2023年高考第三次模拟考试卷-数学（北京A卷）（参考答案）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

高三数学·参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11、20     12、     13、     14、2，     15、①②④

三、解答题共6小题，共85分．

16.（本小题13分）

【答案】(1)；(2).

【详解】（1），

，...................................................2分

，，

，，

，...................................................4分

，

；...................................................5分

（2）由（1）知，，

，

，...................................................6分

，..................................9分

由正弦定理，得，...........................................11分

故．...................................................13分

17．（本小题13分）

【答案】(1)证明见解析；(2)

【详解】（1）证明：过作交于点，

又，，，，

，，

，...................................................2分

即，

又底面，

，...................................................3分

又，

平面；...................................................4分

（2）解：设，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，，，，0，，，0，，，，，...................................................6分

由已知可得平面的法向量为，...................................................7分

设平面的一个法向量为，

则，

即，

令，

则，...................................................9分

又平面与平面的夹角等于，

则，

则，

解得，

则，0，，...................................................10分

则，，...................................................11分

则，

即异面直线与所成角的余弦值为．...................................................13分

18．（本小题14分）

【答案】（1）估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；

估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．

（2）

（3）相互独立

【详解】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，

所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；............................................2分

估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．...................................................4分

（2）由题设，的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，...................................................8分

．...................................................9分

（3），...................................................10分

，...................................................11分

，...................................................13分

，所以与相互独立．...................................................14分

19．（本小题15分）

【答案】（1）（2）单调递增区间为和，单调递减区间为；（3）证明见解析

【详解】（1）由，

可得，...................................................1分

当时，，（1），...................................................2分

在点，（1）处的切线方程为；...................................................3分

（2）因为在处取得极值，所以，解得，............................4分

检验如下：令，解得或，..................................................5分

若或时，则；若，则．

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，

故在处取得极小值，满足题意，...................................................7分

故的单调递增区间为和，单调递减区间为；...................................................8分

（3）证明：由（1）知，由时，得，因，，

当时，当时，，即函数在，上单调递减，则（1），

因此不等式不成立，即不等式在区间，上无解；...........................................10分

当时，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，

于是得在，上的最大值为（1）或（e），...................................................11分

而（1），，，即（e），...................................................13分

因此不等式不成立，即不等式在区间，上无解，

所以当时，关于的不等式在区间，上无解．..............................................15分

20．（本小题15分）

【答案】（1）（2）存在，使得，，总成等比数列．

【详解】（1）根据已知可得，，..............................................1分

所以，，，..............................................2分

所以椭圆的方程为；..............................................3分

（2）由已知得，的斜率存在，且，在轴的同侧，

设直线的方程为，，，，，不妨设，.................................4分

则，，

由得，..............................................5分

所以，..............................................6分

因为，..............................................8分

所以

，..............11分，..............................................13分

要使，，总成等比数列，则应有解得，...................................15分

所以存在，使得，，总成等比数列．

21．（本小题15分）

【答案】（1）见解析（2）（3）见解析

【详解】（1）对于数列3，2，5，1，有|2﹣3|＝1，|5﹣3|＝2，|1﹣3|＝2，满足题意，该数列满足性质P；...................................1分

对于第二个数列4、3、2、5、1，|3﹣4|＝1，|2﹣4|＝2，|5﹣4|＝1．不满足题意，该数列不满足性质P．...................................2分

（2）由题意：|a1﹣a1qn|≥|a1﹣a1qn﹣1|，可得：|qn﹣1|≥|qn﹣1﹣1|，n∈{2，3，…，9}，

两边平方可得：q2n﹣2qn+1≥q2n﹣2﹣2qn﹣1+1，...................................3分

整理可得：（q﹣1）qn﹣1[qn﹣1（q+1）﹣2]≥0，当q≥1时，得qn﹣1（q+1）﹣2≥0此时关于n恒成立，

所以等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0，

所以，（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2，或q≥1，所以取q≥1，...................................5分

当0＜q≤1时，得qn﹣1（q+1）﹣2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≤0，

所以（q+2）（q﹣1）≤0，所以﹣2≤q≤1，所以取0＜q≤1．...................................6分

当﹣1≤q＜0时：qn﹣1[qn﹣1（q+1）﹣2]≤0，

当n为奇数时，得qn﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立，当n为偶数时，qn﹣1（q+1）﹣2≥0，不恒成立；

故当﹣1≤q＜0时，矛盾，舍去．...................................7分

当q＜﹣1时，得qn﹣1[qn﹣1（q+1）﹣2]≤0，当n为奇数时，得qn﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立，

当n为偶数时，qn﹣1（q+1）﹣2≥0，恒成立；故等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0，

所以（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2或q≥1，所以取q≤﹣2，...................................8分

综上q∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．

（3）设a1＝p，p∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，

因为a1＝p，a2可以取p﹣1，或p+1，a3可以取p﹣2，或p+2，...................................9分

如果a2或a3取了p﹣3或p+3，将使{an}不满足性质P；所以{an}的前5项有以下组合：

①a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p﹣2；a5＝p+2；

②a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p+2；a5＝p﹣2；

③a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p﹣2；a5＝p+2；

④a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p+2；a5＝p﹣2；...................................11分

对于①，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{bn}满足性质P矛盾，舍去；

对于②，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝1与{bn}满足性质P矛盾，舍去；

对于③，b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝1与{bn}满足性质P矛盾，舍去；

对于④b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{bn}满足性质P矛盾，舍去；......................13分

所以P∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，均不能同时使{an}、{bn}都具有性质P．

当p＝1时，有数列{an}：1，2，3，…，m﹣1，m满足题意．

当p＝m时，有数列{an}：m，m﹣1，…，3，2，1满足题意．

当p＝2时，有数列{an}：2，1，3，…，m﹣1，m满足题意．

当p＝m﹣1时，有数列{an}：m﹣1，m，m﹣2，m﹣3，…，3，2，1满足题意．.......................15分

所以满足题意的数列{an}只有以上四种．