2022-2023学年四川省射洪中学校高二上学期11月期中考试数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省射洪中学校高二上学期11月期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．过 两点的直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果.

【详解】由已知直线的斜率为 ，

所以倾斜角．

故选：D.

2．如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设直线，，的倾斜角分别为，可得，再由斜率的定义即可比较，，的大小关系.

【详解】设直线，，的倾斜角分别为，由图象知：

，

所以，即，

故选：A．

3．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则

A．，且直线是相交直线

B．，且直线是相交直线

C．，且直线是异面直线

D．，且直线是异面直线

【答案】B

【解析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．

【详解】如图所示， 作于，连接，过作于．

连，平面平面．

平面，平面，平面，

与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，

．，故选B．

【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形．

4．已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

【答案】A

【分析】根据题目条件结合模型找反例即可求解.

【详解】A.两条不同的直线同时垂直两个平行的平面，所以这两条直线平行，故A正确；

B.若，相交，且分别平行于，的交线，也满足条件，故错误；

C. 若，，，此时可以 故错误；

D. 若，，，此时可以，故错误.

故选A.

5．设为实数，若直线与直线平行，则值为（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】由两直线平行的条件求解，去除重合的情形即得．

【详解】由题意，，

时，，两直线重合，舍去，时，，，满足两直线平行．所以．

故选：A．

6．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解.

【详解】，

，

，

，

故选：A.

7．点关于直线的对称点是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.

【详解】解：设点关于直线的对称点是，

则有，解得，，

故点关于直线的对称点是.

故选：B.

【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：

（1）点关于直线的对称点，则有；

（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

8．已知两点到直线的距离相等，则（    ）

A．2 B．  C．2或 D．2或

【答案】D

【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】因为两点到直线的距离相等，

所以有，或，

故选：D

9．《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，在直角梯形中，，，过点A作交SC于点D，以AD为折痕把折起，当几何体为阳马时，下列四个命题：

①；

②平面；

③SA与平面所成角的大小等于；

④AB与SC所成的角等于．

其中正确的是（    ）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

【答案】A

【分析】根据阳马的定义得平面，通过证明平面，可得，可判断①；利用，可证平面，可判断②；利用平面，得到是SA与平面所成的角，计算可判断③；根据，可得是AB与SC所成的角，计算可判断④.

【详解】当几何体为阳马时，平面，

对于①，平面，所以，又，，

故平面，所以，故①正确；

对于②，因为，且不在平面内，平面，故平面，所以②正确；

对于③，由①知，平面，连，则是SA与平面所成的角，

因为，，所以，故③不正确；

对于④，因为，所以是AB与SC所成的角，因为，所以，故④不正确.

故选：A

10．直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据联立直线的方程解出交点P，再得出直线的恒过点，从而求得最大距离得选项．

【详解】由解得，所以，

由，得，令，恒成立，所以直线恒过点，

所以点到直线的最大距离为，

故选：C．

【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：

方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；

方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.

11．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且，则线段长度的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】取的中点，的中点，的中点，根据面面平行的判定定理，得到平面平面，确定线段扫过的图形是，再由题中数据，得到是直角，进而即可求出结果.

【详解】取的中点，的中点，的中点，则，，

∴平面平面，

∴平面，线段扫过的图形是

∵，∴，

∴，∴是直角，

∴线段长度的取值范围是.

故选B.

【点睛】本题主要考查面面平行的判定，熟记面面平行的判定定理即可，属于常考题型.

12．如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：

①异面直线与直线所成角的大小为定值；

②二面角的大小为定值；

③若Q是对角线上一点，则长度的最小值为；

④若R是线段上一动点，则直线与直线不可能平行．

其中真命题有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】利用正方体的性质，结合空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断正误.

【详解】解：对于①，由正方体的性质可知，平面，又平面,

故，异面直线与直线的所成的角为定值，①正确；

对于②，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，②正确；

对于③，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，过点做，，,此时，的值最小.

由题可知，,,

，

则，，

故,又，

故的最小值为，故③正确.

对于④，在正方体中易证平面，设，则即为二面角的平面角，又正方体边长为1，故，则,由余弦定理得，故，同理,

故在上必然存在一点，使得二面角为，即平面平面，平面与平面的交线为，

则，过点作的垂线.此时平面，又平面，故.故④错误.

故选：C.

二、填空题

13．两条平行线与之间的距离是___________.

【答案】##0.5

【分析】根据平行直线距离公式求解即可.

【详解】直线可化为，

又直线与直线的距离为，

所以平行线与之间的距离是，

故答案为：.

14．若直线经过直线和的交点，则___________.

【答案】

【分析】求解出直线，的交点坐标，再代入直线即可求解.

【详解】由题意，直线，，交于一点，

所以，得，

所以直线过点，

得，求解得.

故答案为：

15．如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______．

【答案】

【分析】首先将其还原成正方体，再用平移法找出异面直线所成角（或补角）进行求解即可.

【详解】将正方体的表面展开图还原成正方体，如图：

连接、，因为A、B均为棱的中点，所以

所以是异面直线AB和CD所成角（或补角），

设正方体的棱长为，在中，

，,

故答案为：.

16．设，过定点的动直线和过定点的动直线 交于点，则的最大值______.

【答案】

【分析】根据两直线的方程可求得定点、的坐标，以及两直线垂直，进而可得，再结合即可求解.

【详解】由可知，所以该直线过定点，

由可得，所以该直线过定点，

因为直线与垂直，

所以，

因为，

即，解得：，

所以的最大值为，

故答案为：.

三、解答题

17．在中，已知，，.

（1）求边所在的直线方程；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由直线方程的两点式可得；

（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.

【详解】（1），，

边所在的直线方程为，即；

（2）设到的距离为，

则，

，

方程为：即：

.

.

18．已知的顶点A（3，1），边AB上的高CE所在直线的方程为x+3y-5=0，AC边上中线BD所在的直线方程为x+y-5=0

（1）求直线AB的方程；

（2）求点C的坐标．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）求出直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求解.

（2）设，由题意可知为AC中点可得，代入直线CE所在直线，再由，联立方程即可求解.

【详解】（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，

∴直线AB的斜率为，

∴直线AB的方程为，即；

（2）设，

由为AC中点可得，

∴，

解得，代入，

∴．

19．如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，.

(1)求证：∥平面；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由面面平行判断定理证平面BFC平面ADE，再证∥平面即可；

（2）建立空间直角坐标系如图，由向量法即可求

【详解】（1）证明：四边形为矩形，∴，又，平面，平面ADE，故平面ADE，平面ADE，

又平面BFC，∴平面BFC平面ADE，

∵平面BFC，∴∥平面；

（2）建立空间直角坐标系如图，则，

设平面CDF的法向量为，则，取得，

平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，则，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为

20．如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.

（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.

【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则

.

，

，所以,

由于，所以平面.

（2），

，

设平面的法向量为，则

，令，则，所以.

设直线与平面所成角为，则

.

21．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．

（1）证明：直线l过定点；

（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．

【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；

（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；

（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.

【详解】（1）证明：

直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．

（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．

（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，

∴A，B（0，1＋2k）．

又且1＋2k＞0，

∴k＞0．

故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，

当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．

故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．

22．如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．

（1）证明：；

（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）通过证明，得出平面，即可由线面垂直的性质得出；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，可得为二面角的平面角，，求出平面的法向量和，利用向量关系可表示出直线与平面所成角的正弦值，即可根据范围求出.

【详解】（1）证明：如图，作的中点，连接，，

在等腰梯形中，，为，的中点，

∴，

在正中，为的中点，

∴，

∵，，，，平面，

∴平面，

又平面，∴．

（2）解：∵平面，

在平面内作，以为坐标原点，以，，，分别为，，，轴正向，如图建立空间直角坐标系，

∵，，∴为二面角的平面角，即，

，，，，，，

设平面的法向量为，，，

则有，即，

则可取，又，

设直线与平面所成角为，

∴，

∵，∴，

∴．