四川省江油中学2022-2023学年高二数学（理）下学期期中考试试题（Word版附解析）

江油中学2021级高二下期半期考试

数学(理)试题

一．选择题（每小题5分，共60分）

1. 已知命题：，，则命题的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】全称命题的否定,改为,对结论进行否定

【详解】由题,则为,,

故选:A

【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题

2. “”是“”的（    ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：由推得出，故充分性成立，

由推不出，当，时满足，故必要性不成立，

故“”是“”的充分不必要条件；

故选：A

3. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：）与直径（单位：）的关系式为，估计当时，气球体积的瞬时变化率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求导后，代入即可求得结果.

【详解】设，则，，

即当时，气球体积的瞬时变化率为.

故选：C.

4. 函数的最大值是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性求最大值.

【详解】由题得，所以函数f(x)在上单调递减，

所以，

故选A

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

5. 已知p:若在单调，则， q:，则下列命题是真命题的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意先判断命题p，的真假，再利用真值表判断复合命题的真假即可.

【详解】二次函数在区间上具有单调性，

由对称轴，故，即命题p为假命题；

令，则，

在上，

所以在上单调递增，即，

所以在上恒成立，

令，则，

在上，

所以在上单调递增，即，

所以在上恒成立，故命题q假命题，

根据复合命题真假的判断可得为真命题，，，为假命题.

故选：C

6. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（    ）

A. 函数在处取得最小值 B. 是函数的极值点

C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率大于零

【答案】B

【解析】

【分析】根据极值和最值的关系即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；由导数的正负和函数的增减关系即可判断C；由导数的几何意义即可判断D．

【详解】对于A，因为时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增，

所以在处取得最小值，故A正确；

对于B，时，，当时，，

所以不是函数的极值点，故B错误；

对于C，当时，，在区间上单调，故C正确；

对于D，因为，在处切线的斜率大于零，故D正确．

故选：B．

7. 下面说法正确的有（    ）个

①，

②若，则，

③命题“若，则”的否命题为真命题，

④命题“若，则有实根”的逆否命题为真命题.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本不等式求出的范围可判断①，利用作差法比较大小可判断②，根据命题的知识可判断③④.

【详解】当时，，当且仅当时等号成立，

当时，，当且仅当时等号成立，故①错误；

若，则，即，故②正确；

命题“若，则”的否命题为“若，则”，为假命题，故③错误；

有实根的充要条件是，即，故④正确；

故选：B

8. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）

A. 16 B. 12 C. 8 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.

【详解】对求导得，

由得，则，即，

所以，

当且仅当时取等号．

故选：D．

9. 已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求导得，等价于在区间的函数值有正有负，解不等式组即得解.

【详解】解：，

令，由于函数在内不是单调函数，

则在区间的函数值有正有负，

而二次函数开口向上，对称轴为轴，

所以在区间上递增，所以，解得.

所以实数的取值范围是.

故选：A.

10. 若定义在上函数的导函数为，且满足，则不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令，求导可得，从而得在R上单调递减，由此得解.

【详解】令，则，

所以在R上单调递减，

又因为，

所以等价于，即，

所以，

所以不等式的解集为.

故选：C.

11. 已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将恒成立转化为的导函数大于1在上恒成立，即，然后求最值即可.

【详解】因为，所以，即，

因为恒成立，

所以函数在上任意两点连线的斜率大于1，则的导函数大于1在上恒成立，

所以，整理得，所以，

因为二次函数开口向下，对称轴为，

所以在上单调递减，

所以.

故选：A.

12. 已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先对求导结合函数定义域，根据参数a的正负分情况讨论函数单调性及极值点的情况，最终求解.

【详解】因为的定义域为且存在唯一的极值点，所以存在唯一的变号正实根．

因为，所以只有唯一变号正实根．

当时，恒成立，方程只有唯一变号正实根，符合题意；

当时，要使存在唯一极值点，则需恒成立，即在上恒成立，

因为，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

综上所述，．

故选：A.

二．填空题（每小题5分，共20分）

13. 已知为虚数单位，若复数满足，则______.

【答案】

【解析】

【分析】先将整理为的形式,再由模的定义求解即可.

【详解】由题,因为,

所以,

所以,

故答案为:

【点睛】本题考查复数的模,考查复数的除法运算.

14. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是____．

【答案】[2，6]

【解析】

【分析】写出命题否定，利用不等式对应的二次函数的图像与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围.

【详解】由命题“”的否定为“”，

因为命题“”为假命题，则“”为真命题，

所以，解得，

则实数的取值范围是.

故答案为：.

15. 直线与函数的图像分别交于点，则的最小值为_____

【答案】

【解析】

【分析】=，然后通过导数求该函数的最小值即可.

【详解】

令，则

，

当时，，当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，的最小值为.

故答案为：.

16. 已知函数，满足恒成立，则实数的取值范围为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可知，设，可得，求出的单调性，分，讨论，求出的单调性和最值，进而可得答案.

【详解】由题意可知，

设，

则，所以在上为增函数，，

（1）当，即时，，从而在上为增函数，

所以恒成立；

（2）当，即，令，则.

又，所以，使得，

从而在上为减函数，当时，，不合题意.

综上得取值范围为.

故答案为：.

【点睛】本题考查三角函数与导函数的综合问题，考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力，是中档题.

三．解答题（17题10分，其余个各题各12分，共70分）

17. 设命题：实数满足，命题：实数满足.

（1）若，若同为真命题，求实数的取值范围.

（2）若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先代入化简两个命题，再根据、同为真命题求解；

（2）先化简两个命题，再根据是的充分不必要条件得到是的充分不必要条件，再利用集合间的包含关系进行求解.

【小问1详解】

解：当时，

可化为，解得；

由，得，即，

若、同为真命题，

则，解得，

即实数的取值范围为.

【小问2详解】

解：当时，

可化为，解得；

则：，：；

因为是的充分不必要条件，

所以是的充分不必要条件，

则且，即，

即实数的取值范围为.

18. 已知函数在处取得极大值1

（1）求在处的切线方程；

（2）判断的零点个数，并说明理由.

【答案】（1）   

（2）函数有三个零点，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意结合导数与极值的关系求，再根据导数的几何意义求切线方程；

（2）求出函数的单调区间和极值，数形结合即可判断零点个数.

【小问1详解】

，则，

由题意可得，解得，

即，，

令，解得或，

故在上单调递增，在上单调递减，

则在处取得极大值1，即符合题意.

因为，则切点坐标为，切线斜率，

所以函数的图象在x=1处的切线方程为，即.

【小问2详解】

由（1）得，令，得或，

由，得或，由，得，

所以在和上递增，在上递减，

又，如图

由图象可知，函数有三个零点.

19. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线与极轴相交于，两点.

（1）求曲线的极坐标方程及点的极坐标；

（2）若直线的极坐标方程为，曲线与直线相交于，两点，求的面积.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）消去参数可得曲线的普通方程，再由代入可得答案；

（2）令求出，再由可得答案.

【小问1详解】

由消去参数，得，即，

由代入可得

曲线的极坐标方程为.

令，则，故点的极坐标为；

【小问2详解】

令，则，

故的面积.

20. 已知．

（1）若，解不等式；

（2）当时，的最小值为3，若正数m，n满足，证明：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）对的取值进行分类，分段求解不等式，再求并集即可；

（2）根据绝对值三角不等式求出，再利用柯西不等式证明即可求得结果.

【小问1详解】

当时，不等式为，

当时，可以化为，解得；

当时，可以化为，得，不等式不成立；

当时，可以化为，解得；

综上,可得不等式的解集为.

【小问2详解】

当时，

当时等号成立，由可得（舍）或，故,

由柯西不等式可得
 

，即得

当且仅当时，即时取等号．

21. 设函数.

（1）作出函数图象，并求的值域；

（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）图象见详解，.   

（2）

【解析】

【分析】（1）将函数绝对值打开得到分段函数，再作出函数的图象；

（2）结合函数与的图象得出结果.

【小问1详解】

已知，

则

则的图象如图所示：

由的图象可知的值域为.

【小问2详解】

由，解得,或,

由，解得.，如下图，

若存在，使得不等式成立，

则由图象可知，，解得

求实数的取值范围.

22. 已知函数.

（1）当时，讨论函数在上的单调性；

（2）当时，，求实数的取值范围．

【答案】（1）在上单调递减   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，求得，利用导数符号与函数单调性的关系可得出函数的单调性；

（2）对实数的取值进行分类讨论，在时，利用（1）中的结论验证即可；在或时，由可得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，利用单调性可验证在上不恒成立，综合可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

解：当时，，则．

令，其中，

则，则在上单调递减．

故当时，，

所以在上单调递减．

【小问2详解】

解：由（1）可知当且当时，函数在上为减函数，

此时，，

则当时，，满足题意；

由，化简可得，

令，其中，则．

当时，若，则，在上是减函数，

所以当时，，不符合题意．

当时，，则在上是减函数，此时，不符合题意．

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题

（1）分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围．

（2）函数思想法

第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解．