2022-2023学年云南省曲靖市会泽实验高级中学校高二下学期月考（三）数学试题含解析

2022-2023学年云南省曲靖市会泽实验高级中学校高二下学期月考（三）数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】，再计算交集得到答案.

【详解】，∴.

故选：D.

2．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解.

【详解】因为复数z满足，

所以，

所以z的虚部为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3．随机变量的分布列如下表所示：

则（    ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

【答案】C

【分析】利用分布列的性质求出的值，然后由概率的分布列求解概率即可．

【详解】解：由分布列的性质可得，，可得，

所以．

故选：C．

4．已知数列是等差数列，且，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】根据数列的下标和性质，对原式进行转化即可求得.

【详解】因为，

所以，，

解得.

故选：D.

【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题.

5．2022年12月4日是第九个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲同学答对第一道题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件概率的计算公式，即可求得答案.

【详解】依题意，

故选：

6．已知随机变量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二项分布的方差和期望公式，列方程即可解出的值，进而可求.

【详解】由二项分布的方差和期望公式可得：

，解得，则．

故选：C

7．已知，则的大小关系为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，，所以；故选C.

8．关于函数.下列说法错误的是（ ）

A．的图象关于y轴对称

B．在上单调递增，在 上单调递减

C．的值域为

D．不等式的解集为

【答案】D

【解析】根据函数，逐一对其进行奇偶性，复合函数的单调性分析，即可判断选项A，B，C均正确，而选项D也可由单调性转化为关于的二次不等式求解，解集应为，则D错误.

【详解】因为函数，

，

则该函数为偶函数，其图像关于轴对称，故选项A说法正确；

令，在单调递增，单调递减，

又在单调递增，

则由复合函数的单调性可知

在单调递增，单调递减，故选项B说法正确；

由可得，

即的值域为，故选项C说法也正确；

由不等式即

，则，

故的不等式解集为，选项D说法错误.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是对复合函数的单调性的判断，并由此应用到求值域和解不等式.

二、多选题

9．已知抛物线的焦点为F，过F与y轴垂直的直线交抛物线于点M，N，则下列说法正确的有（    ）

A．点F坐标为 B．抛物线的准线方程为

C．线段MN长为4 D．直线与抛物线相切

【答案】BC

【解析】根据抛物线的标准方程和几何性质，可判定A不正确，B正确；令，可得求得，可判定C正确；联立方程组，根据，可判定D不正确.

【详解】由抛物线，可得，即，且焦点在轴上，所以焦点为，

准线方程为，所以A不正确，B正确；

令，可得，解得，所以，所以C正确；

联立方程组，整理得，可得，

所以直线与抛物线没有公共点，所以D不正确.

故选：BC.

【点睛】求解直线与抛物线的位置关系问题的方法：

在解决直线与抛物线的位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系，在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合法的思想来求解.

10．已知函数，则下列选项正确的有（    ）

A．的最小正周期为

B．曲线关于点中心对称

C．的最大值为

D．曲线关于直线对称

【答案】CD

【分析】利用三角函数辅助角公式化简可得，即可求得周期，判断A；结合正弦函数的最值判断C；结合正弦函数的对称性判断B，D.

【详解】由题意得函数，

所以的最小正周期，故错误；

由于，则曲线不关于点中心对称，故B错误；

由于，故，故C正确；

由于为函数最值，则曲线关于直线对称，故D正确，

故选：CD.

11．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（    ）

A．共有60种不同的坐法

B．空位不相邻的坐法有72种

C．空位相邻的坐法有24种

D．两端不是空位的坐法有18种

【答案】ACD

【分析】按照题目给定的条件排列即可.

【详解】对于A， ，故A正确；

对于B，相当于先排好这3个人有 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，

故有 种插法， ，故B错误；

对于C，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中， ，

故C正确；

对于D，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，

第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有 种，

故D正确；

故选：ACD.

12．设函数，则下列说法正确的是(    )

A．定义域是 B．时，图象位于x轴下方

C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点

【答案】ABC

【分析】直接根据函数解析式即可判断A、B；求f(x)的导数，利用导数即可研究函数的单调性、极值点，由此即可判断C、D.

【详解】对A选项，需满足，解得且，

∴的定义域为，故A正确；

对B选项，由，当时，，∴，

∴在上的图像都在x轴的下方，故B正确；

对C选项，，令，∵，

∴在单调递增，∵，∴x＞2时，g(x)＞0，，

∴存在单调递增区间，故C正确；

对D选项，由B可知，时，图象位于x轴下方；

当x＞1时，∵g(x)在单调递增，且，，

∴存在唯一的使g(x)＝0，即，

当时，g(x)＜0，，单调递减，

当时，g(x)＞0，，单调递增，

∴f(x)只有一个极小值点，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．若向量，，且，则___________.

【答案】13

【分析】利用向量平行的充要条件列方程求x.

【详解】因为向量，， ，

所以，

解得：x=13.

故答案为：13

14．的展开式中项的系数为__________．

【答案】

【分析】根据二项式定理求出通项，再求项的系数.

【详解】因，只需要求的展开式中含项的系数．

又的展开式的通项为，

则含项的系数分别是，，

的展开式中项的系数为.

故答案为：2.

15．网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程.某同学有一圆锥状的木块，想把它打磨成“车珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为，体积为，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积的最大值是__________.

【答案】

【分析】根据圆锥体积求出圆锥的高和母线长，利用轴截面面积求得珠子的半径，即可求得答案.

【详解】设圆锥的高为，则，

故圆锥的母线长为，

作圆锥轴截面和其内切圆，此时珠子的体积最大，设内切圆的半径为，

则，

故该珠子的体积最大值是，

故答案为：

四、双空题

16．已知函数，则在点处的切线方程为______，若在上恒成立，则实数的取值范围为______.

【答案】         

【解析】（1）求出，可得出所求切线的斜率，并求出切点的坐标，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）利用参变量分离法得出对任意的恒成立，令，利用导数求出函数在区间在区间上的最小值，进而可求得实数的取值范围.

【详解】（1），，

所以，又因为，所以切线方程为，即；

（2）由题可得：在恒成立，

设，则，

因为，所以当时，，当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

所以当时，有最小值，所以.

故答案为：；.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

五、解答题

17．已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)运用等差数列的求和公式和通项公式，等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求通项公式.

(2)求得，用数列的裂项相消求和，计算可得所求和.

【详解】（1）由，得，由成等比数列，得，

即，整理得，又因为公差d为整数，所以，

所以数列的通项公式为；

（2）==，

所以==．

18．在中，角，，所对的边分别为，，，在①，②这两个条件中任选一个，并解答：

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

【分析】（1）若选①：根据正弦定理得，化简成，即可得解；

若选②：由正弦定理得：，结合余弦定理即可求解；

（2）结合（1）利用余弦定理求出，即可得到三角形面积.

【详解】（1）若选①：因为，

由正弦定理得，

即，

，又因为，，

所，即

若选②：

由正弦定理得：

化简得：，

又由余弦定理，

得，又因为，得·

（2）由余弦定理得

∴，

又，，代入得，

所以.

19．在如图所示几何体中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，，，，，且平面平面．已知，．

(1)证明：；

(2)求直线EF与平面BEC所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再连接，即可得到，从而得到平面，即可得证；

（2）建立直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；

【详解】（1）证明：因为平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，

连接，在梯形中，由，，，，

所以，所以，所以，

因为，，平面，，

所以平面，因为平面，所以

（2）解：分别以、、所在直线为、、轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，平面与直线所成的角为，则，令，则，，所以，所以，所以直线EF与平面BEC所成角的正弦值为；

20．2018年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄（单位：岁）分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.

（1）求实数的值；

（2）若先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样共抽取10人，然后从被抽取的这10人中随机抽取3人参加优胜比赛.

①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；

②设为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求的分布列和数学期望.

【答案】（1）（2）①②见解析

【分析】（1）根据频率和为列方程，解方程求得的值.（2）利用分层抽样的知识计算出每组的抽取人数. ①用古典概型的概率计算公式计算出这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②利用超几何分布的知识计算出分布列和数学期望.

【详解】解：（1）直方图中的组距为5，

可得，

得.

（2）从直方图中可得第四组的人数为（人），第五组的人数为（人），第六组的人数为（人），

三组共100人，按组用分层抽样法抽取10人，则第四组应抽取4人，第五组应抽取3人，第六组应抽取3人.

①三组各有一人参加优胜比赛的概率；

②的可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

的分布列为

.

【点睛】本小题主要考查频率分布直方图有关的计算，考查古典概型，考查超几何分布，属于中档题.

21．已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在过点P(0，3)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【分析】（1）点代入椭圆方程，得，由得可转化为a2=2b2，解出a，b，进而得出方程.

（2）分两种情况讨论，斜率不存在时，显然不满足，斜率存在时设所求直线方程l：y=kx+3代入椭圆方程化简得：(1+2k2)x2+12kx+14=0，结合韦达定理和，分析斜率，进而写出方程.

【详解】解：（1）由已知点代入椭圆方程得，

由得可转化为a2=2b2，

由以上两式解得a2=4，b2=2，

所以椭圆C的方程为：.

（2）存在这样的直线.

当l的斜率不存在时，显然不满足，

所以设所求直线方程l：y=kx+3代入椭圆方程化简得：(1+2k2)x2+12kx+14=0，

①，②

△=(12k)2﹣4×14×(1+2k2)>0，，

设所求直线与椭圆相交两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由已知条件可得x2=2x1③，

综合上述①②③式子可解得符合题意，

所以所求直线方程为：.

【点睛】本题考查椭圆的方程，以及直线和椭圆相交问题，属于中档题.

22．已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数有两个零点，则且有，即可求出实数的取值范围.

【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，.

①当时，由，知函数在内单调递增；

②当时，由，即得；

由，即得.

所以，函数在内单调递增，在内单调递减.

因此，当时，在内单调递增；

当时，在内单调递增；在内单调递减；

（Ⅱ）当时，则函数在上为增函数，函数最多一个零点，不合乎题意，舍去；

当时，由（Ⅰ）知，函数在内单调递增，在内单调递减.

且当时，，当时，，

则，即，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.