2023年中考数学三轮冲刺考前查漏补缺《一元二次方程》(提高版)（含答案）

2023年中考数学三轮冲刺考前查漏补缺

《一元二次方程》(提高版)

一              、选择题

1.若c(c≠0)为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为(　　)

A.1　　　       　B.﹣1　　       　　C.2　           　　D.﹣2

2.已知m、n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根,且(m2﹣2m+a)(3n2﹣6n﹣7)=8,则a的值为(　　)

A.﹣5　　　B.5　　     　C.﹣3　　     　D.3

3.若a是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则求代数式a3﹣2a＋1的值时需用到的数学方法是(　　)

A.待定系数法        B.配方        C.降次        D.消元

4.m是方程x2+x﹣1=0的根,则式子2m2+2m+2 025的值为(        )

A.2 023        B.2 025        C.2 026        D.2 027

5.x1，x2是一元二次方程3(x﹣1)2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是(      )

A.x1小于﹣1，x2大于3              B.x1小于﹣2，x2大于3

C.x1，x2在﹣1和3之间              D.x1，x2都小于3

6.给出一种运算：对于函数y=xn,规定y'=nxn﹣1.例如：若函数y=x4,则有y'=4x3.

已知函数y=x3,则方程y'=12的解是(　　)

A.x1=4,x2=﹣4　　B.x1=2,x2=﹣2    C.x1=x2=0　　  D.x1=2,x2=﹣2.

7.甲、乙、丙、丁四位同学在这一学期4次数学测试中平均成绩都是95分,方差分别是s2甲=2.2,s2乙=1.8,s2丙=3.3,s2丁=a,a是整数,且使得关于x的方程(a﹣2)x2+4x﹣1=0有两个不相等的实数根,若乙同学的成绩最稳定,则a的取值可以是(　　)

A.3　   　　B.2　　   　C.1　　    　D.﹣1

8.关于x的一元二次方程x2﹣kx＋2k﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12＋x22＝7，则(x1﹣x2)2的值是(　　)

A.13或11        B.12或﹣11        C.13        D.12

二              、填空题

9.若关于x的一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别为m＋1与2m﹣4，则m＝    ，＝   .

10.a※b是新规定的一种运算法则：a※b=a2﹣b2，则方程(x＋2)※5=0的解为______.

11.如果一个三角形的三边均满足方程x2﹣10x＋25=0，则此三角形的面积是______.

12.对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1.因此，min{－，－}=________；若min{(x－1)2，x2}=1，则x=________.

13.三角形两边的长分别是8和6,第3边的长是一元二次方程x2﹣16x＋60=0的一个实数根,则该三角形的面积是         ．

14.对于实数 m，n 定义运算“※”：m※n＝mn(m＋n)，例如：4※2＝4×2(4＋2)＝48，若x1、x2是关于 x 的一元二次方程x2﹣5x＋3＝0的两个实数根，则x1※x2＝　   　.

三              、解答题

15.我们知道，对于任何实数a，b：①若a﹣b>0，则a>b；②若a﹣b＝0，则a＝b；③若a﹣b<0，则a<b.用配方法证明：

(1)对于任何实数x，均有3x2﹣12x＋13>0.

(2)多项式3x2﹣6x﹣3的值总大于x2﹣2x﹣6的值.

16.我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把多元的转化为一元的；把高次的转化为一次的，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些可以转化为一元二次方程的无理方程.

像＝x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为4x＋21＝x2，(x﹣2)2＝25，解得x1＝7，x2＝﹣3.但因为两边平方，可能产生增根，所以需要检验.经检验，x2＝﹣3是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x＝7.

运用以上方法，解下列方程：

(1)＝x.

(2)x＋2＝6.

17.已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边,且关于x的方程(c﹣b)x2+2(b﹣a)x+(a﹣b)=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.

18.已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根

(1)求k的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值.

19.已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根.

(1)求实数m的取值范围；

(2)如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数.求m的值.

20.先阅读下列材料，然后解决后面的问题：

材料：∵二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)，

∴方程x2＋(a＋b)x＋ab=0可以这样解：

(x＋a)(x＋b)=0，

x＋a=0或x＋b=0，

∴x1=－a，x2=－b.

问题：

(1)如果三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是(     )

A.5.5          B.5        C.4.5             D.4

(2)方程x2－3x＋2=0的根是       ；

(3)用因式分解法解方程x2－kx－16=0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为       ；

(4)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12=0，则代数式x2－x＋1的值为    .

参考答案

1.B

2.C.

3.C

4.D.

5.A

6.B.

7.A

8.C

9.答案为：1,4.

10.答案为：x1=﹣7，x2=3

11.答案为：.

12.答案为：－，2或－1.

13.答案为：24或8．

14.答案为：15.

15.解：(1)∵3x2﹣12x＋13＝3(x2﹣4x)＋13

＝3(x2﹣4x＋4﹣4)＋13

＝3(x﹣2)2﹣12＋13

＝3(x﹣2)2＋1，(x﹣2)2≥0，

∴对于任何实数x，均有3x2﹣12x＋13>0.

(2)∵3x2﹣6x﹣3﹣(x2﹣2x﹣6)

＝2x2﹣4x＋3＝2(x2﹣2x＋1)﹣2＋3

＝2(x﹣1)2＋1>0，

∴多项式3x2﹣6x﹣3的值总大于x2﹣2x﹣6的值.

16.解：(1)＝x，

将方程两边同时平方，得x2＋7x﹣18＝0，

∴(x＋)2＝，∴x＋＝±，

解得x1＝2，x2＝﹣9.

经检验，x2＝﹣9是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x＝2.

(2)x＋2＝6，

x﹣5＋2＋1＝2，

()2＋2＋1＝2，

(＋1)2＝2，＋1＝±，

＝﹣1，＝﹣﹣1(不合题意，舍去)，解得x＝8﹣2.

经检验，x＝8﹣2是原方程的解.

17.解：∵x的方程(c﹣b)x2+2(b﹣a)x+(a﹣b)=0有两个相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=0，且c﹣b≠0，即c≠b.

∴4(b﹣a)2﹣4(c﹣b)(a﹣b)=0，

则4(b﹣a)(b﹣a+c﹣b)=0，

∴(b﹣a)(c﹣a)=0，

∴b﹣a=0或c﹣a=0，

∴b=a，或c=a.

∴此三角形为等腰三角形.

18.解：由一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，得

△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4k＞0，解得k＜4；

(2)由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0，得x2﹣4x+3=0，

解得x1=1，x2=3，

一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，

当x=1时，把x=1代入x2+mx﹣1=0，得1+m﹣1=0，解得m=0，

当x=3时，把x=3代入x2+mx﹣1=0，得9+3m﹣1=0，解得m=﹣，

综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，m=0或m=-.

19.解：(1)∵a=2，b=﹣2，c=m+1.

∴△=(﹣2)2﹣4×2×(m+1)=﹣4﹣8m.

当﹣4﹣8m≥0，即m≤﹣时.方程有两个实数根.

(2)整理不等式7+4x1x2＞x12+x22，得(x1+x2)2﹣6x1x2﹣7＜0.

由一元二次方程根与系数的关系，

得x1+x2=1，x1x2=.

代入整理后的不等式得1﹣3(m+1)﹣7＜0，解得m＞﹣3.

又∵m≤﹣，且m为整数.

∴m的值为﹣2，﹣1.

20.解：A；1和2；－15，－6，0，6，15；7.