沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形第1节 三角形的有关概念与性质14.1 三角形的有关概念优秀巩固练习

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专题06 三角形的有关概念（难点）
一、单选题
1．如图，中，是边上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积（    ）

A．5 B．6 C．9 D．
【答案】B
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．
【解析】解：∵是边上的中线
∴，
∵是中边上的中线，
∴，
∴
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形面积的求法，三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
2．如图，，，，的度数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长交于点，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解析】解：如图，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质构造三角形是解题的关键．
3．在下列条件：；；；；中，能确定为直角三角形的条件有（        ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】根据直角三角形的判定和三角形内角和定理对各个条件进行分析，从而得到答案．
【解析】解：不能确定为直角三角形，故错误，不符合题意；
，，
，
为直角三角形，故正确，符合题意；
，
设，
，
，
解得：，
，
不是直角三角形，故错误，不符合题意；
，
设，则，，
，
，
解得：，
，
为直角三角形，故正确，符合题意；
，
设，则，
，
，
解得：，
，
为直角三角形，故正确，符合题意；
说法正确，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
4．如图是一张三角形纸片ABC，，点M是边的中点，点E在边AC上，将沿BE折叠，使点C落在边AC上的点D处，若，则（    ）

A．18° B．54° C．60° D．72°
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质得，，则，，根据折叠的性质得：，，，根据等腰三角形的性质及三角形的外角的性质得出，根据角的和差即可得出答案．
【解析】解：∵，点M是边的中点，
∴，，
∴，，
根据折叠的性质得：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
5．如图，A，B，C，D，E分别在的两条边上，若，，，，，则下列结论中错误的是（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，根据平角180度，得出；根据三角形的内角和定理求出，然后根据两直线平行，同位角相等可得，然后根据三角形内角和定理求出，根据平角的定义列式计算求出即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，故B选项错误，符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．已知、、是一个三角形的三边，则的值是（    ）
A．恒正 B．恒负 C．可正可负 D．非负
【答案】B
【分析】根据完全平方公式以及平方差公式将代数式因式分解即可求解．
【解析】解：





∵是一个三角形的三边，
∴，
∴原式
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
7．如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论正确的是（　　）
①；②；③；④．

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】证明即可判断①正确；利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可判断③正确；根据，结合角平分线的定义即可判断②，证明即可判断④正确．
【解析】解：，
，
，
，
，
，故①正确，
平分，
，
，，
，故③正确，
，
，
，
，，故②正确；
，，
，
，
，故④正确，
∴正确的有①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：；；；；．其中正确的结论有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得出，，，，根据三角形的内角和定理得出，，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解析】解：平分，
，
，，
，
，
，故正确；
，
，
平分，，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
平分，
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，故正确；
由得，，
，
，
，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度．
9．如图，，、、分别平分，外角，外角，以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．
【解析】解：①设点A、B在直线上，
∵、分别平分的内角，外角，

∴平分的外角，
∴，
∵，且，
∴，
∴，故①正确．
②∵、分别平分的内角、外角，
∴，
∴，故②正确．
③∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确．
④∵
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定等，熟悉各个概念的内容是解题的关键．
10．如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论是（    ）

A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤．
【解析】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，，，
∴，，即，
∴，
又∵，
∴，故④正确；
∵，
∴，
∵，分别平分，∠ACB，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，故②错误；
根据现有条件，无法推出平分，故⑤错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．

二、填空题
11．已知为的三边，化简： ______
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系，以及绝对值的意义，进行化简即可．
【解析】解：∵为的三边，
∴，
∴


；
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值．熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键．
12．如图，平分，，，，所以是________三角形．

【答案】直角
【分析】首先根据三角形内角和定理，可求得的度数，再根据角平分线的定义，即可求得的度数，最后再根据三角形内角和定理即可求得，据此即可判定．
【解析】解：，，
，
又平分，
，
，
，
是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形形状的判定，结合三角形内角和定理及角平分线的定义，得到是解决本题的关键．
13．如图，中，，P为直线上一动点，连，则线段的最小值是______．

【答案】
【分析】根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可。
【解析】∵点到直线的距离，垂线段最短，
∴当时，的值最小，

在中，
∵，
∴，即：，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查垂线段最短，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
14．一副三角板按如图所示摆放，其中，，点B在边上，点D在边上，与相交于点G，且，则____________度．

【答案】105
【分析】根据平行线的性质及三角形内角和定理，即可求解．
【解析】解：，，，
，
，

，
，
故答案为：105．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
15．如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点．设，则______．

【答案】
【分析】根据角平分线、三角形内外角关系及三角形内角和定理得到两个相邻角之间的关系即可得到答案.
【解析】解：∵是的外角，
∴，
∵的平分线与的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
由此规律可得，
，
故答案为．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形内角和定理及三角形内外角关系，解题的关键是根据等量代换及整体代换得到相邻两个含字母A的角的关系．
16．如图，在的纸片中，，，点D在边上，以AD为折痕将折叠得到，与边交于点E．若为直角三角形，则的大小是___________．

【答案】或
【分析】当是直角三角形时，分两种情况求解，根据题意作图，然后分别根据三角形内角和定理、外角的性质、翻折的性质等计算求解即可．
【解析】解：根据题意，当是直角三角形时，分两种情况讨论：
①当时，如图1，

由翻折的性质可知，
∴，
又∵，
∴，
∴
②当时，如图2，

∴，

∴，

综上所述，的大小为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
17．如图，在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是__．

【答案】①②③④
【分析】根据等角的余角相等证明结论①；根据角平分线的定义证明结论②，证明，再结合①的结论可得结论③，证明，再由，可以证明结论④．
【解析】解：如图，设交于点，

①，

，
，
，
，①正确；
②平分，
，，
，
，
，②正确；
③，，
，
，
，
，
，
由①得：，
，③正确；
④，，
，
，，
，
，④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查角度的证明，角平分线的计算及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角度之间关系的证明方法．
18．已知的面积为，根据下列条件完成填空，

（1）是的边上的中线，如图1，则的面积为_________（用含S的式子表示，下同）；
是的边上的中线，如图2，则的面积为____________；
是的边上的中线，如图3，则的面积为____________；……
（2）在图2022中，是的边上的中线，则的面积为__________．
【答案】                   
【分析】（1）利用三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分求解即可；
（2）根据（1）中的求解可得规律，利用规律即可求解．
【解析】（1）解：∵是的边上的中线，的面积为S，如图1，
∴；
又∵是的边上的中线，如图2，
∴；
∵是的边上的中线，如图3，
∴，
故答案为：，，
（2）解：∵，
，
，
，
以此类推，
可得，
∴当时，，
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．

三、解答题
19．如图，在中，平分交于点，点D、E分别在，的延长线上，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）由角平分线的定义可得，由可得，等量代换可得，利用内错角相等、两直线平行，可证；
（2）由可得，由平分可得，结合，可得，根据求出，最后根据三角形内角和定理即可求解．
【解析】（1）证明：平分，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，解题的关键是熟练进行等量代换．
20．如图是由小正方形组成的的网格，的三个顶点、、均在格点上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法．

(1)在图1中的上画出的高线；
(2)在图2中的上找出一点，画线段，使得将分成面积比为两部分；
(3)在图3中的上找一点，画，使得．
【答案】(1)答案见解析，即为所求
(2)答案见解析，，即为所求
(3)答案见解析，点即为所求

【分析】（1）根据网格中横向对角线与纵向对角线垂直，作图求解；
（2）在线段上截取或，连接，即可；
（3）由网格判断出，取格点，连接，使且交于点，利用等腰三角形角度关系及互余定义即可得到点即为所求作．
【解析】（1）解：如图所示：

即为所求；
（2）解：如图所示：

，即为所求；
（3）解：如图所示：

，
，
，
，
点即为所求．
【点睛】本题考查了作图-应用和设计作图，熟悉网格中的垂直作图规则、三角形角度关系是解题的关键．
21．如图，射线平分，

(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，已知外一条射线，，过点D作交于点F，若平分交于点P，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据垂线的定义，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据角之间的数量关系，计算即可得出答案；
（2）根据两直线平行内错角相等，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据三角形的外角的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线有关的计算、平行线的性质、三角形的外角的性质，解本题的关键在理清角之间关系．
22．阅读理解：
例：已知：，
求：m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．

解决问题：
(1)若，求x、y的值；
(2)已知a，b，c是的三边长且满足，
①直接写出______，______；
②若c是中最短边的边长（即；），且c为整数，求出c的值．
【答案】(1)，
(2)     3     4；②2

【分析】（1）根据阅读材料的方法进行运算，即可求得结果；
（2）①根据阅读材料的方法进行运算，即可求得结果；②根据a、b的值及，，即可求得结果．
【解析】（1）解： ，
，
，
，，
解得，；
（2）解：①，

，
，
解得，，
故答案为：3，4；
②，，
，
又是中最短边的边长，
，
为整数，
为2．
【点睛】本题考查了完全平方式的非负性，解方程，三角形三边之间的关系，熟练掌握和运用完全平方式的非负性及三角形三边之间的关系是解决本题的关键．
23．已知E、D分别在的边上，C为平面内一点，分别是、的平分线．

(1)如图1，若点C在上，且，求证：；
(2)如图2，若点C在的内部，且，请猜想之间的数量关系，并证明；
(3)若点C在的外部，且，请根据图3、图4分别写出之间的数量关系（不需证明）．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
(3)图3中，；图4中，

【分析】（1）依据分别是的平分线，可得，进而得出，再根据平行线的性质，即可得到，即；
（2）连接，依据，可得，再根据三角形外角性质，即可得到；
（3）如图3中，依据是的外角，可得，依据是的外角，可得，进而得到；如图4中，同理可得．
【解析】（1）∵分别是的平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）如图2，连接，

∵，
∴，
∵是的外角，是的外角，
∴，
∴；
（3）图3中，；图4中，．理由：如图3，

∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴；
如图4，

∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的综合运用，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
24．已知：，点为射线上一点．

(1)如图1，写出、、之间的数量关系并说明理由；
(2)如图2，写出、、之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)80°

【分析】（1）如图1，过点作，则，再由平行线性质可得，即可得出结论；
（2）如图2，过点作，则，即，再由，可得，即，即可得出结论；
（3）如图3，过点作，可得，由角平分线定义可得，再由，可得，利用三角形内角和定理和对顶角相等可求得，即可求得答案．
【解析】（1）解：．理由如下：
如图1，过点作，

则，
，
，
，
，
；
（2）．理由如下：
如图2，过点作，

则，
即，
，
，
，
即，
，
；
（3）如图3，过点作，

由（2）可知：，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线性质，角平分线定义，三角形内角和定理及其推论，角的和差倍分等知识，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质．
25．如图，已知线段、相交于点，连接、，则我们把形如这样的图形称为“字型”．

(1)求证：．
(2)如图所示，，则的度数为______．
(3)如图，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，
①若，，求∠的度数．
②若角平分线中角的关系改成“，”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②，见解析

【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）三角形外角的性质得出，进而得出，继而得出结论．
（3）①根据“字型”模型得出，，两等式相减得到，即，然后把，代入计算即可．
②根据“字型”模型得出，，继而得出，从而得出．
【解析】（1）证明：在图中，有，，
，
；
（2）解：如图所示，

，，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
（3）①以为交点“字型”中，有，
以为交点“字型”中，有
，
、分别平分和，
，，
，
，，
．
②，其理由是：
∵，，
∴，，
以M为交点“8字型”中，有，
以N为交点“8字型”中，有
∴，
．
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，利用三角形外角的性质转化角的关系是解题关键，同时也考查了角平分线的定义．
26．探究题

(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______；
(2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______；
(3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；
(4)如图4，如果，，当时，则的度数为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，设，，根据外角的性质得：，，所以，最后由三角形内角和定理可得结论；
(3)如图3，延长、交于点，根据（2）的结论，并将，代入可得
结论；
（4）如图4，同理计算可得结论．
【解析】（1）在中，
，
在中，
，
∵，
∴
故答案为：
（2）设，，
∵，分别平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
（3）
由（2）可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
（4）如图4，延长、交于点，
设，，

∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴
，

故答案为：
【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题．