四川省射洪中学2022-2023学年高二数学（理）下学期期中考试试题（Word版附解析）

射洪中学高2021级2023年上期半期考试

数学试题（理科）

第I卷（选择题）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.

1. 命题，，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题，分析即可得到答案．

【详解】由题意，命题，，

由全称命题的否定为存在命题，可得：

为，，

故选：D．

2. 设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次不等式解法解出，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断．

【详解】或，

则，，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

3. 抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】先求出准线方程，再根据抛物线的定义求解.

【详解】对于抛物线 ， ， 准线方程为，

点A到焦点的距离为；

故选：C.

4. 双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（    ）

A. 5 B. 1 C. 1或17 D. 17

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线的定义可求到右焦点的距离，要注意双曲线上点到焦点距离的最小值为.

【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，

则，故，故或.

由双曲线性质知，到焦点距离的最小值为，

所以舍去.

故选：D.

5. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项式定理，展开项系数中，当n为奇数时最中间的那一项最大.

【详解】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n=8，

二项式展开项的通项公式为： ，

，

∴ 的系数为

故选：C.

6. 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P是抛物线C上一动点，则线段FP的中点Q的轨迹方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】运用中点的坐标公式，结合代入法进行求解即可.

【详解】设Q(x，y)，P(x1，y1)，则①，又F(2，0)，由Q为PF的中点，得

从而代入①，得(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)．

故选：A

7. 4名男生2名女生排成一排，要求两名女生相邻且都不与男生甲相邻的排法总数为（    ）

A. 72 B. 120 C. 144 D. 288

【答案】C

【解析】

【分析】相邻元素用捆绑法，不相邻元素用插空法即可.

【详解】第一步：先排列除甲之外的三名男生，

第二步：将两名女生看作一个整体与男生甲插入排好的三名男生4个空隙中的两个空隙，

第三步：将两名女生内部排列，即：.

故选：C.

8. 已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.

【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.

由，得，从而，∴.

∵，∴.

故选:B

9. 数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为（    ）

A. 240 B. 480 C. 360 D. 720

【答案】A

【解析】

【分析】先分组再分配，平均分组注意消序，最后根据分步乘法计数原理，即可得到可能的安排方案的种数.

【详解】解：有四种曲线，要求每位学生只讲述一种曲线，

则5名同学分成2，1，1，1四组，共有种情况，

再将四组学生分配给四种曲线，一共有种情况，

则可能的安排方案的种数为种，

故选：A.

10 已知直线与抛物线相交于、两点（其中位于第一象限），若，则（         ）

A.  B.  C. -1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】过作准线的垂线，垂足为，利用抛物线定义及得，利用三角形知识求出倾斜角，进一步求出直线斜率即可

【详解】由题意知，直线过抛物线的焦点，

准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为，过A作的垂线，垂足为M，

如图，

设，因为，所以，

则，所以，

即直线的倾斜角等于，可得直线的斜率为.

故选：A.

11. P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】画出图形，将转化为，进而化简，结合图形得到答案.

【详解】如图，圆C的圆心C为（2,0），半径r=2，

，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.

此时的最小值为：.

故选：C.

12. 已知椭圆:的左右焦点为，，过的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，，如图，若，为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】连接，由题知，，所以，再结合椭圆的定义得，进而在中结合勾股定理得，最后根据离心率的公式求解即可.

【详解】如图,连接,因为，为线段的三等分点,

所以在中,为中点，为中点，

所以，

又因为过的直线与圆相切于点，

所以，

因为圆的半径为，

所以，由椭圆的定义得： ，

所以，

所以在中， ，即，

整理得：，即：，

所以.

故选：C

【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查运算求解能力，数形结合思想，是中档题.本题解题的关键在于证明，，进而根据椭圆的定义得，再结合勾股定理得.

第II卷（非选择题）

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知是常数，若且，则___________.

【答案】3

【解析】

【分析】采用赋值法，取可得；取，可得，再根据已知条件即可求出值．

【详解】取，则；

取，则，所以，即.

故答案为：3.

14. 已知命题“∈[1，2]， ”是真命题，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得2a＜x0在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a的范围．

【详解】命题“∃x0∈[1，2]，x02﹣2ax0+1＞0”真命题，

即有2a＜x0在[1，2]的最大值，

由x0在[1，2]递增，可得x0＝2取得最大值，

则2a，可得a，

则实数a的取值范围为（﹣∞，）．

故答案（﹣∞，）．

【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．

15. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为__．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可知，点，，所以直线的斜率为，设，两点的坐标分别为，，，，利用点差法可得，，从而求得的值，再代入椭圆的方程中即可得解．

【详解】由题意可知，点，，所以直线的斜率为，

设，两点的坐标分别为，，，，

则，两式相减，整理得，，

所以，解得，

椭圆的方程为．

故答案为：．

【点评】本题考查求椭圆的方程，合理运用点差法是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．

16. 在图中，从上往下读（不能跳读）构成句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是__________.

【答案】252

【解析】

【分析】根据图中间每一点处的数等于它肩上两数的和，一直计算到下面最后一字即可求解.

【详解】由题意可知，解本题相当于在题图中先在“构”字处标上1，再在上半部分三角形的两腰的各字处标上1，然后从上到下依次逐字累加，如图所示，

图中间每一点处的数等于它肩上两数的和，一直计算到下面最后一字由此可得，共有252种不同读法.

故答案为：.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17题10分，其余每题12分.

17. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛．

（1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？

（2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？

（3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？

【答案】（1）60    （2）91   

（3）14

【解析】

【分析】（1）用组合知识直接求解；（2）先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选时的选法；（3）分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解.

【小问1详解】

从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法；

【小问2详解】

若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法；

【小问3详解】

若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式，

若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式.

18. 已知命题，命题有意义．

（1）若为真命题，求实数的取值范围;

（2）若为假命题，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）或．

【解析】

【分析】（1）先求出命题,为真命题的等价条件,为真命题,则,均为真命题,求出此时的取值范围即可;

（2）由（1） ,为真命题的等价条件,要使为假命题,则为假命题,为真命题,求出此时的取值范围即可.

【小问1详解】

解:由题知,，解得，即,

要使函数有意义,

只需,，解得或，即或,

若为真，则有，解得:,

实数的取值范围是;

【小问2详解】

由(1)知,或,

若为假命题，则与都为假命题，即与都为真命题，

或,

只需，解得或．

则实数的取值范围:或．

19. 已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；

（3）求的周长．

【答案】（1）   

（2）25    （3）54

【解析】

【分析】（1）双曲线的焦点在轴上，设出双曲线方程，把已知条件代入解方程组即可；

（2）写出直线AB的方程，与双曲线方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式求得；

（3）由双曲线的定义及弦长AB得出的周长．

【小问1详解】

因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，

由题意得，解得，所以双曲线方程为.

【小问2详解】

依题意得直线AB的方程为，设，.

联立，得，

，且，

所以.

【小问3详解】

由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且，

由双曲线定义，，

从而，

周长为．

20. 已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5.

（1）求n的值；

（2）系数最大的项．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）第二项与第三项的二项式系数之比为；

（2）求二项式系数的最大项，即这一项大于前一项，也大于后一项，列式即可.

【小问1详解】

因为第二项与第三项的二项式系数之比是，

则，即，解得(舍)或，

所以n的值为6.

【小问2详解】

的展开式的通项为，

令，解得，

又，，

展开式中系数最大的项为第项，且．

21. 已知抛物线：的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点的直线与抛物线交于点A，B两点，若为定值，求实数的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由先表示出点坐标，代入抛物线的方程求，得出抛物线的标准方程；

（2）设过的直线为，与抛物线的方程联立，得出韦达定理及判别式大于零，把韦达定理代入为定值，求出实数的值.

【小问1详解】

已知点在上，且，，则点在线段的中垂线上，即，把点代入抛物线的方程，则，，

解得，所以抛物线的标准方程为．

【小问2详解】

设过的直线为，，

联立，得，

则，即，

且，

所以

因为为定值，

所以，，解得或（舍去）

当，时，

所以当为定值时，．

22. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭圆E交于A、B．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线TA、TB的斜率分别为，，证明：；

（3）直线是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义为椭圆E的弦切角，为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角的关系，并证明你的论．

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3），证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，，解出a、b即可求解；

（2）设，将直线l方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，结合两点表示斜率公式对化简计算，即可求解；

（3）设切线方程，由直线与椭圆的位置关系求出k，得出倾斜角，可得，由，得，结合三角形的外角和即可下结论.

【小问1详解】

由题意知，，所以，

又椭圆经过T（2,1），所以，

解得，，所以椭圆方程为；

【小问2详解】

联立直线与椭圆方程，得，

所以，∴，

则，解得，

设，则，，

所以

，

即；

【小问3详解】

椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角相等.证明如下：

设切线方程为，即，

由，得，

所以，

，解得，

则，又，所以，所以，

设切线与x轴交点为Q，TA、TB分别与x交于C，D，

因为，所以，又，

，，

所以.

【点睛】求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．