云南省曲靖市会泽实验高级中学2022-2023学年高二数学下学期月考（二）试题（Word版附解析）

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会泽实验高级中学校2023年春季学期高二年级月考试卷（二）

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．

第I卷（选择题，共60分）

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合，，，则（    ）

A.  B. 2，

C. 2，4， D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用集合的并集和交集运算求解.

【详解】因为，，

，2，4，，

又，

，2，．

故选：B．

2. 在复平面内，复数z满足，则(    )

A. 1 B. i C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的运算方法计算即可.

【详解】.

故选：D.

3. 已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（    ）

A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项

【答案】C

【解析】

【分析】由已知通项公式，令并求解，即可确定答案.

【详解】令，解得．

故选：C．

4. 设函数，则（    ）

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】由求导公式求得导函数，再代入计算导数值．

【详解】∵，∴，∴，

故选：A．

5. 已知等差数列的前n项和为．若，则（    ）

A. 60 B. 50 C. 30 D. 20

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列求和公式及等差数列下标和的性质即可求得答案.

【详解】.

故选：C．

6. 已知函数的导函数为，且满足，则（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】先对求导，然后根据列出关于的等式，即可解出.

【详解】设，则，，

所以，即.

故选：B.

【点睛】本题考查了导数的基本运算，难度不大，解题关键是明确是一个常数.

7. 为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有（   ）

A. 6种 B. 8种 C. 20种 D. 24种

【答案】B

【解析】

【分析】根据分类计数法将甲分为第一个出场和第二个出场两种情况，然后根据分步计数原理求出这两种情况下的排列方式，即可求解.

【详解】解：由题意知：

当甲第一个出场时，不同演讲的方法有（种）；

当甲第二个出场时，不同演讲方法有（种）.

所以所求的不同演讲方法有（种）

故选：B

8. 某乡镇实现脱贫目标后，在奔小康的道路上，继续大步前进，依托本地区苹果种植的优势，经过3年的发展，苹果总产量翻了一番，统计苹果的品质得到了如下饼图：70，80是指苹果的外径，则以下说法中不正确的是（    ）

A. 80以上优质苹果所占比例增加

B. 经过3年的努力，80以上优质苹果产量实现翻了一番的目标

C. 70~80的苹果产量翻了一番

D. 70以下次品苹果产量减少了一半

【答案】D

【解析】

【分析】设原苹果总产量为，从而3年后苹果总产量为；根据饼图，分别计算出3年前和3年后各类苹果的产量，从而可判断选项.

【详解】设原苹果总产量为，则经过3年的发展，苹果总产量为，

3年前80以上优质苹果所占比例，3年后80以上优质苹果所占比例，所占比例增加，故选项A正确；

3年前80以上优质苹果的产量为，3年后80以上优质苹果的产量为，故80以上优质苹果产量实现翻了一番的目标，选项B正确；

3年前70~80苹果的产量为，3年后70~80苹果的产量为，故70~80的苹果产量翻了一番，选项C正确；

3年前70以下次品苹果的产量为，3年后70以下次品苹果的产量为，故70以下次品苹果的产量没变，选项D错误.

故选：D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 设向量，则（    ）

A.  B. 与同向的单位向量是

C.  D. 与的夹角是

【答案】CD

【解析】

【分析】根据向量的模，数量积，夹角的坐标表示计算后判断．

【详解】由已知，，A错；

与同向的单位向量是，B错；

，所以，C正确；

，而，所以，D正确．

故选：CD．

10. 已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列说法中正确的是（    ）

A. 若，，，则 B. 若，，则

C 若，，，则 D. 若，，，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，利用线面平行的性质定理判断，对于B，利用线面平行的判定定理判断，对于C，利用线面垂直的判定定理判断即可，对于D，利用面面平行的判定方法判断.

【详解】由线面平行的性质定理可知，A正确；

若，则或，即B错误；

设的法向量分别为，若，则，又，则， ，所以，即C正确；

若，则，又，则，即D正确.

故选：ACD

11. 设，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 展开式中二项式系数最大的项是第5项

【答案】AC

【解析】

【分析】利用赋值法判断A、B；写出展开式的通项，即可求出、，进而判断C；根据二项式系数的性质判断D.

【详解】因为，令得，故A正确；

令得，所以，故B错误；

二项式展开式的通项为，

所以，，所以，故C正确；

因为二项式展开式共项，则展开式中二项式系数最大的项是第6项，为，故D错误；

故选：AC.

12. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ）

A. 若，则是等差数列

B. 若，则是等比数列

C. 若是等差数列，则

D. 若是等比数列，且，，则

【答案】BC

【解析】

【分析】根据等差数列、等比数列性质判断各选项．

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，若，则，，，则不是等差数列，A错误；

对于B，若，则，当时，，时，也满足，所以，则是等比数列，B正确；

对于C，是等差数列，则，C正确；

对于D，若是等比数列，，∴，故D错误，

故选：BC．

第II卷（非选择题，共90分）

注意事项：

第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若正数，满足，则的最小值为______．

【答案】16

【解析】

【分析】“1”

根据式子结构，利用“1”的妙用求出最小值.

【详解】∵正数，满足，

∴，当且仅当也即当时取“”．

故答案为：16.

14. 求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________

【答案】x＋2y－7＝0

【解析】

【分析】

首先求两条直线的交点，再利用垂直关系设出直线，代入交点求解.

【详解】由得∴l1与l2的交点坐标为(1，3)．

设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，

则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.

∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.

15. 在50件产品中，有48件合格品，2件次品，从这50件产品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有______种．

【答案】2304

【解析】

【分析】利用对立事件计算出正确答案.

【详解】从这50件产品中任意抽出3件，

抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有：

种.

故答案为：

16. 已知是双曲线的左､右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为___________.

【答案】3

【解析】

【分析】令，应用向量线性关系的坐标表示可得，即可求离心率.

【详解】令，又，，，则，

∴，故，

∴.

故答案为：3.

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在中，内角、、的对边分别为、、，且．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用正弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.

小问1详解】

解：，由正弦定理可得，

由余弦定理可得，，故.

【小问2详解】

解：由正弦定理，故，

故.

18. 设等比数列的前n项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是否存在正整数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）由满足这两个条件建立等式解出首项和公比，结合等比数列的通项公式，即可求解；

（2）由（1）得，由，得，然后解方程即可.

【小问1详解】

设公比为q，由，得，解得.

由，得，

结合，解得，

所以数列的通项公式为.

【小问2详解】

由（1），得，

则是以1为首项，2为公差的等差数列，

由，得，

整理，得，解得或（舍去）

故存在，使得.

19. 如图，已知四棱锥中，平面为等边三角形，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取PD的中点，连接，，通过证明四边形是平行四边形得到，再证明平面即可得答案；

（2）取中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出面与面的法向量，利用空间向量进行求解.

【小问1详解】

取PD的中点，连接，，则，且，

又因为，

所以且，

所以四边形是平行四边形，，

因为为等边三角形，为中点，所以，

又CD平面PAD，所以，又

所以平面，

由得平面.

【小问2详解】

取中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

可得

所以，

设是平面一个法向量，

由得

所以可取，

设是平面的一个法向量，

由得

可取，

则，

故平面PAB与平面BDM所成锐二面角的余弦值为.

20. 某市为了了解人们对传染病知识的了解程度，对不同年龄的人举办了一次“防疫抗疫”知识竞赛.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中第一组有6人.

（1）求x；

（2）估计抽取的x人的年龄的85%分位数；

（3）采用样本量比例分配的分层随机抽样从第四､五组中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这2人中至少有1人来自第四组的概率.

【答案】（1）   

（2）38.75    （3）

【解析】

【分析】（1）根据频数总数频率计算可得；

（2）设分位数为，依题意得到方程，解得即可；

（3）按照分层抽样得到第四组抽取4人，记1，2，3，4，第五组抽取2人，记A，B，用列举法一一列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；

【小问1详解】

解：由频率分布直方图可知，第一组的频率为，

所以，解得.

【小问2详解】

解：设分位数为a，则，

，

解得，故分位数的估计值为38.75.

【小问3详解】

解：由频率分布直方图可知第四､五组的抽取比例为2∶1，抽取6人，

则第四组抽取4人，记1，2，3，4，第五组抽取2人，记A，B，

随机抽取两人，，，，，，，，，，，，，，，，共15种，

至少1人来自第四组的有，，，，，，，，，，，，，，共14种，

所以至少1人来自第四组的概率为.

21. 已知函数，若曲线在处的切线方程为．

（1）求，的值；

（2）求函数在上的最小值．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；

（2）判断函数在上单调性，进而可得最值.

【小问1详解】

由已知可得．

又，

所以．

【小问2详解】

由（1）可知，，

令，解得或，

所以在和上单调递增，在上单调递减．

又，，

所以函数在上的最小值为．

22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，，且C过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点，过且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于A，B两点，，求直线l的方程．

【答案】（1）   

（2），或

【解析】

【分析】（1）利用椭圆定义求得，求得，再由可得答案；

（2）设的直线方程为，， 由得，椭圆方程与直线方程联立再利用韦达定理可得答案.

【小问1详解】

因为，所以，，

，所以，

又，所以，

所以椭圆的方程为.

【小问2详解】

由（1）椭圆的方程为，

因为，所以在椭圆的内部，

由已知设的直线方程为，，

由得，

所以，

，

因，所以，

可得，即，

解得或，

所以直线设的方程为，或.