真题重组卷04——2023年高考数学真题汇编重组卷（天津专用）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷04

天津专用（参考答案）

一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.  D【解析】把，，，分别代入得：，，，，即，
，．故选D．

2.  A【解析】当为整数时，也是整数，充分性成立；当为整数时，不一定是整数，如时，所以必要性不成立，即是充分不必要条件．故本题选A．

3.   B【解析】根据题意，，其定义域为，有，是偶函数，排除，在区间上，，必有，排除，故选：．

4. B【解析】志愿者的总人数为，第组的人数为，有疗效的人数为．故选B．

5.  B【解析】如图，设球的半径为，






由题意，，可得，则球的直径为，
两个圆锥的高之比为：，，，由直角三角形中的射影定理可得：，即．这两个圆锥的体积之和为．故选：．

6.   C【解析】是定义在上的单调递增函数，，即，
是定义在上的单调递减函数，，即，
是定义在上的单调递增函数，，即，
所以．故本题选C．

7.   D【解析】抛物线的焦点为，准线为，，准线的方程为，
与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点，
，，，．，双曲线的离心率为．故选D．  

8.   C【解析】是奇函数，，则，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，所得图象对应的函数为，即，的最小正周期为，，得，则，，若，则，即，则，则，故选C．

9.  A【解析】在区间内恰有个零点又二次方程最多有两个零点，至少有四个根，，令，即 ，，
，，又，，，即，，
当时，，有个零点，即，
，有个零点，即，
，有个零点，即，
当时，，
，解得，
当时，，无零点，当时，，有个零点，当时，，的对称轴，即在对称轴的左边，
当时，即，有两个零点，
当时，即，有个零点，综合可得，．故选A．

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．

10.   【解析】，，，解得：，故答案为．

11.    【解析】二项式的展开式的通项公式为，
令，得，所以常数项为．二项式的展开式中各个二项式系数的和为．故答案为：；．

12.2 【解析】由题知，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，
又直线与圆相交所得的弦长为，，解得或舍．故答案为．

13.；【解析】因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，则甲、乙两球都落入盒子的概率，
甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为，故答案为：，.

14． 【解析】，，且，则，
当且仅当时取等号，解得，结合，，为方程的两根，
，或， 取等号，的最小值为，故答案为．

15. ；【解析】如图，设，

是边长为等边三角形，，，，，，
，是边长为等边三角形，，
，
则，

，，的最小值为．故答案为：，．

三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16． （1）；（2）；（3）

【解析】在中，：：：：，：：：：，
，，．
在中，，，，由余弦定理可得．
由可知，又，则，
，，
则．

17．（1）证明见详解；（2）；（3）

【解析】证明：取的中点，连接，，又为中点，为中点，为中点，
，，又平面，平面，平面，同理可得，平面，
又，平面平面，平面，
在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系，
又，为中点，为中点，为中点．
故B，，，，，
则，，，
设是平面的法向量，则有：，，即，令，则，，所以，
设直线与平面的夹角为，则，
，则，，
设平面的法向量为，则有，，
即，令，则，，故，
设平面与平面的夹角为，
所以． 

18． （1）；（2）证明见详解

【解析】证明：由数列是公差为的等差数列，其前项的和为，
可得，解得，所以；由数列是公比大于的等比数列，，可得，解得舍去，所以
证明：因为，
所以，
则，
所以，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
证明：设，
考虑，则，所以，则，
两式相减可得，，
所以，则，故． 

19. （1）（2）

【解析】Ⅰ由题意可得，即，则，，解得，，故椭圆方程为；
Ⅱ，，设的方程为，代入椭圆方程，可得，
解得或，即有，，令，可得，
又，，可得，解得，可得的斜率为．  

20. （1）（2）证明见详解；（3）证明见详解

【详解】Ⅰ，；
下面分两种情况讨论：
时，在上恒成立，在上是增函数，不合题意；
时，由，得，当变化时，、的变化情况如下表：

的单调增区间是，减区间是；
函数有两个零点等价于如下条件同时成立：
；
存在，满足；
存在，满足；
由，即，解得；
取，满足，且，
取，满足，且；
的取值范围是
Ⅱ证明：由，得，
设，由，得在上单调递增，在上单调递减，
并且当时，，当时，，
、满足，，及的单调性，可得，；
对于任意的、，设，，其中；
，其中；
在上是增函数，由，得，可得；类似可得；
又由、，得；随着的减小而增大；

Ⅲ证明：，，，；
，设，则，
，解得，，
；
令，，则；
令，得，当时，，
在上是增函数，对任意的，，
，在上是增函数；
由得随着的增大而增大．
由Ⅱ知，随着的减小而增大，
随着的减小而增大．