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2023年中考数学考前信息必刷卷01
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这是一份2023年中考数学考前信息必刷卷01，共38页。
2023年中考数学考前信息必刷卷01
数 学(山西专用）
（时间120分钟，满分120分)
中考新动向
2023年山西中考数学试卷结构和内容基本没变！2023年数学试卷满分120分，共23题：10（选择题）+5（填空题）+8（解答题），根据最新考试信息以及适应考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，体现数学课程标准对数学教学要求，落实“一核*六维*四手段”理念，对课标内知识的考查覆盖较为全面。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的运算及化简求值，方程不等式组的概念在选择题和填空中的比重较大，在综合题的考察方面，题型较为全面，知识点覆盖面广，主要包括方程不等式的解法、代数式的化简求值、几何的证明与计算，统计中数据的收集和处理、概率的计算，解三角形、列方程解应用题，尺规作图以及函数的考查等。阅读理解题更加注重信息获取和理解掌握。最后的压轴题多为动手操作型，创新性明显。
考题大预测
通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，本卷重点题型预测方向如下：
中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的考生的综合能力.同时应加强学生的作图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于阅读理解创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力， 选择题前几道 涉及实数的有关概念、科学计数法、三视图、平行线的性质、轴对称中心对称图形，第6-9题主要是概率、函数与不等式的联系、跨学科整合、圆中阴影部分面积的计算、第10题是二次函数的性质综合题；填空题5道，主要涉及二次根式运算、、列方程、圆的性质、15题小压轴，主要是四边形的翻折平移旋转后的计算。解答题第16是基本计算，主要是数与式的计算、解方程与不等式，第17题是四边形的简单证明；第18题考查频数分布表的意义和制作方法，中位数、众数的意义、树状图求概率；第19题是方程不等式函数的生活问题，第20题考查了锐角三角函数的应用，第21题是阅读理解题，解题关键是读懂题意，将新知识转化，把新方法应用；第22题主要考查了特殊四边形、特殊三角形的性质和图形的类比探究，综合性较强，属于中考压轴题．第23题主要考查了二次函数的综合题，涉及二次函数的图象和性质，待定系数法，线段和角之间的关系，用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．2022年5月1日上午7时，太原市主城区的气温为零上8℃，记作＋8℃．此时吕梁山海拔最高点的气温为零下3℃，可记作（ ）
A． ＋3℃ B．＋5℃ C．－3℃ D．－5℃
2.将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．2023年《政府工作报告》提出，“义务教育优质均衡发展”．根据预算报告，支持学前教育发展资金安排250亿元、增加20亿元，扩大普惠性教育资源供给．其中250亿元用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
4.下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.将分别标有“最”、“美”、“山”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7.甲、乙两种物质溶解度曲线如图所示。下列说法正确的是
A．a2℃时，在100g水中加入30g甲，形成饱和溶液
B．甲的溶解度受温度影响比乙小
C．甲的溶解度大于乙的溶解度；
D．a1℃时，甲、乙的溶解度相同
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝52°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数是（ ）
A．24° B．26° C．14° D．18°
9. 如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，AB上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，AD的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6π−33 B．6π−63 C．12π−932 D．6π−334
10.已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷
二、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11．计算的结果是__．
12.如图：的顶点、的坐标分别是，，，，函数的图像经过点，则的值为____________．
13.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D是上一点，连接CD并延长至点E，使得AE＝AD．若∠BDC＝20°，则∠E＝______°．
14.山西省被列入《世界遗产名录》的世界文化遗产有：平遥古城、云冈石窟、五台山，小明计划利用5·1小长假和爸爸妈妈一起进行研学旅行，他在携程网上进行全家三口人的门票预订．得知平遥古城门票价格比云冈石窟门票价格多10元，五台山门票价格比平遥古城门票价格多5元，订票一共花了1155元．设云冈石窟的门票价格为x元，则列方程为__________．
15.如图，在正方形ABCD中，AD＝10，点E在BC边上（不与端点重合），BF⊥AE于点F，连接DF，当△ADF是等腰三角形时，EC的长等于 ．
三、 解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（10分）（1）计算：．
（2）对于试题：“先化简，再求值：，其中．”某同学写出了如下解答：
解：[来源:Zxxk.Com]
，
当时，原式．
她的解答正确吗？如果正确，写出每步依据，如不正确，请你写出正确解答．
17. （7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．
（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
18. （9分）文明是一座城市的幸福底色，是一座城市的内在气质．吕梁市正创建“第七届全国文明城市”，某校为了提高学生的创文意识，举办了“创文知识”测评活动．现从七年级、八年级中各随机抽取20名学生的测评成绩（满分50分，45分及45分以上为优秀，40分及40分以上为合格）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
七年级20名学生的测评成绩（单位：分）分别为：
44 50 40 40 50 45 45 45 49 45
44 42 49 42 49 49 45 42 38 42
八年级20名学生的测评成绩统计图如图所示：
两个年级抽取的学生的测评成绩的平均数、众数、中位数如表：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
44.75
a
45
八年级
44.9
b
c
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
(1)如表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)已知该校七年级、八年级共800名学生参加了此次测评活动，通过计算，请你估计此次测评活动成绩合格的学生人数；
(3)从样本中测评成绩为满分的七年级、八年级中随机抽取两名学生，用画树状图或者列表的方法求两人在同一年级的概率．
19.（8分）如图1，在山西运城永济的中条山麓有一座千年古寺，这座古寺内有一座千年古塔“多宝佛塔”，“多宝佛塔”有将近1500年的历史，比西安大雁塔早130年。九年级数学兴趣小组开展了测量“多宝佛塔”的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，“多宝佛塔”CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，B，D在同一条直线上）
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为102m，，∠CBD=63.4°
问题解决：求“多宝佛塔”CD的高度，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
图1 图2
20.（8分）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
21.（8分·）【阅读材料】说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．
解：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则，因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
【基础训练】(1)代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点B __________的距离之和；（填写点B的坐标）
【能力提升】(2)求代数式的最小值为__________；
【拓展升华】(3)如图，在等腰直角中，，点M，N分别为，上的动点，且，．当的值最小时，求的长.
22.（12分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图b，求证：BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由，
（3）填空：若正方形ABCD的边长为10，DE＝2，PB＝PC，则线段PB的长为 ___ ．
23. (13分）综合与探究
如图1，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为，直线与抛物线交于，两点，已知点的横坐标为1，点为抛物线上一动点．
（1）求出，两点的坐标及直线的函数表达式．
（2）如图2，若点是直线上方抛物线上的一个动点，直线交直线于点，设点的横坐标为，求的最大值．
（3）如图3，连接，抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年中考数学考前信息必刷卷01
数 学(山西专用）（解析版）
（时间120分钟，满分120分)
中考新动向
2023年山西中考数学试卷结构和内容基本没变！2023年数学试卷满分120分，共23题：10（选择题）+5（填空题）+8（解答题），根据最新考试信息以及适应考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，体现数学课程标准对数学教学要求，落实“一核*六维*四手段”理念，对课标内知识的考查覆盖较为全面。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的运算及化简求值，方程不等式组的概念在选择题和填空中的比重较大，在综合题的考察方面，题型较为全面，知识点覆盖面广，主要包括方程不等式的解法、代数式的化简求值、几何的证明与计算，统计中数据的收集和处理、概率的计算，解三角形、列方程解应用题，尺规作图以及函数的考查等。阅读理解题更加注重信息获取和理解掌握。最后的压轴题多为动手操作型，创新性明显。
考题大预测
通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，本卷重点题型预测方向如下：
中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的考生的综合能力.同时应加强学生的作图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于阅读理解创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力， 选择题前几道 涉及实数的有关概念、科学计数法、三视图、平行线的性质、轴对称中心对称图形，第6-9题主要是概率、函数与不等式的联系、跨学科整合、圆中阴影部分面积的计算、第10题是二次函数的性质综合题；填空题5道，主要涉及二次根式运算、、列方程、圆的性质、15题小压轴，主要是四边形的翻折平移旋转后的计算。解答题第16是基本计算，主要是数与式的计算、解方程与不等式，第17题是四边形的简单证明；第18题考查频数分布表的意义和制作方法，中位数、众数的意义、树状图求概率；第19题是方程不等式函数的生活问题，第20题考查了锐角三角函数的应用，第21题是阅读理解题，解题关键是读懂题意，将新知识转化，把新方法应用；第22题主要考查了特殊四边形、特殊三角形的性质和图形的类比探究，综合性较强，属于中考压轴题．第23题主要考查了二次函数的综合题，涉及二次函数的图象和性质，待定系数法，线段和角之间的关系，用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．2022年5月1日上午7时，太原市主城区的气温为零上8℃，记作＋8℃．此时吕梁山海拔最高点的气温为零下3℃，可记作（ ）
B． ＋3℃ B．＋5℃ C．－3℃ D．－5℃
1． 答案C
【分析】根据正负数来表示具有意义相反的两种量：零上气温就记为正，则气温零下记为负，直接得出结论即可．
【详解】解：∵零上8℃，记作＋8℃，
∴零下3℃，记作-3℃，
故选：C．
【点睛】本题考查正负数的意义，解题的关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
2.将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【详解】解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条撇向的实线．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．2023年《政府工作报告》提出，“义务教育优质均衡发展”．根据预算报告，支持学前教育发展资金安排250亿元、增加20亿元，扩大普惠性教育资源供给．其中250亿元用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：250亿元用科学记数法表示为．
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
5.将分别标有“最”、“美”、“山”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图，列出所有情况，根据概率公式计算即可．
【详解】解：由题意得，组成“山西”有两种情况，总共有12种情况，
最 美 山 西
美 山 西 最 山 西 最 美 西 最 美 山
∴组成“山西”的概率为：
故选A．
【点睛】本题主要考查概率的计算，正确画出树状图及掌握概率计算公式是解决本题的关键．
6.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角板的度数可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果．
【详解】解：如图，
，，
，
，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出，的度数是解本题的关键．
7.甲、乙两种物质溶解度曲线如图所示。下列说法正确的是
A．a2℃时，在100g水中加入30g甲，形成饱和溶液
B．甲的溶解度受温度影响比乙小
C．甲的溶解度大于乙的溶解度；
D．a1℃时，甲、乙的溶解度相同
答案．D
【详解】A、a2℃时，甲的溶解度为40g，100g水中最多能溶解40g甲，在100g水中加入30g甲，形成不饱和溶液，错误；
B、图中可知，甲的溶解度受温度影响比乙大，错误；
C、小于a1时甲的溶解度小于乙的溶解度，错误
D、a1℃时，甲、乙的溶解度相同，正确。
故选：D。
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝52°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数是（ ）
A．24° B．26° C．14° D．18°
【答案】C
【分析】由尺规作图可知，CF⊥AB，则∠CFA＝90°，由AB＝AC，可得∠ACB＝∠B＝52°，即可得∠CAB＝76°，在△ACF中，结合三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：由尺规作图可知，CF⊥AB，
∴∠CFA＝90°，
∵AB＝AC，∠B＝52°，
∴∠ACB＝∠B＝52°，
∴∠CAB＝76°，
∴∠ACF＝180°﹣∠CFA﹣∠CAB＝14°．
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握垂线的基本作图方法是解答本题的关键．
9. 如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，AB上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，AD的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6π−33 B．6π−63 C．12π−932 D．6π−334
【答案】A．
【分析】连接BD、OD，交BC与E，根据对称求出BD＝OB，求出△DOB是等边三角形，求出∠DOB＝60°，求出∠AOD＝30°根据弧长公式求出OB＝6，根据阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△BOE求得即可．
【解答】解：连接BD、OD，交BC与E，
由题意可知，BD＝BO，
∵OD＝OB，
∴OD＝OB＝DB，
∴∠BOD＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝30°，
∵AD的长为π，
∴30πr180=π，
∴r＝6，
∴OB＝6，
∴OE=12OB=3，BE=32=33，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOD＋S△COE﹣S△BOE=60π×62360＋12×3×3−12×3×33=6π−33．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质，扇形面积的计算，弧长公式的计算，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
10.已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对③进行判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），即，所以②正确；
∵图象经过点时，代入解析式可得，
方程可化为，消a可得方程的两根为，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
，代入可得，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
第Ⅱ卷
四、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11．计算的结果是__．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行运算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，先根据二次根式的性质将式子中的根式化简，再进行计算是解答本题的关键．
12.如图：的顶点、的坐标分别是，，，，函数的图像经过点，则的值为____________．
【答案】
【分析】过点作轴于，如图，先利用勾股定理得到，再利用等腰三角形的性质可得，再判断为等腰直角三角形得到，则可计算出，所以，然后利用反比例函数图像上点的坐标特征即可求出的值．
【详解】解：过点作轴，垂足为，
∵点、的坐标分别是，，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点的坐标代入得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征：反比例函数（为常数，）的图像是双曲线，图像上的点的横坐标的积是定值，即．也考查了反比例函数的性质，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质．理解和掌握反比例函数的性质和图像上点的坐标特征是解题的关键．
13.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D是上一点，连接CD并延长至点E，使得AE＝AD．若∠BDC＝20°，则∠E＝______°．
【答案】80
【分析】由同弧的圆周角相等得出∠BAC＝∠BDC ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ABC＝∠ACB的度数，由圆内接四边形性质得出∠ADC的度数，由补角的性质得出∠ADE的值，进而得出∠E的度数．
【详解】解：∵∠BDC＝20°，
∴∠BAC＝20°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，
∴∠ADC＝180°－80°＝100°，
∵AE＝AD，
∴∠E＝∠ADE＝180°-100°=80°，
故答案为：80
【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形定理，等腰三角形性质和三角形内角和定理，熟练各性质定理是解题的关键．
14.山西省被列入《世界遗产名录》的世界文化遗产有：平遥古城、云冈石窟、五台山，小明计划利用5·1小长假和爸爸妈妈一起进行研学旅行，他在携程网上进行全家三口人的门票预订．得知平遥古城门票价格比云冈石窟门票价格多10元，五台山门票价格比平遥古城门票价格多5元，订票一共花了1155元．设云冈石窟的门票价格为x元，则列方程为__________．
答案
【解答】解：设云冈石窟的门票价格为x元，由题意得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练找出等量关系是关键。
15.如图，在正方形ABCD中，AD＝10，点E在BC边上（不与端点重合），BF⊥AE于点F，连接DF，当△ADF是等腰三角形时，EC的长等于 ．
思路引领：根据正方形的性质分两种情况：①当DF＝AD＝10时，过点D作DG⊥AE于点G，证明△ABF≌△ADG（AAS），可得BF＝AG，得AF＝2BF，证明△ABF∽△BEF，求出BE；②当DF＝AF时，根据正方形的性质证明点F在AC与BD的交点上，可得点E与点C重合，进而可以解决问题．
解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝10，
∵BF⊥AE，
∴AB＞AF，
∴AD＞AF，
∴当△ADF是等腰三角形时，分两种情况：
①当DF＝AD＝10时，
如图，过点D作DG⊥AE于点G，
∵DF＝AD，
∴AG＝FG，
∵BF⊥AE，
∴∠DGA＝∠AFB＝90°，
∵∠ADG＝90°﹣∠DAG＝∠ABF，
∵AB＝AD，
∴△ABF≌△ADG（AAS），
∴BF＝AG，
∴AG＝FG＝BF，
∴AF＝2BF，
∵AF2+BF2＝AB2，
∴5BF2＝100，
∴BF＝25，
∵∠AFB＝EFB＝90°，∠ABE＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣∠EBF＝∠BEF，
∴△ABF∽△BEF，
∴BFEF=AFBF=ABBE，
∴25EF=2=10BE，
∴BE＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝5；
②当DF＝AF时，
∵BF⊥AE，四边形ABCD是正方形，
∴点F在AC与BD的交点上，
∴点E与点C重合，
∴此时CE＝0，
∴当△ADF是等腰三角形时，EC的长等于5．
故答案为：5．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是观察图形找到相似模型．
五、 解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（10分）（1）计算：．
（2）对于试题：“先化简，再求值：，其中．”某同学写出了如下解答：
解：[来源:Zxxk.Com]
，
当时，原式．
她的解答正确吗？如果正确，写出每步依据，如不正确，请你写出正确解答．
（1）【答案】
【分析】计算绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，负整数指数幂的含义，实数的混合运算，掌握“实数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
（2）分析：本题是一道与分式运算有关的探索解题过程正误题，观察所给出的解题过程，前两步的通分是正确的，但到第三步出现了错误，错误的原因是把分式的分母去掉了，违背分式加减运算中通分的法则.
答案：不正确，正确解答过程是：
=.
当时，原式=.
点睛：本题主要考查分式对分式运算的理解和掌握，分式的运算不能等同于解方程中的去分母.
19. （7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．
（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
【解答】解：（1）如图：
（2）证明：如图，连接DF，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠EBF，
∵AF垂直平分BD，∴BE＝DE．
在△ADE和△FBE中，，
∴△ADE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，
∴BD与AF互相垂直且平分，
∴四边形ABFD为菱形．
【点睛】本题考查作图线段垂直平分线的作法，全等三角形判定，菱形的判定等知识点．掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
20. （9分）文明是一座城市的幸福底色，是一座城市的内在气质．吕梁市正创建“第七届全国文明城市”，某校为了提高学生的创文意识，举办了“创文知识”测评活动．现从七年级、八年级中各随机抽取20名学生的测评成绩（满分50分，45分及45分以上为优秀，40分及40分以上为合格）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
七年级20名学生的测评成绩（单位：分）分别为：
44 50 40 40 50 45 45 45 49 45
44 42 49 42 49 49 45 42 38 42
八年级20名学生的测评成绩统计图如图所示：
两个年级抽取的学生的测评成绩的平均数、众数、中位数如表：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
44.75
a
45
八年级
44.9
b
c
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
(1)如表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)已知该校七年级、八年级共800名学生参加了此次测评活动，通过计算，请你估计此次测评活动成绩合格的学生人数；
(3)从样本中测评成绩为满分的七年级、八年级中随机抽取两名学生，用画树状图或者列表的方法求两人在同一年级的概率．
【答案】(1)45，47，46
(2)740人
(3)13
【解析】
【分析】
（1）根据众数和中位数的定义进行求解即可；
（2）用七、八年级的总人数乘以测评活动成绩合格的学生所占的百分比即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
(1)
解：∵45分出现了次数最多，出现了5次，
∴七年级众数是45分，
∴a=45，
∵八年级47分出现了5次，出现的次数最多，
则b=47；
把八年级的20名学生的测评成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则c=45+472=46（分）．
故答案为：45，47，46；
(2)
根据题意得：
800×19+1840=740（人)，
答：估计此次测评活动成绩合格的学生人数有740人；
(3)
根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中两人在同一年级的有4种，
则两人在同一年级的概率是412=13．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.（8分）如图1，在山西运城永济的中条山麓有一座千年古寺，这座古寺内有一座千年古塔“多宝佛塔”，“多宝佛塔”有将近1500年的历史，比西安大雁塔早130年。九年级数学兴趣小组开展了测量“多宝佛塔”的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，“多宝佛塔”CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，B，D在同一条直线上）
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为102m，，∠CBD=63.4°
问题解决：求“多宝佛塔”CD的高度，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
图1 图2
【答案】55米
【分析】设CD=x米，用∠A，∠B的正切和x的式子分别表示AD和BD，根据AD+BD=102列方程解答．
【详解】设CD=x米，
在Rt△ACD中，，
∴tan∠CAD=CDAD则AD=CDtan∠CAD=xtan37°，
在Rt△BCD中，∠CBD=63.4°，
∴tan∠CBD=CDBD，则BD=CDtan∠CBD=xtan63.4°，
∵AD+BD=AB，
∴xtan37°+xtan63.4°=102，
解得：x=102×tan37°×tan63.4°tan37°+tan63.4°≈102×0.75×20.75+2=55，
答：“多宝佛塔CD的高度约为55米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切定义及计算方法是解答此类问题的关键．
20.（8分）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
【答案】见解析。
【解析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，
由题意可得：
2x+3y=6005x+6y=1350，
解得：
x=150y=100，
答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资，
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，
由题意可得：
150a+100(12−a)≥15005000a+3000(12−a)＜54000，
∴6≤a＜9，
∴整数a＝6，7，8；
当有6辆大货车，6辆小货车时，费用＝5000×6+3000×6＝48000元，
当有7辆大货车，5辆小货车时，费用＝5000×7+3000×5＝50000元，
当有8辆大货车，4辆小货车时，费用＝5000×8+3000×4＝52000元，
∵48000＜50000＜52000，
∴当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为48000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一次函数的应用，熟练寻找等量关系，一次函数性质是解题的关键.
21.（8分·）【阅读材料】说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．
解：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则，因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
【基础训练】(1)代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点B __________的距离之和；（填写点B的坐标）
【能力提升】(2)求代数式的最小值为__________；
【拓展升华】(3)如图，在等腰直角中，，点M，N分别为，上的动点，且，．当的值最小时，求的长．
【答案】（1）；（2）10；（3）
【分析】（1）先把原式化为 的形式，再根据材料结论即可得出结果；
（2）先把原式化为的形式，再根据材料结论即可得出结果；
（3）先过点A作于点H ，设，在和中，根据勾股定理表示出，，再根据材料结论即可得出结果．
【详解】解：（1）原式化为 ，
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
故答案为：
（2）式化为
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
点A关于x轴的对称点为，
根据材料结论，最小值为的长度，，
故答案为：10．
（3）
如图，过点A作于点H ，设，
在等腰直角中，，，
∴，，
在和中，根据勾股定理得：
，
，
∴，
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
点A关于x轴的对称点为，
根据材料结论，为线段的长度，
直线的函数解析式为：，
时，，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给的材料画出图形，再利用数形结合求解．
22.（12分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图b，求证：BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由，
（3）填空：若正方形ABCD的边长为10，DE＝2，PB＝PC，则线段PB的长为 ___ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据旋转的性质，证明∠BCP＝∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；
（2）①根据全等的性质和对顶角相等，即可得到答案；②根据等边三角形的性质和旋转的性质，求出∠EPD＝45°，∠EDP＝45°，即可判断△DEP的形状；
（3）分两种情况进行讨论：点E在DQ上；点E在QD的延长线上，分别根据相似三角形的性质，等腰三角形的性质和勾股定理，求得BP的长即可．
【详解】解：（1）证明：如图a，∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，
∴∠CBF＝∠EDF，
又∵∠BFC＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠BCF＝90°，
∴BE⊥DQ；
②如图c，∵△BCP为等边三角形，
∴∠BCP＝60°，
∴∠PCD＝30°，
又∵CP＝CD，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
又∵∠BPC＝60°，∠CDQ＝60°，
∴∠EPD＝45°，∠EDP＝45°，
∴△DEP为等腰直角三角形；
（3）如图b，由∠CBF＝∠EDF，∠DEF＝∠BCF，可得△DEF∽△BCF，
∴＝，即＝，
设DF＝x，则BF＝5x，CF＝10﹣x，
∵Rt△BCF中，BF2＝BC2+CF2，
∴（5x）2＝102+（10﹣x）2，
解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴BF＝5x＝，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
又∵∠PBC+∠PFC＝∠PCB+∠PCF＝90°，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PF＝PC，
∴BP＝PF＝BF＝；
如图d，延长BE、CD，交于点F，
由∠CBF＝∠CDQ＝∠EDF，∠DEF＝∠BCF，可得△DEF∽△BCF，
∴＝，即＝，
设DF＝x，则BF＝5x，CF＝10+x，
∵Rt△BCF中，BF2＝BC2+CF2，
∴（5x）2＝102+（10+x）2，
解得x1＝﹣（舍去），x2＝，
∴BF＝5x＝，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
又∵∠PBC+∠PFC＝∠PCB+∠PCF＝90°，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PF＝PC，
∴BP＝PF＝BF＝．
故答案为：或．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质的综合应用，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质是解题的关键．解题时注意：旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
23. (13分）综合与探究
如图1，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为，直线与抛物线交于，两点，已知点的横坐标为1，点为抛物线上一动点．
（1）求出，两点的坐标及直线的函数表达式．
（2）如图2，若点是直线上方抛物线上的一个动点，直线交直线于点，设点的横坐标为，求的最大值．
（3）如图3，连接，抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；
（2）最大值为：；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）令可得的坐标，把代入抛物线的解析式可得的坐标，再利用待定系数法求解的解析式即可；
（2）如图，过作轴交于，记于轴的交点为，则，可得，再建立，利用二次函数的性质可得答案；
（3）如图，过作轴于，而，可得，过作轴于，可得，再解方程可得答案．
【小问1详解】
解：令，
∴，
解得：，，
∴，
∵点的横坐标为1，
∴，
∴；
设为，
∴，
解得：，
∴直线为；
【小问2详解】
如图，过作轴交于，记于轴的交点为，
则，
∴，
∵点的横坐标为，则，
∴，
∴，
把代入，则，
∴，
∴，
当时，最大，
最大值为：；
【小问3详解】
如图，连接，，过作轴于，而，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
过作轴于，
∴，
当时，解得：，经检验符合题意；
∴，即，
当时，解得：，经检验符合题意；
∴，即，
综上：或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的性质与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，锐角的正切的应用，分式方程的解法，掌握以上知识并灵活应用，注意分类讨论是解本题的关键
2023年中考数学考前信息必刷卷01
数 学(山西专用）
（时间120分钟，满分120分)
中考新动向
2023年山西中考数学试卷结构和内容基本没变！2023年数学试卷满分120分，共23题：10（选择题）+5（填空题）+8（解答题），根据最新考试信息以及适应考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，体现数学课程标准对数学教学要求，落实“一核*六维*四手段”理念，对课标内知识的考查覆盖较为全面。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的运算及化简求值，方程不等式组的概念在选择题和填空中的比重较大，在综合题的考察方面，题型较为全面，知识点覆盖面广，主要包括方程不等式的解法、代数式的化简求值、几何的证明与计算，统计中数据的收集和处理、概率的计算，解三角形、列方程解应用题，尺规作图以及函数的考查等。阅读理解题更加注重信息获取和理解掌握。最后的压轴题多为动手操作型，创新性明显。
考题大预测
通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，本卷重点题型预测方向如下：
中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的考生的综合能力.同时应加强学生的作图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于阅读理解创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力， 选择题前几道 涉及实数的有关概念、科学计数法、三视图、平行线的性质、轴对称中心对称图形，第6-9题主要是概率、函数与不等式的联系、跨学科整合、圆中阴影部分面积的计算、第10题是二次函数的性质综合题；填空题5道，主要涉及二次根式运算、、列方程、圆的性质、15题小压轴，主要是四边形的翻折平移旋转后的计算。解答题第16是基本计算，主要是数与式的计算、解方程与不等式，第17题是四边形的简单证明；第18题考查频数分布表的意义和制作方法，中位数、众数的意义、树状图求概率；第19题是方程不等式函数的生活问题，第20题考查了锐角三角函数的应用，第21题是阅读理解题，解题关键是读懂题意，将新知识转化，把新方法应用；第22题主要考查了特殊四边形、特殊三角形的性质和图形的类比探究，综合性较强，属于中考压轴题．第23题主要考查了二次函数的综合题，涉及二次函数的图象和性质，待定系数法，线段和角之间的关系，用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．2022年5月1日上午7时，太原市主城区的气温为零上8℃，记作＋8℃．此时吕梁山海拔最高点的气温为零下3℃，可记作（ ）
A． ＋3℃ B．＋5℃ C．－3℃ D．－5℃
2.将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．2023年《政府工作报告》提出，“义务教育优质均衡发展”．根据预算报告，支持学前教育发展资金安排250亿元、增加20亿元，扩大普惠性教育资源供给．其中250亿元用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
4.下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.将分别标有“最”、“美”、“山”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7.甲、乙两种物质溶解度曲线如图所示。下列说法正确的是
A．a2℃时，在100g水中加入30g甲，形成饱和溶液
B．甲的溶解度受温度影响比乙小
C．甲的溶解度大于乙的溶解度；
D．a1℃时，甲、乙的溶解度相同
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝52°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数是（ ）
A．24° B．26° C．14° D．18°
9. 如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，AB上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，AD的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6π−33 B．6π−63 C．12π−932 D．6π−334
10.已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷
二、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11．计算的结果是__．
12.如图：的顶点、的坐标分别是，，，，函数的图像经过点，则的值为____________．
13.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D是上一点，连接CD并延长至点E，使得AE＝AD．若∠BDC＝20°，则∠E＝______°．
14.山西省被列入《世界遗产名录》的世界文化遗产有：平遥古城、云冈石窟、五台山，小明计划利用5·1小长假和爸爸妈妈一起进行研学旅行，他在携程网上进行全家三口人的门票预订．得知平遥古城门票价格比云冈石窟门票价格多10元，五台山门票价格比平遥古城门票价格多5元，订票一共花了1155元．设云冈石窟的门票价格为x元，则列方程为__________．
15.如图，在正方形ABCD中，AD＝10，点E在BC边上（不与端点重合），BF⊥AE于点F，连接DF，当△ADF是等腰三角形时，EC的长等于 ．
三、 解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（10分）（1）计算：．
（2）对于试题：“先化简，再求值：，其中．”某同学写出了如下解答：
解：[来源:Zxxk.Com]
，
当时，原式．
她的解答正确吗？如果正确，写出每步依据，如不正确，请你写出正确解答．
17. （7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．
（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
18. （9分）文明是一座城市的幸福底色，是一座城市的内在气质．吕梁市正创建“第七届全国文明城市”，某校为了提高学生的创文意识，举办了“创文知识”测评活动．现从七年级、八年级中各随机抽取20名学生的测评成绩（满分50分，45分及45分以上为优秀，40分及40分以上为合格）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
七年级20名学生的测评成绩（单位：分）分别为：
44 50 40 40 50 45 45 45 49 45
44 42 49 42 49 49 45 42 38 42
八年级20名学生的测评成绩统计图如图所示：
两个年级抽取的学生的测评成绩的平均数、众数、中位数如表：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
44.75
a
45
八年级
44.9
b
c
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
(1)如表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)已知该校七年级、八年级共800名学生参加了此次测评活动，通过计算，请你估计此次测评活动成绩合格的学生人数；
(3)从样本中测评成绩为满分的七年级、八年级中随机抽取两名学生，用画树状图或者列表的方法求两人在同一年级的概率．
19.（8分）如图1，在山西运城永济的中条山麓有一座千年古寺，这座古寺内有一座千年古塔“多宝佛塔”，“多宝佛塔”有将近1500年的历史，比西安大雁塔早130年。九年级数学兴趣小组开展了测量“多宝佛塔”的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，“多宝佛塔”CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，B，D在同一条直线上）
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为102m，，∠CBD=63.4°
问题解决：求“多宝佛塔”CD的高度，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
图1 图2
20.（8分）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
21.（8分·）【阅读材料】说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．
解：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则，因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
【基础训练】(1)代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点B __________的距离之和；（填写点B的坐标）
【能力提升】(2)求代数式的最小值为__________；
【拓展升华】(3)如图，在等腰直角中，，点M，N分别为，上的动点，且，．当的值最小时，求的长.
22.（12分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图b，求证：BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由，
（3）填空：若正方形ABCD的边长为10，DE＝2，PB＝PC，则线段PB的长为 ___ ．
23. (13分）综合与探究
如图1，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为，直线与抛物线交于，两点，已知点的横坐标为1，点为抛物线上一动点．
（1）求出，两点的坐标及直线的函数表达式．
（2）如图2，若点是直线上方抛物线上的一个动点，直线交直线于点，设点的横坐标为，求的最大值．
（3）如图3，连接，抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年中考数学考前信息必刷卷01
数 学(山西专用）（解析版）
（时间120分钟，满分120分)
中考新动向
2023年山西中考数学试卷结构和内容基本没变！2023年数学试卷满分120分，共23题：10（选择题）+5（填空题）+8（解答题），根据最新考试信息以及适应考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，体现数学课程标准对数学教学要求，落实“一核*六维*四手段”理念，对课标内知识的考查覆盖较为全面。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的运算及化简求值，方程不等式组的概念在选择题和填空中的比重较大，在综合题的考察方面，题型较为全面，知识点覆盖面广，主要包括方程不等式的解法、代数式的化简求值、几何的证明与计算，统计中数据的收集和处理、概率的计算，解三角形、列方程解应用题，尺规作图以及函数的考查等。阅读理解题更加注重信息获取和理解掌握。最后的压轴题多为动手操作型，创新性明显。
考题大预测
通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，本卷重点题型预测方向如下：
中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的考生的综合能力.同时应加强学生的作图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于阅读理解创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力， 选择题前几道 涉及实数的有关概念、科学计数法、三视图、平行线的性质、轴对称中心对称图形，第6-9题主要是概率、函数与不等式的联系、跨学科整合、圆中阴影部分面积的计算、第10题是二次函数的性质综合题；填空题5道，主要涉及二次根式运算、、列方程、圆的性质、15题小压轴，主要是四边形的翻折平移旋转后的计算。解答题第16是基本计算，主要是数与式的计算、解方程与不等式，第17题是四边形的简单证明；第18题考查频数分布表的意义和制作方法，中位数、众数的意义、树状图求概率；第19题是方程不等式函数的生活问题，第20题考查了锐角三角函数的应用，第21题是阅读理解题，解题关键是读懂题意，将新知识转化，把新方法应用；第22题主要考查了特殊四边形、特殊三角形的性质和图形的类比探究，综合性较强，属于中考压轴题．第23题主要考查了二次函数的综合题，涉及二次函数的图象和性质，待定系数法，线段和角之间的关系，用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．2022年5月1日上午7时，太原市主城区的气温为零上8℃，记作＋8℃．此时吕梁山海拔最高点的气温为零下3℃，可记作（ ）
B． ＋3℃ B．＋5℃ C．－3℃ D．－5℃
1． 答案C
【分析】根据正负数来表示具有意义相反的两种量：零上气温就记为正，则气温零下记为负，直接得出结论即可．
【详解】解：∵零上8℃，记作＋8℃，
∴零下3℃，记作-3℃，
故选：C．
【点睛】本题考查正负数的意义，解题的关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
2.将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【详解】解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条撇向的实线．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．2023年《政府工作报告》提出，“义务教育优质均衡发展”．根据预算报告，支持学前教育发展资金安排250亿元、增加20亿元，扩大普惠性教育资源供给．其中250亿元用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：250亿元用科学记数法表示为．
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
5.将分别标有“最”、“美”、“山”、“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“山西”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图，列出所有情况，根据概率公式计算即可．
【详解】解：由题意得，组成“山西”有两种情况，总共有12种情况，
最 美 山 西
美 山 西 最 山 西 最 美 西 最 美 山
∴组成“山西”的概率为：
故选A．
【点睛】本题主要考查概率的计算，正确画出树状图及掌握概率计算公式是解决本题的关键．
6.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角板的度数可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果．
【详解】解：如图，
，，
，
，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出，的度数是解本题的关键．
7.甲、乙两种物质溶解度曲线如图所示。下列说法正确的是
A．a2℃时，在100g水中加入30g甲，形成饱和溶液
B．甲的溶解度受温度影响比乙小
C．甲的溶解度大于乙的溶解度；
D．a1℃时，甲、乙的溶解度相同
答案．D
【详解】A、a2℃时，甲的溶解度为40g，100g水中最多能溶解40g甲，在100g水中加入30g甲，形成不饱和溶液，错误；
B、图中可知，甲的溶解度受温度影响比乙大，错误；
C、小于a1时甲的溶解度小于乙的溶解度，错误
D、a1℃时，甲、乙的溶解度相同，正确。
故选：D。
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝52°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数是（ ）
A．24° B．26° C．14° D．18°
【答案】C
【分析】由尺规作图可知，CF⊥AB，则∠CFA＝90°，由AB＝AC，可得∠ACB＝∠B＝52°，即可得∠CAB＝76°，在△ACF中，结合三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：由尺规作图可知，CF⊥AB，
∴∠CFA＝90°，
∵AB＝AC，∠B＝52°，
∴∠ACB＝∠B＝52°，
∴∠CAB＝76°，
∴∠ACF＝180°﹣∠CFA﹣∠CAB＝14°．
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握垂线的基本作图方法是解答本题的关键．
9. 如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，AB上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，AD的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6π−33 B．6π−63 C．12π−932 D．6π−334
【答案】A．
【分析】连接BD、OD，交BC与E，根据对称求出BD＝OB，求出△DOB是等边三角形，求出∠DOB＝60°，求出∠AOD＝30°根据弧长公式求出OB＝6，根据阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△BOE求得即可．
【解答】解：连接BD、OD，交BC与E，
由题意可知，BD＝BO，
∵OD＝OB，
∴OD＝OB＝DB，
∴∠BOD＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝30°，
∵AD的长为π，
∴30πr180=π，
∴r＝6，
∴OB＝6，
∴OE=12OB=3，BE=32=33，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOD＋S△COE﹣S△BOE=60π×62360＋12×3×3−12×3×33=6π−33．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质，扇形面积的计算，弧长公式的计算，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
10.已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对③进行判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），即，所以②正确；
∵图象经过点时，代入解析式可得，
方程可化为，消a可得方程的两根为，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
，代入可得，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
第Ⅱ卷
四、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11．计算的结果是__．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行运算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，先根据二次根式的性质将式子中的根式化简，再进行计算是解答本题的关键．
12.如图：的顶点、的坐标分别是，，，，函数的图像经过点，则的值为____________．
【答案】
【分析】过点作轴于，如图，先利用勾股定理得到，再利用等腰三角形的性质可得，再判断为等腰直角三角形得到，则可计算出，所以，然后利用反比例函数图像上点的坐标特征即可求出的值．
【详解】解：过点作轴，垂足为，
∵点、的坐标分别是，，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点的坐标代入得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征：反比例函数（为常数，）的图像是双曲线，图像上的点的横坐标的积是定值，即．也考查了反比例函数的性质，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质．理解和掌握反比例函数的性质和图像上点的坐标特征是解题的关键．
13.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D是上一点，连接CD并延长至点E，使得AE＝AD．若∠BDC＝20°，则∠E＝______°．
【答案】80
【分析】由同弧的圆周角相等得出∠BAC＝∠BDC ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ABC＝∠ACB的度数，由圆内接四边形性质得出∠ADC的度数，由补角的性质得出∠ADE的值，进而得出∠E的度数．
【详解】解：∵∠BDC＝20°，
∴∠BAC＝20°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，
∴∠ADC＝180°－80°＝100°，
∵AE＝AD，
∴∠E＝∠ADE＝180°-100°=80°，
故答案为：80
【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形定理，等腰三角形性质和三角形内角和定理，熟练各性质定理是解题的关键．
14.山西省被列入《世界遗产名录》的世界文化遗产有：平遥古城、云冈石窟、五台山，小明计划利用5·1小长假和爸爸妈妈一起进行研学旅行，他在携程网上进行全家三口人的门票预订．得知平遥古城门票价格比云冈石窟门票价格多10元，五台山门票价格比平遥古城门票价格多5元，订票一共花了1155元．设云冈石窟的门票价格为x元，则列方程为__________．
答案
【解答】解：设云冈石窟的门票价格为x元，由题意得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练找出等量关系是关键。
15.如图，在正方形ABCD中，AD＝10，点E在BC边上（不与端点重合），BF⊥AE于点F，连接DF，当△ADF是等腰三角形时，EC的长等于 ．
思路引领：根据正方形的性质分两种情况：①当DF＝AD＝10时，过点D作DG⊥AE于点G，证明△ABF≌△ADG（AAS），可得BF＝AG，得AF＝2BF，证明△ABF∽△BEF，求出BE；②当DF＝AF时，根据正方形的性质证明点F在AC与BD的交点上，可得点E与点C重合，进而可以解决问题．
解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝10，
∵BF⊥AE，
∴AB＞AF，
∴AD＞AF，
∴当△ADF是等腰三角形时，分两种情况：
①当DF＝AD＝10时，
如图，过点D作DG⊥AE于点G，
∵DF＝AD，
∴AG＝FG，
∵BF⊥AE，
∴∠DGA＝∠AFB＝90°，
∵∠ADG＝90°﹣∠DAG＝∠ABF，
∵AB＝AD，
∴△ABF≌△ADG（AAS），
∴BF＝AG，
∴AG＝FG＝BF，
∴AF＝2BF，
∵AF2+BF2＝AB2，
∴5BF2＝100，
∴BF＝25，
∵∠AFB＝EFB＝90°，∠ABE＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣∠EBF＝∠BEF，
∴△ABF∽△BEF，
∴BFEF=AFBF=ABBE，
∴25EF=2=10BE，
∴BE＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝5；
②当DF＝AF时，
∵BF⊥AE，四边形ABCD是正方形，
∴点F在AC与BD的交点上，
∴点E与点C重合，
∴此时CE＝0，
∴当△ADF是等腰三角形时，EC的长等于5．
故答案为：5．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是观察图形找到相似模型．
五、 解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（10分）（1）计算：．
（2）对于试题：“先化简，再求值：，其中．”某同学写出了如下解答：
解：[来源:Zxxk.Com]
，
当时，原式．
她的解答正确吗？如果正确，写出每步依据，如不正确，请你写出正确解答．
（1）【答案】
【分析】计算绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，负整数指数幂的含义，实数的混合运算，掌握“实数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
（2）分析：本题是一道与分式运算有关的探索解题过程正误题，观察所给出的解题过程，前两步的通分是正确的，但到第三步出现了错误，错误的原因是把分式的分母去掉了，违背分式加减运算中通分的法则.
答案：不正确，正确解答过程是：
=.
当时，原式=.
点睛：本题主要考查分式对分式运算的理解和掌握，分式的运算不能等同于解方程中的去分母.
19. （7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．
（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
【解答】解：（1）如图：
（2）证明：如图，连接DF，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠EBF，
∵AF垂直平分BD，∴BE＝DE．
在△ADE和△FBE中，，
∴△ADE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，
∴BD与AF互相垂直且平分，
∴四边形ABFD为菱形．
【点睛】本题考查作图线段垂直平分线的作法，全等三角形判定，菱形的判定等知识点．掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
20. （9分）文明是一座城市的幸福底色，是一座城市的内在气质．吕梁市正创建“第七届全国文明城市”，某校为了提高学生的创文意识，举办了“创文知识”测评活动．现从七年级、八年级中各随机抽取20名学生的测评成绩（满分50分，45分及45分以上为优秀，40分及40分以上为合格）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
七年级20名学生的测评成绩（单位：分）分别为：
44 50 40 40 50 45 45 45 49 45
44 42 49 42 49 49 45 42 38 42
八年级20名学生的测评成绩统计图如图所示：
两个年级抽取的学生的测评成绩的平均数、众数、中位数如表：
年级
平均数
众数
中位数
七年级
44.75
a
45
八年级
44.9
b
c
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
(1)如表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)已知该校七年级、八年级共800名学生参加了此次测评活动，通过计算，请你估计此次测评活动成绩合格的学生人数；
(3)从样本中测评成绩为满分的七年级、八年级中随机抽取两名学生，用画树状图或者列表的方法求两人在同一年级的概率．
【答案】(1)45，47，46
(2)740人
(3)13
【解析】
【分析】
（1）根据众数和中位数的定义进行求解即可；
（2）用七、八年级的总人数乘以测评活动成绩合格的学生所占的百分比即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
(1)
解：∵45分出现了次数最多，出现了5次，
∴七年级众数是45分，
∴a=45，
∵八年级47分出现了5次，出现的次数最多，
则b=47；
把八年级的20名学生的测评成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则c=45+472=46（分）．
故答案为：45，47，46；
(2)
根据题意得：
800×19+1840=740（人)，
答：估计此次测评活动成绩合格的学生人数有740人；
(3)
根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中两人在同一年级的有4种，
则两人在同一年级的概率是412=13．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.（8分）如图1，在山西运城永济的中条山麓有一座千年古寺，这座古寺内有一座千年古塔“多宝佛塔”，“多宝佛塔”有将近1500年的历史，比西安大雁塔早130年。九年级数学兴趣小组开展了测量“多宝佛塔”的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，“多宝佛塔”CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，B，D在同一条直线上）
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为102m，，∠CBD=63.4°
问题解决：求“多宝佛塔”CD的高度，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
图1 图2
【答案】55米
【分析】设CD=x米，用∠A，∠B的正切和x的式子分别表示AD和BD，根据AD+BD=102列方程解答．
【详解】设CD=x米，
在Rt△ACD中，，
∴tan∠CAD=CDAD则AD=CDtan∠CAD=xtan37°，
在Rt△BCD中，∠CBD=63.4°，
∴tan∠CBD=CDBD，则BD=CDtan∠CBD=xtan63.4°，
∵AD+BD=AB，
∴xtan37°+xtan63.4°=102，
解得：x=102×tan37°×tan63.4°tan37°+tan63.4°≈102×0.75×20.75+2=55，
答：“多宝佛塔CD的高度约为55米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切定义及计算方法是解答此类问题的关键．
20.（8分）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
【答案】见解析。
【解析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，
由题意可得：
2x+3y=6005x+6y=1350，
解得：
x=150y=100，
答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资，
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，
由题意可得：
150a+100(12−a)≥15005000a+3000(12−a)＜54000，
∴6≤a＜9，
∴整数a＝6，7，8；
当有6辆大货车，6辆小货车时，费用＝5000×6+3000×6＝48000元，
当有7辆大货车，5辆小货车时，费用＝5000×7+3000×5＝50000元，
当有8辆大货车，4辆小货车时，费用＝5000×8+3000×4＝52000元，
∵48000＜50000＜52000，
∴当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为48000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一次函数的应用，熟练寻找等量关系，一次函数性质是解题的关键.
21.（8分·）【阅读材料】说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．
解：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则，因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
【基础训练】(1)代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点B __________的距离之和；（填写点B的坐标）
【能力提升】(2)求代数式的最小值为__________；
【拓展升华】(3)如图，在等腰直角中，，点M，N分别为，上的动点，且，．当的值最小时，求的长．
【答案】（1）；（2）10；（3）
【分析】（1）先把原式化为 的形式，再根据材料结论即可得出结果；
（2）先把原式化为的形式，再根据材料结论即可得出结果；
（3）先过点A作于点H ，设，在和中，根据勾股定理表示出，，再根据材料结论即可得出结果．
【详解】解：（1）原式化为 ，
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
故答案为：
（2）式化为
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
点A关于x轴的对称点为，
根据材料结论，最小值为的长度，，
故答案为：10．
（3）
如图，过点A作于点H ，设，
在等腰直角中，，，
∴，，
在和中，根据勾股定理得：
，
，
∴，
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
点A关于x轴的对称点为，
根据材料结论，为线段的长度，
直线的函数解析式为：，
时，，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给的材料画出图形，再利用数形结合求解．
22.（12分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图b，求证：BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由，
（3）填空：若正方形ABCD的边长为10，DE＝2，PB＝PC，则线段PB的长为 ___ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据旋转的性质，证明∠BCP＝∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；
（2）①根据全等的性质和对顶角相等，即可得到答案；②根据等边三角形的性质和旋转的性质，求出∠EPD＝45°，∠EDP＝45°，即可判断△DEP的形状；
（3）分两种情况进行讨论：点E在DQ上；点E在QD的延长线上，分别根据相似三角形的性质，等腰三角形的性质和勾股定理，求得BP的长即可．
【详解】解：（1）证明：如图a，∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，
∴∠CBF＝∠EDF，
又∵∠BFC＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠BCF＝90°，
∴BE⊥DQ；
②如图c，∵△BCP为等边三角形，
∴∠BCP＝60°，
∴∠PCD＝30°，
又∵CP＝CD，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
又∵∠BPC＝60°，∠CDQ＝60°，
∴∠EPD＝45°，∠EDP＝45°，
∴△DEP为等腰直角三角形；
（3）如图b，由∠CBF＝∠EDF，∠DEF＝∠BCF，可得△DEF∽△BCF，
∴＝，即＝，
设DF＝x，则BF＝5x，CF＝10﹣x，
∵Rt△BCF中，BF2＝BC2+CF2，
∴（5x）2＝102+（10﹣x）2，
解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴BF＝5x＝，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
又∵∠PBC+∠PFC＝∠PCB+∠PCF＝90°，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PF＝PC，
∴BP＝PF＝BF＝；
如图d，延长BE、CD，交于点F，
由∠CBF＝∠CDQ＝∠EDF，∠DEF＝∠BCF，可得△DEF∽△BCF，
∴＝，即＝，
设DF＝x，则BF＝5x，CF＝10+x，
∵Rt△BCF中，BF2＝BC2+CF2，
∴（5x）2＝102+（10+x）2，
解得x1＝﹣（舍去），x2＝，
∴BF＝5x＝，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
又∵∠PBC+∠PFC＝∠PCB+∠PCF＝90°，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PF＝PC，
∴BP＝PF＝BF＝．
故答案为：或．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质的综合应用，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质是解题的关键．解题时注意：旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
23. (13分）综合与探究
如图1，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为，直线与抛物线交于，两点，已知点的横坐标为1，点为抛物线上一动点．
（1）求出，两点的坐标及直线的函数表达式．
（2）如图2，若点是直线上方抛物线上的一个动点，直线交直线于点，设点的横坐标为，求的最大值．
（3）如图3，连接，抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；
（2）最大值为：；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）令可得的坐标，把代入抛物线的解析式可得的坐标，再利用待定系数法求解的解析式即可；
（2）如图，过作轴交于，记于轴的交点为，则，可得，再建立，利用二次函数的性质可得答案；
（3）如图，过作轴于，而，可得，过作轴于，可得，再解方程可得答案．
【小问1详解】
解：令，
∴，
解得：，，
∴，
∵点的横坐标为1，
∴，
∴；
设为，
∴，
解得：，
∴直线为；
【小问2详解】
如图，过作轴交于，记于轴的交点为，
则，
∴，
∵点的横坐标为，则，
∴，
∴，
把代入，则，
∴，
∴，
当时，最大，
最大值为：；
【小问3详解】
如图，连接，，过作轴于，而，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
过作轴于，
∴，
当时，解得：，经检验符合题意；
∴，即，
当时，解得：，经检验符合题意；
∴，即，
综上：或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的性质与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，锐角的正切的应用，分式方程的解法，掌握以上知识并灵活应用，注意分类讨论是解本题的关键
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