试，按成绩分为整数评定为、、、四个等级其中等级：，等级：，等级：，等级：从中随机抽取了一部分学生的成绩进行分析，绘制成如下的统计图表部分信息缺失．
请根据所给信息，回答下列问题：

扇形图中，等级所在扇形的圆心角为______ ；
此次测试成绩的中位数处在等级______ 中；填、、
该校决定对等级的学生进行安全再教育，已知是的倍，那么该校六年级名学生中，需接受安全再教育的约有多少人？

23.  本小题分
如图，已知正方形，、分别为边、的中点，与交于点，，垂足为点．
求证：；
联结，求正弦值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中如图，已知直线与轴交于点，抛物线
的顶点为．
若抛物线经过点，求抛物线解析式；
将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标；
设抛物线的对称轴与直线交于点，点位于轴上方，如果，求的值．

25.  本小题分
如图，是半圆的直径，是半圆上一点，点与点关于直线对称，射线交半圆于点，弦交于点、交于点．
如图，恰好落在半圆上，求证：；
如果，求的值：
如果，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：得到数是，
故选：．
根据倒数的定义求解即可．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一数的倒数的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
与不是同类二次根式，不符合题意；
B、，
与是同类二次根式，符合题意；
C、，
与不是同类二次根式，不符合题意；
D、，
与不是同类二次根式，不符合题意．
故选：．
根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：一次函数，，，
该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意一次函数的性质，知道当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程的根的判别式，故选项A中方程有实数根；
方程的根的判别式，故选项B中方程无实数根；
，
选项C中方程无实数根；
方程无解，故选项D中方程无实数根；
故选：．
利用根的判别式判断、，利用二次根式的性质判断，利用解分式方程判断．
本题主要考查了无理方程、分式方程、一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式、无理方程及分式方程的解法是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
B、圆的任意一条直径都是它的对称轴，故原命题错误，不符合题意；
C、等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；
D、平分弦不是直径的直径垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意．
故选：．
利用确定圆的条件、圆的对称性、圆周角定理及垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度较小．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

点是的重心，
是的中点，是的中点，
，，
∽，
，
，
，
，
点是的重心，
：：，
，
，
四边形与面积的比值．
故选：．
根据重心的定义得出是的中点，是的中点，：：，进而得出，得出∽，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出，进而根据，即可得出答案．
本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接把公因式提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
 

10.【答案】五 

【解析】解：．
故这个多边形是五边形．
故答案为：五．
任何多边形的外角和是用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．
此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都是．
 

11.【答案】 

【解析】解：从中任取张是红桃的概率是，
故答案为：．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，且在同一个象限内，随的增大而减小，
点、在反比例函数的图象上，且，
，
故答案为：．
反比例函数，根据在同一个象限内，随的增大而增减小即可得答案．
本题考查反比例函数的增减性，掌握时，在同一个象限内，随的增大而减小是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位，所得函数解析式为：．
故答案为：．
直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据，只要求出即可解决问题．
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设两圆的圆心距是，
两圆相交，
，
，，
，
，
只要满足上述条件即可，例如答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：两圆相交，由此即可得到答案．
本题考查圆与圆的位置关系，关键是掌握圆和圆的位置关系的判定方法．
 

16.【答案】 

【解析】解：点的纵坐标为，说明此时客车和私家车相遇，
两车相遇的时间为小时，
点的坐标是．
故答案为：．
根据路程、速度、时间的关系计算即可．
本题考查一次函数的应用，关键是从图形中读取信息得出结论．
 

17.【答案】或 

【解析】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，

，
，
同理：，
分两种情况：
如图所示：，
；
如图所示：，，
，；
综上所述：的长为或；
故答案为：或．
由平行四边形的性质和角平分线的定义证出，得出，同理：，再分两种情况计算即可．
此题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．
 

18.【答案】． 

【解析】解：，
二次项系数为，对称轴为直线，
的友好函数是，
故答案为：．
由二次函数解析式可得抛物线的二次项系数及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】根据实数的运算法则，先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根，再计算加减．
本题主要考查实数的运算、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，熟练掌握实数的运算法则、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根的定义是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：由方程得：，
，，
即组成方程组或，
解这两个方程组得：或，
即原方程组的解为：或． 

【解析】先变形得出，，作出两个方程组，求出方程组的解即可．
本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
 

21.【答案】解：过作于，
，，，，，
，，
，
；
解：设，则，，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
四边形的面积． 

【解析】过作于，进而利用梯形的性质和解直角三角形解答即可；
由勾股定理得出，进而利用梯形的面积公式解答即可．
此题考查梯形的性质，关键是利用梯形的性质和解直角三角形解答．
 

22.【答案】   

【解析】解：扇形图中，等级所在扇形的圆心角为，
故答案为：；
本次调查的样本容量为：，
把样本中的个学生的成绩进从小到大排列，排在第个数在等级中，故此次测试成绩的中位数处在等级中．
故答案为：；
由题意可知，，
是的倍，
，
解得，
名，
答：需接受安全再教育的约有人．
用乘等级的频率可得等级所在扇形的圆心角度数；
用等级的频数除以等级的频率可得样本容量，再根据中位数的定义解答即可；
根据样本容量以及是的倍，可得、的值，再用的频率乘总人数名即可．
本题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数以及频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
、分别为边、的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，，由余角的性质可求，由锐角三角函数可求，的长，即可求解；
先求出，的长，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

24.【答案】解：对于，当时，，即点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：不合题意的值已舍去，
故抛物线的表达式为：；

如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交轴于点，
将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，

则，，
，，
，
，，
≌，
，，
则点的坐标为：，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则点的坐标为：；

设点，
则直线的表达式为：，
过点作交于点，过点作轴的平行线交抛物线对称轴于点，交轴于点，

设点，
，即为等腰直角三角形，
则，，
由知，≌，
则且，
整理得：，
解得：负值已舍去． 

【解析】用待定系数法即可求解；
证明≌，得到点的坐标为：，即可求解；
≌，得到且，即可求解．
本题为二次函数综合题，涉及到三角形全等、解分式方程等，正确处理角是本题解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，连接，
点与点关于直线对称，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
解：如图，设的半径为，
则，
作于，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
点与点关于直线对称，
，
由对称性得，，
，
，
．
解：如图，当点在内部时，
，
由对称性知，
过点作于，于，
，
，
，
，
．
如图，当点在外部时，
过点作于，于，
则，
，
，
又，
，
，
．
综上得，或． 

【解析】连接，由点与点关于直线对称得到，证出是等边三角形，得出，即可得结论．
设的半径为，作于，则，求出，，，得到，再求出，得到，证出，得到，作比即可．
当点在内部时，过点作于，于，由，得到，又，从而求得当点在外部时，同样方法求得的长．
本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角函数等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．