真题重组卷03——2023年高考数学真题汇编重组卷（天津专用）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷03

天津专用（参考答案）

一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.  D【解析】解不等式，得，所以，所以故选D．

2.  C【解析】如：当首项为，时，各项为，，，，，此时，；而对任意的正整数，，因为，所以，，则“”是“对任意的正整数，”的必要不充分条件，故选C．

3.   D【解析】函数的定义域为，，该函数为奇函数，故A错误；时， ， ；， ；，，故BC错误， D正确．故选： D．

4. D【解析】高一的近视学生人数为： ，高二的近视学生人数为： ，

高三的近视学生人数为： ，设抽取的高三学生人数为，则，解得．故选： D．

5.   A【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：，增区间满足：，，减区间满足：，，增区间为，，减区间为，，故选A．

6.   C【解析】奇函数在上是增函数，当，，且，，当时，，在单调递增，且偶函数，，则，，由在单调递增，则，，故选C．

7.   A【解析】因为，，所以该青铜器的体积  故选：A.

8.   B【解析】设双曲线的左焦点，离心率，，则双曲线为等轴双曲线，即，双曲线的渐近线方程为，则经过和两点的直线的斜率，则，，则，双曲线的标准方程：．故选：．

9.  D【解析】，，由，得，设，若，则，，则，若，则，，则，若，，，则．即，作出函数的图象如图：

当时，，当时，，
故当时，，有两个交点，当时，，有无数个交点，由图象知要使函数恰有个零点，即恰有个根，则满足，故选D

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．

10.   【解析】，故答案为：．

11. 7【解析】展开式中含的项为，所以的系数为7，故答案为：7．

12.  28；16．【详解】①因为数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22由小及大排列：12，14，18，20，22，24，26，26，28，30，33.35．

，且该组数据从小到大排列后第9个数据为28，所以这组数据的70分位数是28．

②数据1，5，9，12，13，19，21，23，28，36；

，该组数据从小到大排列后的第50百分位数是16，故答案为：28；16．

13.【解析】设直线AB的方程为，则点，由于直线AB与圆相切，且圆心为，半径为1，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.

14． 【解析】因为 ，所以.当时， ；当时， ，当且仅当 时等号成立．因为，所以原式取最小值时 ．又 ，所以时，原式取得最小值．

15. 【解析】由题意，得到，所以，当且仅当时等号成立；故答案为：．  

三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．

【解析】Ⅰ在三角形中，由正弦定理得，所以，又由，得，即，又因为，得，，由余弦定理可得
；
Ⅱ由Ⅰ得，从而，
，故． 

17．（1）证明详见解析（2）；（3）

【解析】证明：因为，，平面，
而、平面，所以，，
因此以为坐标原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．

因为且，且，，所以，，，，，，，，．设为平面的法向量，，则，不妨令，可得；又，所以．又直线平面，平面；
解：依题意，可得，，．设为平面的法向量，则，不妨令，可得．设为平面的法向量，则，不妨令，可得．若二面角的大小为，
则，因此．二面角的正弦值为；
解：设线段的长为，则点的坐标为，可得，而为平面的一个法向量．又因为直线与平面所成的角为，所以，即，解得．线段的长为． 

18． （1）；（2）或

【解析】Ⅰ设椭圆的焦距为，由椭圆的离心率为，；又，，由，，且；可得，从而解得，，
椭圆的方程为；
Ⅱ设点的坐标为，点的坐标为，由已知；；又，且，，由，可得；
由方程组，消去，可得，由Ⅰ易知直线的方程为；
由方程组，消去，可得；由，可得，
两边平方，整理得，解得或；的值为或． 

19. （1），；（2）证明详见解析；（3）

【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，
，，解得，，；
证明：由知，等比数列的公比为，，，为数列的前项和，，；
，，
设．
则，
，
，得：
，，． 

20. （1）单调减区间为，单调递增区间为；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析

【详解】解：由已知，，有，令，解得．
由，可知当变化时，，的变化情况如下表：

函数的单调减区间为，单调递增区间为；
证明：由，可得曲线在点处的切线的斜率为．
由，可得曲线在点处的切线的斜率为．
这两条切线平行，故有，即，
两边取以为底数的对数，得，证明：曲线在点处的切线：，
曲线在点处的切线：．
要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，
只需证明当时，存在，使得与重合，
即只需证明当时，方程组
由得，代入得：
，因此，只需证明当时，关于 的方程存在实数解．
设函数，即要证明当时，函数存在零点．
，可知时，；时，对求导，易知单调递减，又，，故存在唯一的，且，使得，即．由此可得，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，故．．下面证明存在实数，使得，由可得，当时，有
．
存在实数，使得．因此，当时，存在，使得．
当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．