江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学试题

2022—2023学年第二学期高一期中调研测试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（   ）  

A.             B.              C.               D.

2.已知复数，则的虚部是（     ）    

A． B． C． D．

3.已知向量，．若，则实数的值为（   ）

A.                  B.            C. 或        D.

4.四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点对应的复数为（   ） 

A．            B．             C．             D．

5．高邮镇国寺是国家3A级旅游景区．地处高邮市京杭大运河中间，东临高邮市区，西近高邮湖。实属龙地也，今有“运河佛城”之称。某同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高约为7.5，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部的仰角为30°，镇国寺塔的高度约为（      ）

（参考数据：）     

A．    B．     C．      D．

6.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比的值还可以近似地表示为，则的近似值为（   ）．

A．             B．            C．             D．

7.已知函数是上的偶函数，当时，有，关于的方程有且仅有四个不同的实数根，若是四个根中的最大根，则=（   ）．

A．               B．            C．          D．

8．已知非零向量，满足，，若的取值范围为，则向量，的夹角的取值范围为（   ）

A．         B．       C．      D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题中正确的是（     ）    

A．若，，则      B．若复数为纯虚数，则

C．若复数，满足，则 D．若是的共轭复数，则

10.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则（     ）     

A．函数图象的一个对称中心为            

B．函数图象的一条对称轴为直线

C．函数在区间上单调递增 

D．将函数的图象向左平移个单位后的图象关于y轴对称

11．已知直角三角形满足，，则下列结论正确的是（   ）

A．若点为的重心，则；

B．若点为的外心，则；

C．若点为的垂心，则； 

D．若点为的内心，则．

12．已知锐角三角形三个内角的对应边分别为，且，，则下列结论正确的是（   ）

A． B．的取值范围为

C．的周长最小值为6 D．的取值范围为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是         ．

14．已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为         ．

15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点的距离为_______． 

16．已知函数，其中，若函数在处取得最大值，则的取值范围为            ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（本题满分10分）

已知复数(是虚数单位)，且为纯虚数(是的共轭复数).

(1)求实数的值及复数的模；

(2)若复数在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围.

18.(本题满分12分）

已知，为锐角，，

(1)求的值；     (2)求的值．

19.(本题满分12分）

已知的内角A，B，C所对的边分别为．

在这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．

①；②；③.

若             ，且．

（1）求角B及a的值；

（2）若内角B的平分线交AC于点D，求的面积．

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

20.(本题满分12分）

在平行四边形中，，，，动点、分别在线段和上，且，，．

（1）若，且，求的值；

（2）若，求的取值范围．

21.（本题满分12分）

高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于），点在线段上，且满足.已知，，设

（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；

（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.

22.(本题满分12分）

已知函数的最小正周期为．

（1）求证：函数在上至少有两个零点；

（2）若关于的方程在上恰有三个根，求实数的取值范围．

2022—2023学年第二学期期中调研测试参考答案

1.B   2.D   3.C   4.A   5.B   6.D   7.D   8.A  9.AD   10.AC   11.ABD   12.AD

13.      14.         15.        16.

17.解：（1）因为为纯虚数，

所以，所以；..........................................................4分

此时，所以......................................................................5分

（2），...............7分

因为在复平面内所对应的点在第四象限，所以，................................8分

解得，所以..............................................................................................10分

18.解：（1）因为，，

又因为为锐角，所以，.......................................................3分

所以............................................................6分

（2）因为所以.................................................8分

又因为均为锐角，所以，

所以，.........................................10分

所以

12分

19.解：选条件①：对于，

利用正弦定理得： ，

所以在中，因为，所以，

即.......................................................................2分

因为，所以，所以

因为，所以.....................................................................4分

选条件②:因为，所以，即....2分

因为，所以，所以，即..........4分

选条件③：对于，

利用正弦定理得：......................................................2分

利用余弦定理得：

因为，所以............................................................................................4分

在中，，

由余弦定理得：，

解得：或（舍去）.........................................................6分

（2）在中，，，，

由三角形面积公式可得：.......8分

因为为角的平分线，所以，

而，，

所以.........................................10分

所以..............................12分

20．解：以为原点，所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系

则，，， ...............................................................1分

（1）当时，，

所以，， .....................................3分

因为，

则 ，解得

所以，

所以................................................................................................................6分

（2）由，，可得，

所以，............................................................8分

结合得..............10分

因为，由二次函数的图象与性质可得的取值范围为   ..........12分

21.解：因为三角形为直角三角形，，所以

在直角中，因为，所以.

因为点为半圆上一点，所以，又因为，

所以，所以.......4分

因为，所以当，即时，达最大值......................5分

（2）在直角中，因为，

所以............................................7分

因为，所以，又因为所以

在直角中，，...9分

所以

  ，................11分

所以当即时，达到最大值

答：当时，达到最大值..............................................12分

22．解:（1）证明：，

∵函数的最小正周期为，∴ ，解得            ……1分

∴

由于图象在上不间断，且

，，

所以在上至少1个零点，在上至少1个零点

即函数在上至少有两个零点；                ……4分

（2）令，则方程可化为．

先研究函数在区间上单调性：

当时，单调递减，函数值由递减至，当时，单调递增，函数值由递增至，

可知，在区间上，当或时，方程有且仅有1实根，当时，方程有且仅有2实根，当或时，方程无实根．                                                            ……6分

所以要使方程在上恰有三个根，

则需关于的方程一个根为，另一个根在区间内，或者一个根在区间内，另一个根在区间内                  ……7分                                                     

①若方程一根为，代入方程解得，所以该方程另一个根为，不合题意；

②若方程一个根在区间内，另一个根在区间内

若为方程的根，代入方程解得，

所以该方程另一个根为，满足题意；                     ………………… 9分

 若方程一个根在区间内，另一个根在区间内

则，解得

综上，实数的取值范围为                         …………12分